《高等数学》课程教学资源：第二章 导数与微分（2.5）高阶导数

§2.5高阶导数 今高阶导数的定义 今几个初等函数的n阶导数 今函数和差、积的n阶导数 自贝

❖高阶导数的定义 ❖几个初等函数的 n 阶导数 ❖函数和差、积的n 阶导数 §2.5 高阶导数 首页 上页 返回 下页 结束 铃

今高阶导数的定义 我们把函数y=(x)的导数y=f(x)的导数(如果可导)叫 做函数y=f(x)的二阶导数,记作 y、f"(x)或 dx2 即y=0),(x)=°(x)y或2y=4() 类似地,二阶导数的导数叫做三阶导数,三阶导数的 导数叫做四阶导数;一般地,(n-1)阶导数的导数叫做n阶 导数,分别记作 ,y()或 dxl 页返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 我们把函数y=f(x)的导数y =f (x)的导数(如果可导)叫 做函数y=f(x)的二阶导数 记作 y 、f (x)或 2 2 dx d y  即 y =(y)  f (x)=[f (x)] 或 ( ) 2 2 dx dy dx d dx d y =  类似地 二阶导数的导数叫做三阶导数 三阶导数的 导数叫做四阶导数; 一般地 (n−1)阶导数的导数叫做n阶 导数 分别记作 y y (4)      y (n) 或 3 3 dx d y  4 4 dx d y      n n dx d y  下页 ❖高阶导数的定义

y′=(y),f"(x)=f(x), dzy d dy dx2 dx dx 函数y=f(x)的导数y′=f(x) 撤加一撤, 是x的函数,我们把y=f(x)的导数 当然是两撒 叫做函数y=f(x)的二阶导数,记作 2 y"=(y)或 dx dx 例1y=ax+b,求y 解y=a,y 例2s=sino,求s" 解 s=ocosot. s=-0-sinot 页返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 例1 y=ax+b 求y 例2 s=sinwt 求s 解 y=a y=0 解 s=wcoswt s=−w2 sinwt y =(y)  f (x)=[f (x) ]  ( ) 2 2 dx dy dx d dx d y =  下页

y′=(y),f"(x)=f(x), dzy d dy dx2 dx dx 例3证明:函数y=2x-x2满足关系式y3y"+1=0 证明因为y= 2-2x X 2√2x 2x 2-2x X-X 2√2x-x2 y Ox-x -2x+x2-(1-x)2 (2x-x2)(2x-x2) (2x-x2)2 所以y3y+1=0 自贝 页返回 下页结束 铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 证明 因为 2 2 2 1 2 2 2 2 x x x x x x y − − = − −  =  所以y 3y+1=0 y =(y)  f (x)=[f (x) ]  ( ) 2 2 dx dy dx d dx d y =  2 2 2 2 2 2 2 2 2 (1 ) x x x x x x x x y − − − − − − −  = (2 ) (2 ) 2 (1 ) 2 2 2 2 x x x x x x x − − − + − − = (2 ) (2 ) 2 (1 ) 2 2 2 2 x x x x x x x − − − + − − = 3 2 3 2 1 (2 ) 1 y x x =− − =−  证明 证明 函数 2 2 y = x−x 满足关系式 1 0 例3 y 3 y + =  证明 因为 2 2 2 1 2 2 2 2 x x x x x x y − − = − −  =  (2 ) (2 ) 2 (1 ) 2 2 2 2 x x x x x x x − − − + − − = 3 2 3 2 1 (2 ) 1 y x x =− − =−  (2 ) (2 ) 2 (1 ) 2 2 2 2 x x x x x x x − − − + − − = 3 2 3 2 1 (2 ) 1 y x x =− − =−  首页

今几个初等函数的n阶导数 例4求函数y=ex的m阶导数 解y′=er,y=e,y"=e,y4)=e 般地,可得yn)=e,即(e)yn)=e 例5求函数n(1+x)的m阶导数 解y=ln(1+x),y=(1+x)-1,y′=(1+x)2, y"=(-1)(-2)(1+x)-3,y4=(-1)(-2)(-3)(1+x)-4, 般地,可得 y0)=(-1)(-2)·(-n+1)1+x)n=(-1) (n-1) +x 即 n(1+x)y=(-1)y=1(n2-1y (1+x) 页返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 例4 求函数y=e x的n阶导数 即(e x ) (n)=e x 一般地 可得y  (n)=e x  y=e x 解  y (4)=e x y=e  x y=e  x  例5 求函数ln(1+x)的n阶导数 一般地 可得 y (4)=(−1)(−2)(−3)(1+x) −4  解 y=ln(1+x) y (n)=(−1)(−2)  (−n+1)(1+x) −n n n x n (1 ) ( 1)! ( 1) 1 + − = − −  即 n n n x n x (1 ) ( 1)! [ln(1 )] ( 1) ( ) 1 + − + = − −  y =−(1+x) −2 y=(1+x)  −1  y =(−1)(−2)(1+x) −3  下页 ❖几个初等函数的 n 阶导数

