第十章定积分的应用 \\XX\\\\\\ ★ 1平面图形的面积 ★S2由平行截面面积求休积 ★83平而曲线的长 ★84定积分在物理学中的应用
§1 平面图形的面积 §2 由平行截面面积求体积 §3 平面曲线的长 §4 定积分在物理学中的应用
第十章定积分的应用 §1平面图形的面积
§1 平面图形的面积
本章中我们将用前面学过的定积分的知识来 分析和解决一些几何、物理中的问题,其目的 不仅是建立计算这些几何、物理的公式,而且 更重要的还在于介绍运用元素法解决问题 的定积分的分析方法
本章中我们将用前面学过的定积分的知识来 分析和解决一些几何、物理中的问题，其目的 不仅是建立计算这些几何、物理的公式，而且 更重要的还在于介绍运用元素法解决问题 的定积分的分析方法
问题的提出 考虑曲边梯形面积计算问题 曲边梯形由连续曲线 y=∫(x) y=∫(x)(f(x)≥0)、 x轴与两条直线x=a x=b所围成。 bx A=f()dx
考虑曲边梯形面积计算问题 = b a A f (x)dx 一 问题的提出 曲 边 梯 形 由 连 续曲 线 y = f (x)( f (x) 0) 、 x轴与两条直线 x = a、 x = b所围成。 a b x y o y = f (x)
面积表示为定积分要通过如下步骤: (1)把区间4,b分成n个长度为△x;的小区间, 相应的曲边梯形被分为n个小窄曲边梯形,第i 小窄曲边梯形的面积为△4,则A=∑△4 i=1 (2)计算△A的近似值△4≈f(1)△x2∈Ax (3)求和,得近似值A≈∑f(5)Ax (4)求极限,得州的精确值 n A=lim>f(Si)Ax,=f(x)dx ->0
面积表示为定积分要通过如下步骤： （1）把区间[a,b]分成n个长度为xi的小区间， 相应的曲边梯形被分为n个小窄曲边梯形，第i 小窄曲边梯形的面积为Ai，则 = = n i A Ai 1 . （2）计算Ai的近似值 i i xi A f ( ) i xi （3） 求和，得A的近似值 ( ) . 1 i i n i A f x = （4） 求极限，得A的精确值 i i n i A = f x = → lim ( ) 1 0 = b a f (x)dx
比较im∑f(5)△x1与f(x)kx L 两式,我们发现一个事实,左边的极限式子与右边 的定积分表达式有很好的对应。我们让 m∑对应 i=1 而使f(51)△x1对应f(x)dx 要想得到一个定积分表达式,只要求出被积 表达式f(x)dx,这就是定积分的元素法
i i n i f x = → lim ( ) 1 0 比较 b a 与 f (x)dx 两式，我们发现一个事实，左边的极限式子与右边 的定积分表达式有很好的对应。我们让 = → n i 1 0 lim b a 对应 i xi 而使f ( ) 对应f (x)dx 要想得到一个定积分表达式，只要求出被积 表达式 f ( x)dx, 这就是定积分的元素法
二定积分的元素法( Element method) 当所求量U符合下列条件 (1)U是与一个变量x的变化区间[a,b有关的 (2)U对于区间[a,b具有可加性,就是说, 如果把区间[a,b分成许多部分区间,则U相应 地分成许多部分量,而U等于所有部分量之 和 (3)部分量△U的近似值可表示为∫(5;)△v 就可以考虑用定积分来表达这个量U
当所求量U符合下列条件 （1）U 是与一个变量x的变化区间a,b有关的 量； （2）U 对于区间a,b具有可加性，就是说， 如果把区间a,b分成许多部分区间，则U 相应 地分成许多部分量，而U 等于所有部分量之 和； （3）部分量Ui的近似值可表示为 i xi f ( ) ； 就可以考虑用定积分来表达这个量 U 二 定积分的元素法（Element Method ）
元素法的一般步骤 1)根据问题的具体情况,选取一个变量例如x为 积分变量,并确定它的变化区间a,b 2)设想把区间[{a,b分成个小区间,取其中任 小区间并记为[x,x+dx,求出相应于这小区 间的部分量△U的近似值如果AU能近似地表 示为a,b上的一个连续函数在x处的值f(x) 与d的乘积,就把f(x)d称为量U的元素且 记作U,即U=f(x)x
元素法的一般步骤 1）根据问题的具体情况，选取一个变量例如x为 积分变量，并确定它的变化区间[a,b]； 2）设想把区间[a,b]分成n个小区间，取其中任 一小区间并记为[x, x + dx]，求出相应于这小区 间的部分量U 的近似值.如果U 能近似地表 示为[a,b]上的一个连续函数在 x 处的值f (x) 与dx的乘积，就把 f ( x)dx称为量 U 的元素且 记作 dU ，即dU = f ( x)dx；
3)以所求量U的元素f(x)x为被积表达式,在 区间ab上作定积分,得U="f(x), 即为所求量U的积分表达式 这个方法通常叫做元素法 应用方向: 平面图形的面积;体积;平面曲线的弧长; 功;水压力;引力和平均值等
3）以所求量U 的元素 f (x)dx为被积表达式，在 区间[a,b]上作定积分，得 = b a U f (x)dx， 即为所求量U 的积分表达式. 这个方法通常叫做元素法． 应用方向： 平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长； 功；水压力；引力和平均值等．
三、平面图形的面积 ●复习:定积分的几何意义 由连续曲线y=f(X),直线X三a,X=b及X轴所 围成的图形 y=f(x) 怎样求面积呢?
⚫复习: 定积分的几何意义 三、平面图形的面积: 由连续曲线y=f(x),直线x=a,x=b及x轴所 围成的图形 y=f(x) a 0 b x y 怎样求面积呢？