《数学物理方程》第六章 拉普拉斯变换 6.2 拉普拉斯变换 6.3 拉普拉斯变换的反演 6.4 应用例

第六章拉普拉斯变换 6.2 与傅立叶变换类似的,通过积 分实现的 1.定义对于f()=0.(0 f(p)=f(enth为从f()到f(p)的拉普拉斯变 换,e"为变换的核,该积分为 拉普拉斯积分。 P0+10 逆变换P=a+i0f() f(p)e 2丌 0-l0 又称∫(1)原函数◇f()像函数

第六章 拉普拉斯变换 6.2 拉普拉斯变换 与傅立叶变换类似的，通过积 分实现的变换。 对于 f (t) = 0. (t  0)   − = 0 f ( p) f (t)e dt pt 为从 到 的拉普拉斯变 换， 为变换的核，该积分为 拉普拉斯积分。 f (t) f ( p) pt e − 1. 定义 逆变换 p = +i  + − =      i i p t f p e dp i f t ( ) . 2 1 ( ) Re P  0 又称 f (t) 原函数  f ( p) 像函数

记为f(P)=Lf()l(=L(p 实际上,原函数当为f(t)H(t) 例(1)求L1L1=1e"M=、1, (2)求L Ll=eh、1r tdl(em)=--[t·em e Pdt P P (3)求Le M[e"=et.ep'dt=(p-s)dt e (P-s)|∞ p-s Re p> re s

例 (1) 求 L[1] . 1 1 [1] 1 0 0 p e p e dt pt pt =  = − = −   −  L (2) 求 L[t] . 1 1 1 [ ] 1 ( ) 1 [ ] 0 0 2 0 0  0     −  −  −  − − =  = −  = −  + = = p e dt p e dt p t e p t d e p t t e dt p t p t p t p t p t L 记为 f ( p) = L[ f (t)], ( ) [ ( )]. 1 f t f p − = L 实际上，原函数当为 f (t)H (t) (3) 求 [ ] st L e . 1 1 [ ] 0 ( ) 0 0 ( ) p s e p s e e e dt e dt s t s t p t p s t p s t − = − =  = = − − −    − − −   L Re P  Re s

(4)求Lte [te]=l te e p dt=l te -(p-s)t Re p> re s (P-s) 同理 LIt"e= (P-s) (5)求L()“(p)2r Ctf(tedi D[() dlff(t) L[tf()=(-1 dlff(t]

(4) 求 [ ] st L te . ( ) 1 [ ] 2 0 0 ( ) p s t e t e e dt t e dt s t s t p t p s t − =  = =     − − − L Re P  Re s 同理 . ( ) ! [ ] n n st p s n t e − L = (5) 求 L[tf (t)]   − = − 0 ( ) ( ) , ( ) t f t e dt dp df p pt . [ ( )] [ ( )] dp d f t tf t L L = − . [ ( )] [ ( )] ( 1) n n n n dp d f t t f t L L = −

2.性质与傅立叶变换同为积分变换,故有类似性质 (1)线性定理若Lf()=f(p)和L/2()=2(p) 则Lcf()+c2f2(1)=c(p)+c2/2(p) 例(6)求snon -lot L[Sin ot=L[]=Le]-Lle1 Rep>o 2i p-io p+io p*+a LIcos at]

2. 性质 与傅立叶变换同为积分变换，故有类似性质 (1) 线性定理 若 [ ( )] ( ) L f 1 t = f 1 p [ ( )] ( ) 和 L f 2 t = f 2 p [ ( ) ( )] ( ) ( ) 则 L c1 f 1 t + c2 f 2 t = c1 f 1 p + c2 f 2 p 例 (6) 求 L[sin t] . ] 1 1 [ 2 1 { [ ] [ ]} 2 1 ] 2 [sin ] [ 2 2          + = + − − = = − − = − − i p i p i p e e i i e e t i t i t i t i t L L L L Re P  0 . [cos ] 2 2   + = p p L t

(2)导数定理LLf()=pL(t)-f(0) 证明 LIf(切)=f"(.mt=ler()=lemf()0+ √f(t)dl pLl(t]-f(o) 其中 lme pf()=0.ReP>0 t→) 高阶导数的 f(t)=p"Lf()]-p"f(0)-p"2f"( of(o-f (n-1) )积分定理w(d=nLv

(2) 导数定理 L[ f '(t)] = pL[ f (t)]− f (0). 证明 [ ( )] (0). [ '( )] '( ) ( ) [ ( )] ( ) 0 0 0 0 p f t f f t f t e dt e df t e f t p e f t dt p t p t p t p t = − = = = +     −  −  − −  L L 其中 lim ( ) = 0. − → e f t pt t Re P  0 高阶导数的 (0) (0) [ ( )] [ ( )] (0) '(0) ( 2) ( 1) ( ) 1 2 − − − − − − = − − − n n n n n n pf f L f t p L f t p f p f  (3) 积分定理 [ ( )]. 1 [ ( ) ] 0 t p d t L     = L

证明设f()=Cv()dr故'(t)=v/(t) 由于L(O=nL(O)-(0)1ur(+f(0)=LU/()l f(0)=v(r)dT=0# (4)相似定理Lr(a (5)位移定理Lef=f(p+x)与傅立叶变换类似 (6)延迟定理 p(t) q?(t-t0)H(t-0) Lff(t-to]=e pof(p)

