8.1分离变量法介绍 (一)分离变量法 A.(泛定方程)波动方程: tta 0 边界条件: n(x,D)=0=0(x,)=0 初始条件: 1=0=(x)u1=0=v(x) 对于确定的频率,解是驻波: 每一点绕平衡位置振动T() 波腹 振幅随位置变化x(x) 驻波解:u(x,t)=X(x)(t) 波节 这是解的分离变量 带入波动方程、边界条件: XT-aXT=0 即X(0)=0和X()=0 X￥(7(t)=0X()7(t)=0 (XT-a2XT)/a2XT=0→ 0 at X
8.1 分离变量法介绍 （一）分离变量法 （泛定方程）波动方程： 0 2 utt − a uxx = 边界条件： ( ) 0 u x t= = ( ). 0 u x t t= = u(x,t) x=0 = 0 u(x,t) x=l = 0 初始条件： 波腹 波节 2.5 5 7.5 10 12.5 15 -1 -0.5 0.5 1 每一点绕平衡位置振动 T (t) 振幅随位置变化 X (x) 驻波解： u(x,t) = X (x)T(t) 对于确定的频率，解是驻波： 带入波动方程、边界条件： '' '' 0 2 XT −a X T = 即 X (0) = 0 和 X (l) = 0 X (0)T(t) = 0 X (l)T(t) = 0 0 '' '' 2 − = X X a T T ( '' '' )/ 0 2 2 XT −a X T a XT = 这是解的分离变量 A
Clearly, 7()X(x) ⅹ,t是相互独立的变量,这个方程的两边互不统属,而各自独立变化。故比只能 为一常数 (t) 27 由分离变量,波动方程(偏微分方程)变为常微分方程组: T+ha t=o X+AX X(0)=0和X(1)=0 B.X"+X=0,的解 <0 X+aX=0 X(x)=Cev-ir +ce-v-in X(0)=0 C1+C,=0 C=C2=0 X()=0 C2e A=0
( ) ''( ) ( ) ''( ) 2 X x X x a T t T t Clearly, = x, t 是相互独立的变量，这个方程的两边互不统属，而各自独立变化。故比只能 为一常数！ = = − ( ) ''( ) ( ) ''( ) 2 X x X x a T t T t 由分离变量，波动方程（偏微分方程）变为常微分方程组： '' 0; 2 T +a T = X ''+X = 0; X (0) = 0 和 X (l) = 0. B. (1) 0 X''+X = 0 x x X x C e C e − − − = 1 + 2 ( ) X (0) = 0 C1 +C2 = 0 X (l) = 0. 1 + 2 = 0 − l − − l C e C e C1 =C2 = 0 X ''+X = 0; 的解：
2)=0 x(x)=Cx+C2→c2=0c+C2=0→C1=C2 (3) a>0 X(x)=C Vix+C, sin ix X(0)=0→ X(=0→c:sn√=0 →非零解C2≠0sm A=0 nTa X(x)=C, sir C2是积分常数。 n兀 :本征值 X+X=0 :本征值方程 n X(xC:本征函数
(2) = 0 1 2 X(x) =C x +C C2 = 0 0 C1 l +C2 = C1 =C2 = 0 (3) 0 X (x) C cos x C sin x = 1 + 2 X (0) = 0 C1 = 0 X (l) = 0. sin 0 C2 l = 非零解 sin l = 0 2 2 2 l n = l n x X x C ( ) = 2 sin 2 2 2 l n = ：本征值 l n x X x C ( ) = 2 sin ：本征函数 X ''+X = 0; ：本征值方程 C2是积分常数。 0 n =1,2,3 C2
C T"+ n2兀aT =0, nat naat T(t=Acos +B A、B是积分常数。 nat naat nZA u, (x, t)=(A, coS+B, sin -)sin n=1,2,3 ()=∑(4 cost. sin nza)-mnz naat 由初始条件:410)∑如2四一=04=9:k nzA (x) B 1(x) B y(5) Sin 0
C. '' 0; 2 2 2 2 + T = l n a T ( ) cos sin , l n at B l n at T t A = + A、B 是积分常数。 ( , ) ( cos sin )sin . l n x l n at B l n at un x t An n = + n =1,2,3 ( , ) ( cos sin )sin . 1 l n x l n at B l n at u x t An n n = + = D. ( ) 0 u x 由初始条件： t= = sin ( ), 1 x l n x An n = = ( )sin ; 2 0 d l n l A l n = ( ). 0 u x t t= = sin ( ). 1 x l n x B l n a n n = = ( )sin . 2 0 d l n n a B l n =
小结 分离变量 u(x,D)=X(x)7(1)XT"-a2XT=0 X(0)7()=0X(1)7()=0 naat B rat nZA 边值确定本征值函数:an(x,1)=(A1cos 初值确定叠加系数:A=min"d、B2[v()sm"nd5 (x,1)=∑(A1cos nat naat nm℃ B, sin -) 注意:边界值等于零(齐次边界条件)是确定本征函数的根本
小结 分离变量： u(x,t) = X (x)T(t) '' '' 0 2 XT −a X T = X (0)T(t) = 0 X (l)T(t) = 0 ( , ) ( cos sin )sin . 1 l n x l n at B l n at u x t An n n = + = 边值确定本征值函数： ( , ) ( cos sin )sin . l n x l n at B l n at un x t An n = + 初值确定叠加系数： ( )sin ; 2 0 d l n l A l n = ( )sin . 2 0 d l n n a B l n = 注意：边界值等于零（齐次边界条件）是确定本征函数的根本