例6求正弦函数和余弦函数的n阶导数 解y=sinx, y=cosx=sin(x+2), y=cos(x+/)=sin(x+2+2)=sin(x+2.) ,"=cOS(x+2. )=sin(x+2.+ 2 2=sIn(x+.T 般地,可得 yn)=sin(x+nA), Ep(sin x)(n)=sin(x+n. 用类似方法,可得(cosx))=cos(x+n-x) 页返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 例6 求正弦函数和余弦函数的n阶导数 解 y=sin x 一般地 可得 ) 2 cos sin(  y  = x = x+  ) 2 ) sin( 2 2 2 ) sin( 2 cos(     y  = x+ = x+ + = x+   ) 2 ) sin( 3 2 2 ) sin( 2 2 cos( 2     y  = x+  = x+  + = x+   ) 2 sin( ( )  y = x+n n  即 ) 2 (sin ) sin( ( )  x = x+n n  用类似方法 可得 ) 2 (cos ) cos( ( )  x = x+n n  ) 2 cos sin(  y  = x = x+  ) 2 ) sin( 2 2 2 ) sin( 2 cos(     y  = x+ = x+ + = x+  ) 2 ) sin( 2 2 2 ) sin( 2 cos(     y  = x+ = x+ + = x+   ) 2 ) sin( 3 2 2 ) sin( 2 2 cos( 2     y  = x+  = x+  + = x+  )  2 ) sin( 3 2 2 ) sin( 2 2 cos( 2     y  = x+  = x+  + = x+   ) 2 sin( ( )  y = x+n n  即 ) 2 (sin ) sin( ( )  x = x+n n  下页

例7求幂函数y=x(是任意常数)的m阶导数公式 解 y=1(1)x2, y"=1(4-1)(4-2)x3 4)=1(-1)(42)(-3)x-4, 般地,可得 (n)=(-1)(2)…(4=n+1)xn, 即 (x)y)=1(-1)(42)…(4-m+1)x 当=n时,得到 (x)ym)=(-1)(-2)…3.2·1=n (x)yn+1=0 首页返回下页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 例7 求幂函数y=x m (m是任意常数)的n阶导数公式 而 (x n ) (n+1)=0 当m=n时 得到 即 (x m ) (n) =m(m−1)(m−2)    (m−n+1)x m−n  一般地 可得 y=mx m−1  y=m(m−1)x m−2  y=m(m−1)(m−2)x m−3  y (4)=m(m−1)(m−2)(m−3)x m−4  y (n)=m(m−1)(m−2)    (m−n+1)x m−n  (x n ) (n) =m(m−1)(m−2)    3  2  1=n!  解 首页

今函数和差、积的n阶导数 函数和差的n阶导数 l(+y)n)=()+1(m °函数积的n阶导数 (ivy=u'v+uv (uvy=uv+2u'v+uv (uv)y"=a"+3r"y+3n'v"+av", 用数学归纳法可以证明 ()()=∑Cn(m=)v6) k=0 这一公式称为莱布尼茨公式 页返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 这一公式称为莱布尼茨公式 •函数和差的 n 阶导数 •函数积的 n 阶导数 用数学归纳法可以证明 (uv) (n)=u (n)+v (n)  (uv)=uv+uv (uv)=uv+2uv+uv (uv)=uv+3uv+3uv+uv   = = − n k k n k k n n uv C u v 0 ( ) ( ) ( ) ( )  下页 ❖函数和差、积的 n 阶导数

〖某布尼签公式 设nx),vx)在x处 具有n阶导数,更 a) 且P<0 例8y=x2e2x,求 解设v=e2x,v=x2,则 (u))=2ke2(k=1,2,…,20), v'=2x,v=2,(v)(=0(k=3,4,…,20), 代入莱布尼茨公式,得 20=(-y)20)=1/20)y+C2049),y+C2418y 220e2xx2+20.2192x2x+190.218e2x.2 202(x2+20x+95) 页返回 下页结束 铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 例8 y=x 2e 2x  求y (20)  代入莱布尼茨公式 得 (u) (k)=2 ke 2x (k=1 2    20)  v=2x (v) (k) v=2 =0 (k=3 4     20)  =2 20e 2x (x 2+20x+95)  解 设u=e 2x  v=x 2  则 结束 =2 20e 2x x 2 +202 19e 2x 2x +1902 18e 2x 2 y (20)=(uv) (20) =u (20)v+C20u (19)v+C20u (18)v 1 2