《高等数学》课程教学资源：绪论

绪论 高等数学与初等数学有什么不同?它们各自研究的 对象和方法是什么? 大千世界万事万物,无不在一定的空间中运动变化, 而在这过程中都存在一定的数量关系 数学研究现实中数量关系与空间形式的科学。 首页上页返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 高等数学与初等数学有什么不同？它们各自研究的 对象和方法是什么？ 大千世界万事万物，无不在一定的空间中运动变化， 而在这过程中都存在一定的数量关系。 数学——研究现实中数量关系与空间形式的科学。 绪论 下页

17世纪初等数学 1637年, Descarte坐标系 Newton, Leibnitz微积分 变量、变数 不规则几何体、曲线曲面 数学分析高等代数高等几何 微积分一数学的门扉 高等数学 首页上页返回 页结束铃

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阿基米德圆锥曲线的研究,变速运动,坐标系的出现是 数学的转折点。 初等数学:形式逻辑。孤立,静止,一个一个的数 微积分—无穷小量分析 在微积分中要加强而不是回避逻辑,要从直观上理解和 分析漂亮的概念,严密性不妨碍直观理解。学会方向思 维 21世纪的高科技—“数学技术”,不仅是工具,而且 从后台走到了前台。要明白:(1)数学作为科学方法 的效力,他应有的统一与美;(2)数学的应用,最好 的学习就是用?要培养应用数学的意识、兴趣和能力。 首页上页返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 阿基米德圆锥曲线的研究，变速运动，坐标系的出现是 数学的转折点。 初等数学：形式逻辑。孤立，静止，一个一个的数。 微积分——无穷小量分析 在微积分中要加强而不是回避逻辑，要从直观上理解和 分析漂亮的概念，严密性不妨碍直观理解。学会方向思 维。 21世纪的高科技——“数学技术” ，不仅是工具，而且 从后台走到了前台。要明白：（1）数学作为科学方法 的效力，他应有的统一与美；（2）数学的应用，最好 的学习就是用？要培养应用数学的意识、兴趣和能力。 下页

三、函数 1.函数概念 今定义 设数集D_R,则称映射f:D→R为定义在D上的函数, 通常简记为 y=(x),x∈D 其中x称为自变量,y称为因变量,D称为定义域,记作D 即D=D 说明: 函数的记号是可以任意选取的除了用f外,还可用“g “F、“q”等,此时函数就记作yg(x)、y=F(x)、y=x) 等 但在网页间题中不同的函教应的号。铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 说明: 记号f和f(x)的区别: 前者表示自变量x和因变量y之间的对 应法则, 而后者表示与自变量x对应的函数值. 说明: 为了叙述方便, 常用记号“f(x), xD”或“ y=f(x), xD”来 表示定义在D上的函数,这时应理解为由它所确定的函数f . 说明: 函数的记号是可以任意选取的, 除了用f 外, 还可用“g” 、“F”、“”等, 此时函数就记作y=g(x)、 y=F(x)、y=(x) 等. 但在同一问题中, 不同的函数应选用不同的记号. 三、函数 设数集DR, 则称映射f : D →R为定义在D上的函数, 通常简记为 y=f(x), xD, 其中x称为自变量, y称为因变量, D称为定义域, 记作Df , 即Df=D. 1.函数概念 ❖定义 下页

今函数的两要素 构成函数的要素是定义域D及对应法则f 如果两个函数的定义域相同,对应法则也相同,那么 这两个函数就是相同的,否则就是不同的 今函数的定义域 函数的定义域通常按以下两种情形来确定: 对有实际背景的函数,根据实际背景中变量的实际 意义确定 对抽象地用算式表达的函数,其定义域是使得算式 有意义的一切实数组成的集合,这种定义域称为函数的 自然定义域 首页上页返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 构成函数的要素是定义域Df及对应法则f. 如果两个函数的定义域相同, 对应法则也相同, 那么 这两个函数就是相同的, 否则就是不同的. ❖函数的两要素 函数的定义域通常按以下两种情形来确定: 对有实际背景的函数, 根据实际背景中变量的实际 意义确定. ❖函数的定义域 对抽象地用算式表达的函数, 其定义域是使得算式 有意义的一切实数组成的集合, 这种定义域称为函数的 自然定义域. 求函数的定义域举例>>> 下页