(二)例 例↑磁致伸缩换能器一两端自由得均匀细杆 自由:振动传递给外界 u -a u XX l,(x,1)==0(xD)==0 1=0=9(x)u(x)=0=v(x) A.分离变量:v(x,1)=Y(x)(1)x,-a2xT=0 X"(O)7()=0X()7(t)=0 T+ha T=0 X(0)=0和X(D)=0 X+X=0 X(x)=C1cos√x+C2si AC2=0 n丌 n=0,1,2,3 √A(-C1sn√a+C2cos)=0
（二）例 例1 磁致伸缩换能器－两端自由得均匀细杆。 自由：振动传递给外界 0 2 utt − a uxx = 0 l x ux (x,t) x=l = 0 ux (x,t) x=l = 0 ( ) 0 u x t= = ( ) ( ) 0 u x x t t= = A. u(x,t) = X (x)T(t) '' '' 0 2 XT −a X T = X '(0)T(t) = 0 X '(l)T(t) = 0 分离变量： '' 0; 2 T +a T = X ''+X = 0; X '(0) = 0 和 X '(l) = 0. X (x) C cos x C sin x B. = 1 + 2 0, C2 = (−C1 sin l +C2 cos l) = 0 2 2 2 l n = n = 0,1,2,3
X(x=C T=0 10(1)=A0+B (x, t)=A+B n=0 naat naat u,(r, t)=(Acarat naat nZ T, (t)=A, cos+ B,sin +B si )COS n=1,2,3 t u(x, t)=Ao+ B(+2(A, cos"+B, sin /cos nAr naat 由初始条件: 4=9()4+∑4m=94=054=82 W(x)B+∑" nZ 2 nTc (2×d,B ds n
l n x X x C ( ) cos = 1 C. '' 0; 2 2 2 2 + T = l n a T ( ) cos sin , l n at B l n at Tn t An n = + ( , ) ( cos sin ) cos . l n x l n at B l n at un x t An n = + n =1,2,3 T t A B t 0 0 0 ( ) = + u x t A B t n = 0 0 0 0 ( , ) = + ( , ) ( cos sin ) cos . 1 0 0 l n x l n at B l n at u x t A B t An n n = + + + = D. ( ) 0 u x t= = 由初始条件： sin ( ), 1 0 x l n x A An n + = = ( ) , 1 0 0 d l A l = ( ). 0 u x t t= = sin ( ). 1 0 x l n x B l n a B t n n + = = ( )cos . 2 0 d l n n a B l n = ( )cos ; 2 0 d l n l A l n = ( ) , 1 0 0 d l B l =
二类边界条件决定的驻波 自由 固定 自由 自由 固定 自由 固定 固定
2 4 6 8 -1 -0.5 0.5 1 x = 0 固定 x = l 自由 3 4 5 6 7 8 -1 -0.5 0.5 1 x = 0 自由 x = l 自由 4 6 8 -1 -0.5 0.5 1 x = 0 自由 x = l 固定 2.5 5 7.5 10 12.5 15 -1 -0.5 0.5 1 x = 0 固定 x = l 固定 一、二类边界条件决定的驻波
例2 单簧管,均匀细管。研究管内空气柱的声振动,纵振动。一端固定,另一端自由。 求本征振动。 u - u 0 不需要初始条件。 l(x)x0=0u2(x,D)==0 A.分离变量:2(x0)=X(x)7() XT"-a2XT=0X07(t)=0X()7()=0 X(0)=0和X()=0 T"(t) a27()X(x)~2 X(0)=0和x()=0
例2: 单簧管，均匀细管。研究管内空气柱的声振动，纵振动。一端固定，另一端自由。 0 2 utt − a uxx = u(x,t) x=0 = 0 ux (x,t) x=l = 0 求本征振动。 不需要初始条件。 A. u(x,t) = X (x)T(t) '' '' 0 2 XT −a X T = X (0)T(t) = 0 X '(l)T(t) = 0 分离变量： X (0) = 0 和 X '(l) = 0 = = − ( ) ''( ) ( ) ''( ) 2 X x X x a T t T t '' 0; 2 T +a T = X ''+X = 0; X (0) = 0 和 X '(l) = 0. 0 l x
B X(x)=C1cos√Ax+C2sin√x X(0)=0和X(=0→G=0和c2 cos√Al=0 (k+)2丌 (2k+1)2x k=0,1,2,3 4 X(x)=C2sn C.r+(2k+1)nar=0 2k +D)rat T(=Acos Bsin (2k+1)rat 27 u,(x, t)=(A, cos (2k+lrat B (2k+1)mt1(2k+1) k=0,1,2,3 2l 27 K=0:基频 K>0:谐频
X (x) C cos x C sin x = 1 + 2 B. X (0) = 0 和 X '(l) = 0. C1 = 0 cos 0 和 C2 l = 2 2 2 2 2 2 4 (2 1) ) 2 1 ( l k l k + = + = k = 0,1,2,3 l k x X x C 2 (2 1) ( ) sin 2 + = C. 0; 4 (2 1) '' 2 2 2 2 = + + T l k a T , 2 (2 1) sin 2 (2 1) ( ) cos l k at B l k at T t A + + + = . 2 (2 1) )sin 2 (2 1) sin 2 (2 1) ( , ) ( cos l k x l k at B l k at uk x t Ak k + + + + = k = 0,1,2,3 K=0：基频。 K>0：谐频
