第五章动态模型 微分方程建模 §1传染病模型 §2经济增长模型 §3 Lanchester战争模型 §4药物在体内的分布与排除 §5香烟过滤嘴模型 §6按年龄分布的人口模型 §7烟雾的扩散与消失 动态·描述对象特征随吋间(空间舶演变过程 模型·分析对象特征的变化规律 ·预报对象特征的未来性态 ·研究控制对象特征的手段 微分·根据函数及其变化率之间的关系, 方程确定函数本身 建模·根据建模目的和问题分析作出简化假设 按照内在规律或用类比法建立微分方程
§1传染病模型 问题描述传染病的传播过程 分析受感染人数的变化规律 ·预报传染病高潮到来的时刻」 预防传染病蔓延的手段 按照传播过程的一般规律 用机理分析方法建立模型 模型1已感染人数(病人)() 假设·每个病人每天有效接触 (足以使人致病)人数为入 建模i(t+M)-i(t)=i(t)M d=1口()=ie dt i(0)=io t→)0→i→>o? 则不能使病人数增加必须区分已感染者 若有效接触的是病人, 人)和未感染者(健康人)
模型2区分已感染者(病人)和末感染者(健康人) 假设1)总人数N不变,病人和健康人s模型 的比例分别为i(t),s(t) 2)每个病人每天有效接触人 数为八,且使接触的健康人致病入~日接触率 建模 N[i(t+△t)-i(t]=[As(mM(t)△t di Erdt ni(I-1) s(t)+i(t)=1 i(0)= 模型2 d=1(1-0)Le8型 (0) t-传染病高潮到来时刻 (日接触率)→tn↑ i→1? 病人可以治愈!
W O P P
模型3传染病无免疫性病人治愈成 SIS模型 为健康人,健康人可再次被感染 增加假设3)病人每天治愈的比例为μμ~日治愈率 建模N[(+△1)-()=Ns(t)i(t)△t-Ni(r)△t i(1-i)- λ~日接触率 dt i(0)=i 1/~感染期 σ~一个感染期内每个病人的有效接触 人数,称为接触数。 模型3 1-(1-1 接触数 σ>1 ≤1 σ=1~阈值 ≤1→i(t σ>1 感染期内有效接触感染的 z小→()按S形曲线增长健康者人数不超过病人数
V
思考模型2(SI模型)如何看作模型3(SIS模型)舶特例 模型4传染病有免疫性病人治愈 SIR模型 后即移出感染系统,称移出者 假设1)总人数N不变,病人、健康人和移 出者的比例分别为i(t),s(t),r(t) 2)病人的日接触率λ,日治愈率 接触数σ=λ/μ 建模s()+i(t)+r(t)=1 需建立i(t),s(t),r(t)为两个方程 模型4 SIR模型 N[i(t+△t)-i(t)]=ANs(t)i(t)△t-pMi(t)△t N[s(t+△t)-s(t)]=-N(t)i(t)△t nsi- ui 无法求出i(t),s(t) 的解析解 在相平面s~i上 +≈1(通常r(0)=很小)研究解的性质
模型4 SIR模型 消去dt a=2/4 OS ds i(0)=io,s(0)=S 相轨线几 i(s)=(s, +i)-s+-Ir 相轨线i(s)的定义域 (s,)s20,i≥0,s+is1} 在D内作相轨线i(s) 的图形,进行分析 0 模型4相轨线(s)及其分析SIR模型 d i ds i(s)=(s+i) dt S (0)=in,s(0)=S (s)图形:s(1)ψ,i=0, i(s=1/a)=in,s满足 so+io-s+-In-=0 s,>1/o(P)→i(先升后降至0曰传染病蔓延IG S。<1/σ(P)→ⅸ()单调降至0传染病不蔓延阈值
! V V # " $ $ $ % V V f f P P & f f %
模型4预防传染病蔓延的手段」SR模型 传染病不蔓延的条件—s<1/ 提高阈值1/→σ(=2/)↓→λ√,↑ λ(日接触率)→卫生水平↑ u(日治愈率)↑→医疗水平个 降低s。(S+i+r=1)→个口群体免疫 G的估计 ns S s+i-s += -x=0 忽略 S -S 模型4被传来人教的钴计」SR模型 记被传染人数比例x=s-Sni小,S0≈1 =0日 x+-ln(1--)≈0 X<<S )≈0x≈2sa(s {s-=δ(d6小,sa≈1)} x≈2δ
' f f f f f f f f V
§2经济增长模型 增加生产发展经济增加投资增加劳动力提高技术 建立产值与资金、劳动力之间的关系 研究资金与劳动力的最佳分配,使投资效益最大 调节资金与劳动力的增长率,使经济(生产率)增长 1.道格拉斯( Douglas)生产函数 产值资金劳动力技术 O(r)K( L(t f( f(t)=fo o(t)=foF(K(t), L(t) 1.道格拉斯( Douglas)生产函数 静态模型Q(K,D)=F(K,L 每个劳动z=9每个劳动y=K 力的产值L 力的投资 L 模型假设z随着y的增加而增长,但增长速度递减 0=flg(y) g()=y,00 <0 OK OL OK OL
D R D D
Q(K,D)=fKQ4~单位资金创造的产 Q~单位劳动力创造的产值 KO LO KO+LO,=2, O Q a资金在产值中的份额1-a-劳动力在产值中的份额 更一般的道格拉斯 Douglas)生产函数 aK, D)=fKL, 00 2)资金与劳动力的最佳分配(静态模型) 资金来自贷款,利率劳动力付工资w 资金和劳动力创造的效益S=-K-w 求资金与劳动力的分配比例每个劳 动力占有的资金,使效益S最大 OK OL 20=12。" LO w个,r,a个→KL↑
. / . / D D N / / . . /
3)经济(生产率)增长的条件(动态模型) 要使Qt)或Z(t)=Qt(t)增长,K(t,L(t)应满足什么条件 模型·投资增长率与产值成正比水=0,4>0 假设 (用一定比例扩大再生产)dt 劳动力相对增长率为常数 dL dt=ul el(t)=L er Q=fLg(y)g)=ys水=xLy K dK K=Ly→ L-+ul y dt uy=fony dk y Bernau方程 y(1)= f0元 f0元 k)e-(1-a)m 32=K几L,Q=K,E-,R=2y=2 f0元 K [1-(1 K
D W P D D D D D D P W D D D D D P " ! W