( 证明  = t f t d 0 设 ( ) ( )  L[ f '(t)] = pL[ f (t)]− f (0). 故 f '(t) = (t) 由于 { [ '( )] (0)} [ ( )]. 1 f t f f t p L + = L  = = 0 0 f (0) ( )d 0 # (4) 相似定理 ( ). 1 [ ( )] a p f a L f at = (5) 位移定理 [ ( )] ( ). 与傅立叶变换类似  = + − e f t f p t L (6) 延迟定理 [ ( )] ( ). 0 f t t 0 e f p − pt L − = (t) 0 t ( ) ( ) 0 0  t −t H t −t 0 t

(7)卷积定理若Lf(O)=()和L[f2()=(p) 卷积000y则r≤r≤a0z≤∞ 0 Lf()+f(O)=(m)/2(P) L(O()e"f(0(M=」叫((-)t 积分进行在0≤z≤t,0≤t<∞ 如图,可改为 x=L()*(=em(-o)1()r 5=-r ∫e"f(5)l"f(r)dr 00 f(p)·f2(p)

[ ( )] ( ) L f 1 t = f 1 p [ ( )] ( ) (7) 卷积定理 若 和 L f 2 t = f 2 p 卷积 f t f t f  f t  d t   = − 0 1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) [ ( ) ( )] ( ) ( ). 1 2 1 2 L f t  f t = f p  f p 则 [ ( ) ( )] ( ) ( ) [ ( ) ( ) ] . 1 2 0 0 1 2 0 1 2 f t f t e f t f t dt e f f t d dt t p t p t  =  =  −      −  − L 积分进行在 0   t,0  t   如图，可改为   t  ,0    ( ) ( ) [ ( ) ] ( ) [ ( ) ( )] [ ( ) ] ( ) 1 2 2 1 0 0 2 1 0 1 2 f p f p e f d e f d f t f t e f t dt f d p p t p t =  =  = − −  − = −   −                   L t  = t 0

Lc1f()+c2f2()]=cf1(P)+C22(p) LIf'(t)= PLIf(t)]-f(O). FIf'(x)]=ioF(o) r(x) y(rdt ax C Lef(o]=f(p+n). Fle o f(x)=F(o-Oo) LIf()=e"plo f(p). FI(x-xo)]=e ia F(o) L(0+5()=(p)(D)Ff(x)*(x)=2z1(o),F1(o)

[ ( ) ( )] ( ) ( ) L c1 f 1 t + c2 f 2 t = c1 f 1 p + c2 f 2 p L[ f '(t)] = pL[ f (t)]− f (0). [ ( )]. 1 [ ( ) ] 0 t p d t L     = L ( ). 1 [ ( )] a p f a L f at = F[ f '(x)] = iF() ( ) 1 [ ( ) ] ( )   F i f x dx x =  F ( ) 1 [ ( )] a F a f ax  F = [ ( )] ( ).  = + − e f t f p t L [ ( )] ( ). 0 f t t 0 e f p − pt L − = [ ( )] ( ) 0 0   f x x e F −i x F − = [ ( )] ( ) 0 0    = − − e f x F i x F [ ( ) ( )] ( ) ( ). 1 2 1 2 L f t  f t = f p  f p [ ( ) ( )] 2 ( ) ( ) F f 1 x  f 2 x = F1  F2 

6.3 反演:由像函数求原函数 A.将像函数变换,使得可以利用已知公式求原函数。 B查表 例(1) Lp+2p2-9p+36 81 解 C+d 9p+36 p3+2n29p+36 13 p-81 (p-3)(p+3)(p2+9)2p-32p+3p2+93p2+9 p3+2p9+36,1,y e 3t+cos 3t--sin 3t p-81 sinh 3t +cos 3t--sin 3t

6.3 拉普拉斯变换的反演 反演：由像函数求原函数 A.将像函数变换，使得可以利用已知公式求原函数。 B.查表。 例 (1) ] 81 2 9 36 [ 4 3 2 1 − − + − + p p p p L 解 9 3 3 1 3 9 1 2 1 3 1 2 1 ( 3)( 3)( 9) 2 9 36 81 2 9 36 2 2 2 3 2 4 3 2 + −  + + + −  − =  − + + + − + = − + − + p p p p p p p p p p p p p p p sin 3 . 3 1 sinh 3 cos3 sin 3 3 1 cos3 2 1 2 1 ] 81 2 9 36 [ 3 3 4 3 2 1 t t t e e t t p p p p t t = + − = − + − − − + − + − L

(2)L=]因子e由延迟定理处理,由查表 P pt P (t-7) (3)利用位移定理 cos at L O (p+a)tos=e sin at +L|ef(1)=f(p+1)→ p+n L[sin at e cos at P-+ (P+)2+O (4)求L e 先求L[]=H()则L]=H( p(p+b)

(2) [ ] 1 p e − p − L p e 因子 − 由延迟定理处理，由查表 p t 1 ] 1 [ 1 = − L . ( ) 1 [ ] 1    − = − − p t e p  L (3) 利用位移定理 2 2 [cos ]   + = p p L t [ ( )] ( ).  = + − e f t f p t + L  ] cos . ( ) [ 2 2 1 e t p p t    −  − = + + + L 2 2 [sin ]    + = p L t ] sin . ( ) [ 2 2 1 e t p t    −  − = + + L (4) 求 ] ( ) [ 1 p p b e p + − −  L 先求 ] ( ) 1 [ 1 H t p = − L [ ] ( ) 1   = − − − H t p e p 则 L