第十八章隐函数定理及其应用 ★隐函数定理及求导公式
第十八章 隐函数定理及其应用
第五节隐函数的求导公式
第五节隐函数的求导公式
§8-5隐函数的 微分法
§8-5 隐函数的 微分法
每一个方能x2+y2+1=0 确处一个隐函数吗? 如果在方程式F(x,y,z)=0中 吡外,隐函数不一定都能显化 该方程的唯一的z值存在,则称该方 程在Ω内确定隐函数z=f(x,y)
与一元函数的情形类似，多元函 也有隐函数。 如果在方程式 F(x, y, z) = 0 中， 2 (x, y) R 时，相应地总有满足 该方程的唯一的 z 值存在 , 则称该方 程在 内确定隐函数 z = f (x, y)。 每一个方程都能 确定一个隐函数吗？ 1 0 2 2 x + y + = 此外，隐函数不一定都能显化
将概念推广到一般情形 X∈ΩcR时,相应地总有满足该 方程的唯一的u值存在,则称该方程 在Ω内确定隐函数=∫(X)。 X=(x1,……,xn)
如果在方程式 F(X, u) = 0 中， n X R 时， 相应地总有满足该 在 内确定隐函数 u = f (X )。 方程的唯一的 u 值存在 , 则称该方程 ( , , ) 1 n X = x x 将概念推广到一般情形
元函数的 隐函数的求导法
一元函数的 隐函数的求导法 一
设F(x,y)=0确定隐函数y=f(x) 这是利用多元函数的偏导数求0 两边一元函数的隐函数导数的公式 af oF d 0 从而得到一元隐函数求导公式 OF OF ≠0 aF
设 F(x, y) = 0 确定隐函数 y = f (x)。 若 ( , ) , 1 F x y C 则对方程 两边关于 x 求导，得 F(x, y) = 0 0 d d = + x y y F x F 从而得到一元隐函数求导公式 ( 0 ) d d = − y F y F x F x y 这是利用多元函数的偏导数求 一元函数的隐函数导数的公式
例设x-2x+2=0,求 X 解令F(x,y)=xy-2x+2”,则 OF OF =y-2h2 OX avx+2h 2 故 OF oX y-2In 2 X OF x+21In 2 (x+2lh2≠0)
设 − 2 + 2 = 0 , x y x y 求 。 xy dd 解 令 ( , ) 2 2 , x y F x y = x y − + 则 = xF 2 ln 2 x y − = yF 2 ln 2 y x + 故 = xy dd = − yFxF 2 ln 2 2 ln 2 yx xy +− − ( + 2 ln 2 0 ) y x 例
、由一个方程确定 的隐函数的求导法
二、由一个方程确定 的隐函数的求导法
定理2隐函数存在定理) 设1.F(x,y,z)∈C(U(x0,y,z0); 2.F(x0,y,z0)=0; 3.F(x0,y0,z0)≠0, 则方程F(x,y,z)=0在U(x0,y)内唯 确定一个函数z=f(x,y)∈C((x,y) 且z0=f(x0,yo),F(x,y,f(x,y)=0
定理 2 (隐函数存在定理) 设 1. 2. 3. ( , , ) (U( , , )) ; 0 0 0 1 F x y z C x y z ( , , ) 0 ; F x0 y0 z0 = ( , , ) 0 , Fz x0 y0 z0 则方程 F(x, y, z) = 0 在 U(( , )) 0 0 x y 内唯一 确定一个函数 ( , ) (U( , )) 0 0 1 z = f x y C x y 且 ( , ) , 0 0 0 z = f x y F(x, y, f (x, y)) 0