拉普拉斯算子 △ 0x02 006 △ p- d az az (Sn6)+ Or rsin 0 ae 80 rsin 0 a 球坐标 d dr -l(+1)R=0 aY、1a2Y +l(+1)Y=0 sm 688 a0 sn 8 ap (r,0.9)=∑∑(Cr+-1 Am, cos mo+ Bn sin mo)o(O)
2 2 2 2 2 2 x z z + + = ( ) 1 ( ) 1 2 2 2 z z + + = 2 2 2 2 2 2 2 sin 1 (sin ) sin 1 ( ) 1 + + = r r r r r r 拉普拉斯算子 ( ) ( 1) 0 2 − l l + R = dr dR r dr d ( 1) 0 sin 1 (sin ) sin 1 2 2 2 + + = + l l Y Y Y ( , , ) ( )( cos sin ) ( ) 1 0 = + + + = A m B m r D u r C r l m m l l l l m 球坐标
0 do de x ah2~2 +(+1)=0 柱座标 c2+A=0 z-E=0 dr 1 dR +(--2)R=0 oao
m = 0 (1 ) 2 ( 1) 0 2 2 2 + + = − − l l dx d x dx d x 柱座标 0 2 2 + = d d Z''−Z = 0 ( ) 0 1 2 2 2 2 + + − R = m d dR d d R
二、本征值问题不加证明 1.如k(x)k(x)q(x)连续或最多以x=a和x=b为一阶极点,则存在无限 多个本征值 A≤≤… 及无限多本征函数 y1(x),y2(x),y3(x)… 2所有本征值A≥0 3.对应于不同的本征值的本征函数带权p(x)正交: Jp(x)y, (x)ym(x)dx=o 本征值与本征函数一一对应: A y, (x) ym,(
二、本征值问题 不加证明 1. 如 连续或最多以 和 为一阶极点，则存在无限 多个本征值： k(x), k'(x), q(x) x = a x = b 1 2 3 及无限多本征函数 y1 (x), y2 (x), y3 (x), 2. 所有本征值 k 0 3. 对应于不同的本征值的 本征函数带权 (x) 正交： 本征值与本征函数一一对应： ( ) ( ) y x y x m m n n ( ) ( ) ( ) = 0 x y x y x dx n m b a
4本征函数族完备f(x)=∑(x) 广义傅立叶级数 由正交性 fr f(x)y (xp(xdx 模 N2a=∫[Dn(x)(x)
4. 本征函数族完备 ( ) ( ) 0 f x f y x n n n = = 广义傅立叶级数 由正交性 = b a m m m f x y x x dx N f ( ) ( ) ( ) 1 2 = b a Nm [ ym (x)] (x)dx 2 2 模
勒让德多项式 (1-x)-P(x) 22! dx P(x)=∑(-1 2l-2k) 1-2k k=0 k2(-k)!(-2k) P(x)= 2 0 dx ()=1P(-1)=(-1yP(x)s1 1(x)P(x)x=0 2 2l+1
勒让德多项式 (1 ) 2 ( 1) 0 2 2 2 + + = − − l l dx d x dx d x l k l l k k l x k l k l k l k P x 2 [ / 2] 0 !2 ( )!( 2 )! (2 2 )! ( ) ( 1) − = − − − = − l l l l l x dx d l P x ( 1) 2 ! 1 ( ) 2 = − l l l l l x dx d l P x ( 1) 2 ! 1 ( ) 2 = − P1 (1) =1 l P( 1) ( 1) 1 − = − Pl (x) 1 ( ) ( ) 0 1 1 = − P x P x dx k l 2 1 2 2 + = l Nl
综合题 1.证明,n阶贝塞耳函数的拉普拉斯变换像函数为 LIU,(t) (√p2+1-p)” p+ 证明:贝塞耳方程 t4n+t+ (1)n=o tJo+tJo+t o=0 to+Jol+tJo=0
综合题 1. 证明，n阶贝塞耳函数的拉普拉斯变换像函数为 1 ( 1 ) [ ( )] 2 2 + + − = p p p J t n L n 证明： 贝塞耳方程 '' ' ( ) 0 2 2 2 t J n +t Jn + t − n J n = n = 0 '' ' 0 0 2 0 0 2 (1) t J +t J +t J = tJ0 ''+J0 '+tJ0 = 0