今单值函数与多值函数 在函数的定义中对每个x∈D,对应的函数值y总是唯 的,这样定义的函数称为单值函数 如果给定一个对应法则,按这个法则,对每个x∈D,总 有确定的y值与之对应,但这个y不总是唯一的,我们称这 种法则确定了一个多值函数 例如,由方程x2+y2=2确定的函数是一个多值函数: √r2-x 此多值函数附加条件“y20后可得到一个单值分支 y=n1(x)=V2-x2 首页上页返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 ❖单值函数与多值函数 在函数的定义中,对每个xD, 对应的函数值y总是唯 一的, 这样定义的函数称为单值函数. 如果给定一个对应法则, 按这个法则, 对每个xD, 总 有确定的y值与之对应, 但这个y不总是唯一的, 我们称这 种法则确定了一个多值函数. 例如, 由方程x 2+y 2=r 2确定的函数是一个多值函数: 下页 此多值函数附加条件“y0”后可得到一个单值分支 2 2 1 y= y (x)= r −x . 2 2 y= r −x

今函数的表示法 表示函数的主要方法有三种:表格法、图形法、解 析法(公式法) 用图形法表示函数是基于函数图形的概念,坐标平 面上的点集 {P(x,y)b=(x),x∈D} 称为函数y=(x),x∈D的图形 y=/(x R 1(x,y) 首页上页返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 表示函数的主要方法有三种: 表格法、图形法、解 析法(公式法). 用图形法表示函数是基于函数图形的概念, 坐标平 面上的点集 {P(x, y)|y=f(x), xD} 称为函数y=f(x), xD的图形. ❖函数的表示法

今函数举例 例5函数y=2 这是一个常值函数, 2 其定义域为D=(-∞,+∞) 其值域为R={2} 例6函数y=x= xx≥0 r X< 0 此函数称为绝对值函数, 其定义域为D=(-∞,+∞), 其值域为R=[0,+∞) x 首页上页返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 此函数称为绝对值函数, 其定义域为D=(−, +), 其值域为Rf =[0, + ). 例 6. 函数    −   = = 0 0 | | x x x x 例6 y x . 例5 函数 y=2. 这是一个常值函数, 其定义域为D=(−, +), 其值域为Rf ={2}. 下页 ❖函数举例

1x>0 例7函数y=gnx 0x=0 y-sgnx 1x<0 此函数称为符号函数, 其定义域为D=(-∞,+∞), 其值域为R={-1,0,1} 例8函数y=x] y=] 此函数称为取整函数 其定义域为D=(-∞,+∞) 23x 其值域为R=Z 注:设x为任上实数,不超过x的最大整数称为x的整数部 分,记作[x 首页上页返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 此函数称为符号函数, 其定义域为D=(−, +) , 其值域为Rf ={−1, 0, 1}. 例8 函数y=[x]. 例 例 7.7 函数     −  =  = = 1 0 0 0 1 0 sgn x x x y x . 下页 注: 设x为任上实数, 不超过x的最大整数称为x的整数部 分, 记作[x]. 此函数称为取整函数, 其定义域为D=(−, +), 其值域为Rf =Z

例9函数y 2√x01 此函数的定义域为D=[0,1](0,+∞)=[0,+∞) 当0≤x≤1时,y=2x;当x1时,y=1+x 例如f()=2=√2; f()=21=2;3)=1+3-4 今分段函数 在自变量的不同变化范围中,对 应法则用不同式子来表示的函数称 为分段函数 O 首页上页返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 例 6. 函数    +    = 1 1 2 0 1 x x x x y 例9 . 此函数的定义域为D=[0, 1](0, +)=[0, +). 当 0  x 1 时, y =2 x  当 x>1 时, y=1+x. 例如 2 2 1 ) 2 2 1 f ( = =  f (1)=2 1 =2 f(3)=1+3=4. 例如 2 2 1 ) 2 2 1 f ( = =  f (1)=2 1 =2 ❖分段函数 在自变量的不同变化范围中, 对 应法则用不同式子来表示的函数称 为分段函数. 当 0  x 1 时, y =2 x  当 x>1 时, y=1+x. 下页