本征值问题 9.1特殊函数的常微分方程 在三维空间使用球座标或柱座标。 (x,y,z) 边界 球极座标 r,6
本征值问题 9.1 特殊函数的常微分方程 在三维空间使用球座标或柱座标。 球极座标 r, , (x, y,z) r x y z z (x, y,z) r x y z z 边界
柱坐标 、正交曲线座标系中的拉普拉斯方程(见附录6) 直角坐标系中的拉普拉斯算子 2x2 0-2az 柱座标:Δ P0p0D×o,o (p)+ z 球座标 (Sn6)+ arar rsin 0 a0 a0 rsin0 a
(x, y,z) r x y z z h 柱坐标 , ,z 一、正交曲线座标系中的拉普拉斯方程 直角坐标系中的拉普拉斯算子： 2 2 2 2 2 2 x z z + + = 柱座标： ( ) 1 ( ) 1 2 2 2 z z + + = 2 2 2 2 2 2 2 sin 1 (sin ) sin 1 ( ) 1 + + = r r r r r r 球座标 （见附录6）
、拉普拉斯方程的分离变量 1.球座标 102 U ar Or rsin 008 a0 rsin 0 ao 分离变量 l(r,2q)=R(r)Y(,) Y a aR R ar r aY (Sn6-)+ arar rsin 0 ae 06 rsin 0 d0 1 a aR aY 1 a2Y (sin 6 R Or ar sin 80 00 Ysm 0 ao (+1) )-l(+1)R=0 dr dr aY 10Y .- (sin 8)+ sn600 6sn20+V1+1)y=0
二、拉普拉斯方程的分离变量 1. 球座标： 0 sin 1 (sin ) sin 1 ( ) 1 2 2 2 2 2 2 2 = + + u r u r r u r r r 分离变量 u(r,,) = R(r)Y(,) 0 sin (sin ) sin ( ) 2 2 2 2 2 2 2 = + + Y r Y R r R r R r r r Y ( 1) sin 1 (sin ) sin 1 ( ) 1 2 2 2 2 = + − = − l l Y Y Y r Y R r R r ( ) ( 1) 0 2 − l l + R = dr dR r dr d ( 1) 0 sin 1 (sin ) sin 1 2 2 2 + + = + l l Y Y Y (x, y,z) r x y z z
d dR a(a)-(+)=0 …、(x,y,=) a-Y (sin 0 +l(+1)Y=0 sin 0 ae ae sin 0 ac a.欧拉形方程 d dR (r2)-l(+1)R=0 解 R(r)=Cl D R(r)=C-(+1)2 Ir2R()=Cb4-(1+1)=1(+1)Cr1+
( ) ( 1) 0 2 − l l + R = dr dR r dr d ( 1) 0 sin 1 (sin ) sin 1 2 2 2 + + = + l l Y Y Y 欧拉形方程 1 ( ) + = + l l r D R r Cr a. 解： 2 1 '( ) ( 1) + − = − + l l r D R r Clr l [ '( )]' [ ( 1) ]' ( 1)[ ] 1 2 1 + + = − + = + + l l l l r D l l C r r D r R r Clr l ( ) ( 1) 0 2 − l l + R = dr dR r dr d ＃ (x, y,z) r x y z z
ar1 aY sin0-)+ sn606 a0 sm 8002+1(1+1)Y=0 b.球方程再令 Y(6,q)=(6d(q) d 0 sin b3+l(1+1)=0 sine d 1a2Φ (Sn6,-)+l(+1)sn2b= 0 o de +A=0 d sin 0(sin 0)+[(+Isn 8-nJ0=0 de
b. 球方程 再令 Y(,) = ( )() ( 1) 0 sin (sin ) sin 2 2 2 + + = + l l d d d d d d 0 1 (sin ) ( 1)sin sin 2 2 2 = + + = − d d l l d d d d 0 2 2 + = d d sin (sin ) [ ( 1)sin ] 0 2 + + − = l l d d d d ( 1) 0 sin 1 (sin ) sin 1 2 2 2 + + = + l l Y Y Y