LIU+J +o]=Llto]+llo]+l[o=0 L[f() dlff(t)] L[Wo = -d LUO L["=-L" LU(J=PL[(]-pn-lf(o)-p"2(o) pf(n2(0)-fm(0 L[0’]=pL[J1-J0(0)=pL[o]-1
L[t J0 ''+J0 '+t J0 ] = L[t J0 '']+L[J0 ']+L[t J0 ] = 0 [ ''] [ ''] 0 0 J dp d L tJ = − L . [ ( )] [ ( )] dp d f t tf t L L = − [ ] [ ] 0 0 J dp d L tJ = − L (0) (0) [ ( )] [ ( )] (0) '(0) ( 2) ( 1) ( ) 1 2 − − − − − − = − − − n n n n n n pf f L f t p L f t p f p f L[J0 '] = pL[J0 ]− J0 (0) = pL[J0 ]−1
{pLJ]-p-J'(0)} Rp'lyo-pg 原方程变义+Lh-1-2L=0 (p2+1)L[J-p}-pL]+1=0 p[J]+(p2+1)L[]-1-pLJ]+1=0 pL|Jo]+(p2+1)L[o])=0
[ ''] { [ ] '(0)} 0 0 2 0 p J p J dp d L t J = − L − − { [ ] } 0 2 p J p dp d = − L − { [ 0 ] } [ 0 ] 1 [ 0 ] 0 2 − − + − − J = dp d p J p p J dp d 原方程变为 L L L {( 1) [ 0 ] } [ 0 ] 1 0 2 p + J − p − p J + = dp d L L 2 [ ] ( 1) '[ 0 ] 1 [ 0 ] 1 0 2 pL J0 + p + L J − − pL J + = [ ] ( 1) '[ 0 ]) 0 2 pL J 0 + p + L J =
--pdp dLo]_1 d(p2+1) LUOI -+1 D+1 C= p t 2. L[!J, "+tUn '+(t-n)Jn]=0 L[t +lt+Ltn-nL=0 4rf()=(-“L[f
[ ] 1 [ ] 2 0 0 + = − p pdp J d J LL 1 ( 1 ) 21 [ ] [ ] 2 2 0 0 ++ = − p d p J d J LL 1 [ ] 2 0 + = pC L J 2. [ '' ' ( ) ] 0 2 2 2 L t J n +t Jn + t − n J n = C=? [ ''] [ '] [ ] [ ] 0 2 2 2 L t J n + L t Jn + L t J n − n L J n = . [ ( )] [ ( )] ( 1 ) n n n n dp d f t t f t L L = −
tpLn-p(0)-J"(0)}-x2{pLn-J2(0)+2LJn-nLJn=0 LI+2pL,+2LI-pL[,+Ln+ +,L[-nLn= (p+d)ln+3p--L+lln-n'L=0 p2+1-p) }=hvp2+1-P)"Vp+1 +1 D vp+1 (Vp2+1)
{ [ ] (0) '(0)} { [ ] (0)} [ ] [ ] 0 2 2 2 2 2 2 n − n − n − n − n + Jn − n Jn = dp d p J J dp d p J pJ J dp d L L L L [ ] [ ] 0 [ ] 2 [ ] 2 [ ] [ ] [ ] 2 2 2 2 2 2 + − = + + − + + n n n n n n n J n J dp d J J dp d J J p dp d J p dp d p L L L L L L L ( 1) [ ] 3 [ ] [ ] [ ] 0 2 2 2 2 + n + Jn + Jn − n Jn = dp d J p dp d p L L L L 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 ( 1) ( 1 ) ( 1' 1) 1 ( 1 ) 1' } ' 1 ( 1 ) { + + − + − + − + − + = + + − − p n p p p p p p p p p p n n n