《数学物理方程》第二篇 数学物理方程 第七章 数学物理方程的定解问题 7.1 数学物理方程的导出 7.2 定解条件 7.3 稳定分布 7.4 达朗贝尔公式

第二篇数学物理方程 第七章数学物理方程的定解问题 7.1数学物理方程的导出 基本思路 1.受力分析 X↑ f=-p Axg 2.牛顿定律 X 3振动方程 mx=-p Axg x=0

第二篇 数学物理方程 第七章 数学物理方程的定解问题 7.1 数学物理方程的导出 一、基本思路 1.受力分析 x x 0 f = −s Axg 2. 牛顿定律 m  x  = f 3.振动方程 m  x  = −s Axg + x = 0 m Ag x  s 

1.目标:建立描述物理过程的微分方程。 2.操作:物理过程由物理量的变化描述→选取物理量 物理量的微分表示它的变化 物理过程服从物理规则(牛顿定律,库伦定 律等) →建立微分方程

1.目标：建立描述物理过程的微分方程。 2.操作：物理过程由物理量的变化描述→选取物理量， 物理量的微分表示它的变化； 物理过程服从物理规则（牛顿定律，库伦定 律等） →建立微分方程

二、几种基本的方程 1.均匀弦的微小横振动 (x,) xx+△x x (x+△x,t+△) y(x,1)=v(x,1) 变 化 y(x+△x,t+△)=l(x+△x,t+△)

1.均匀弦的微小横振动 y(x,t) = u(x,t) u(x,t) x x y x+x u(x + x,t + t)  变 化 y(x + x,t + t) = u(x + x,t + t) 二、几种基本的方程

A.弦的横振动 B无穷小的一段弦B C受力分析和运动方程 弦的原长As=△x现长△s=√(△x)2+(△2=△x 弦长的变化产生回到原位置的张力 l1+△ C B u(x) A x x+△v

A.弦的横振动 u(x) x 0 A B C x u(x) x+x u +u T1 1 T2 2 B.无穷小的一段弦 B C.受力分析和运动方程 弦的原长 s = x 现长 s = x + u = x 2 2 ' ( ) ( ) 弦长的变化产生回到原位置的张力

x T 弦长d≈a △i 质量密度P B段的质量 A pdx x x+△ x 沿x-方向,不出现平移 T2 cosa2-T COSa=0 沿垂直于x轴方向f=0n2-mn=mm1 T2 sin a2-I sin a,=(pdxut

u(x) x 0 A B C x u(x) x+x u +u T1 1 T2 2 沿x-方向，不出现平移 T2 cos2 −T1 cos1 = 0 ds  dx = dx 2 ( )  m = dx 弦长 质量密度 B段的质量 沿垂直于x-轴方向 myt t mut t dt d y f = m = = 2 2 T T dx ut t sin sin ( ) 2 2 − 1 1 = 

T COSa -T COSa,=0 T, sin a2-Tsin a,=(pdx )u 小振动:a→0.a,→>0.cosa;→> 1. cosa,→1 Sm1→> tan a1= OX Sn,2→tana,=l xx+△ T,-T1=0 2x x+dx urx=(pdx ut

T2 cos2 −T1 cos1 = 0 T T dx ut t sin sin ( ) 2 2 − 1 1 =  小振动： 0, 0,cos 1,cos 1. 1 → 2 → 1 → 2 → x ux x x u =   sin 1 → tan1 = 2 2 sin tan x x x   u → = +  T2 −T1 = 0 T ux x dx Tux x dx ut t ( ) 2 + − 1 = 

xx+ Tu x=(pdx )u T x x+dx xx dx Turr-pu=0 波动方程。u1-a2lx=0 2 TIp a at a 1 a 0 x= at ax ax at a at a波速

T ux x dx Tux x dx utt ( ) 2 + − 1 =  t t x x d x x x u dx u u T =  + − Tuxx − utt = 0 /  2 a = T 0 2 波动方程。 utt − a uxx = 波速 x at = t 1 x x t a t     = =     0 1 2 2 t t − ut t = a u a a

D受迫振动 在上式推导过程中,出现的力是弦内的张力,外力 为零。在受到与弦垂直方向的周期力的作用时,弦运 动为受迫振动 设单位长度上弦受力F(x1),则dx受力 为f(x,1)=F(x,)/p xx+dx Tu,x+F(x, tdx=(edx )u 最后得受迫振动方程 u -au=f(x, t)

D.受迫振动 在上式推导过程中，出现的力是弦内的张力，外力 为零。在受到与弦垂直方向的周期力的作用时，弦运 动为受迫振动。 设单位长度上弦受力 ，则 dx 受力 为 。 F(x,t) f (x,t) = F(x,t)/  x x dx x x dx dx ut t T u Tu F(x,t) ( ) 2 + − 1 + =  最后得受迫振动方程 ( , ) 2 u a u f x t t t − xx =

2均匀杆的纵振动 A杆的弹性力学基本力学方程:胡克定律r=3tL Y:杨氏模量,单位面积上的应力。 dL 杆中选L=dx长一段 F时刻t,x一端位移u,x+dx 端位移u+du。 L 杆的伸长cL=(+c)-l au f=ys= ysu dx

2.均匀杆的纵振动 A.杆的弹性力学基本力学方程：胡克定律 L dL f = YS Y：杨氏模量，单位面积上的应力。 L S dL f  杆中选 L=dx 长一段 时刻t，x 一端位移 u，x+dx 一 端位移 u+du。 dL = (u + du) −u = du YSux dx du f = YS = 杆的伸长

B运动方程 dl=(u+)-u=du f=ys YSu x xtd 更长的dx,两端的 相对伸长和应力将 不同,杆受力 f=flxds-fl2=YSu,+ -,=YSux 牛顿定律: f=p(sax)u a2u=0 a2=Y/p为波速

L S dL f  B.运动方程 x x + dx x u u + dx dL = (u + du) −u = du YSux dx du f = YS = 更长的dx，两端的 相对伸长和应力将 不同，杆受力 f f f YSu YSu YSu dx = x+dx − x = x+dx − x = xx 牛顿定律： Sdx utt f = ( ) 即 0 2 utt − a uxx = /  2 a = Y 为波速