2+Ad=0 b1.自然的周期边界条件 d(q+2丌)=d()=m 0.1.2 a()=A cos mo+Bm sin mo sin 0(sin 0)+[(+Isin 6-dJo=0 de d b2.1阶缔合勒让德方程 x=cos0 sin e de sin e r a ---SIn a0 ax (1-x2),]+[(+1)(1-x2)-m]=0
0 2 2 + = d d sin (sin ) [ ( 1)sin ] 0 2 + + − = l l d d d d b1. 自然的周期边界条件： ( + 2 ) = () = m 2 m = 0,1,2, () = Am cosm + Bm sin m b2. l-阶缔合勒让德方程 x = cos x x x x x = − − = − = sin sin sin (1 ) 2 2 (1 ) [(1 ) ] [ ( 1)(1 ) ] 0 2 2 2 2 + + − − = − − l l x m dx d x dx d x
]+[(+1) dx (,0.q)=∑∑(cr+_) Am cos mo+ B sin mo)(O) b3.4阶勒让德方程 u是轴对称的,对q的转动不改变u。 m=0 2x=,+(+1)e=0 dx
] 0 1 [(1 ) ] [ ( 1) 2 2 2 = − + + − − x m l l dx d x dx d b3. l-阶勒让德方程 u 是轴对称的，对φ的转动不改变 u 。 m = 0 (1 ) 2 ( 1) 0 2 2 2 + + = − − l l dx d x dx d x ( , , ) ( )( cos sin ) ( ) 1 0 = + + + = A m B m r D u r C r l m m l l l l m
2.柱座标: 1 au aa (P-)+ 0 p dpdp pdp 分离变量(,0,2)=R()y(q)z(=) ΦZddR、RZd2Φ (p,)+ 0 dz 2+A⑩=0 p dr pdr p dz Rdp2R2z么2s2 y h a d()=A cos mo+ Bm sin mo m=0
2. 柱座标： u(,,z) = R()()Z(z) ( ) ) 0 2 2 2 2 2 + = + dz d Z R d RZ d d dR d Z d ( ) 0 1 ( ) 1 2 2 2 = + + z u z u u 0 2 2 + = d d + + = 2 2 2 2 2 2 dz d Z d Z dR d R d R R 分离变量 a. = m 2 m = 0,1,2, () = Am cosm + Bm sin m (x, y,z) r x y z z h
d Rx dR 1 dz r dp pr dp p 2=-1 ZuZ=O dr 1 dR +(L )R=0 Z=0 Z=C+Dz d2r 1 dr m dr dR tadp R=O P m2R=0 a(p dp R )-m2R=0 dR R=0 n B r= AemInp+Be -mInp= Ap
+ − = − = − 2 2 22 2 2 1 1 1 dz d Z Z m d dR d R d R R b. Z ' ' − Z = 0 ( ) 0 1 22 2 2 + + − R = m d dR dd R c1. = 0 Z = C + Dz m mB A = + Z '' 0 = 2 2 2 2 1 0 d R dR m R d d + − = 2 2 2 2 0 d R dR m R d d + − = 2 ( ) 0 d dR m R d d − = 2 2 2 0 (ln ) d R m R d − = m m ln ln R Ae Be − = +
c2. ≠0 Z-uZ=O x,y,2) Z=Ce +De -vA 2 上下底的非齐次边界条件 pP如+(- dr 1 dR )R=0 ldr 1 dR dr 1 dR +(--2)R (1-=2)R=0 u a dx 贝塞耳方程
c2. 0 c2.1. 0 z z Z Ce De − = + x = (1 ) 0 1 ( ) ] 1 [ 1 2 2 2 2 2 2 2 2 + + − = + + − R = x m dx dR dx x d R R m d dR d d R 贝塞耳方程 上下底的非齐次边界条件 ( ) 0 1 2 2 2 2 + + − R = m d dR d d R Z''−Z = 0 (x, y,z) r x y z z h