《高等数学》课程教学资源：第八章 多元函数微分法及其应用（8.4）多元复合函数的求导法则

§84多元复合函数的求导法则 设=(x,y),而=0(0y=(),如何求? 设z=f(v,),而v=9(x,y),v=(x,y),如何求和? ax 自

§8.4 多元复合函数的求导法则 首页 上页 返回 下页 结束 铃 设 z=f(u v) 而 u=(t) v=(t) 如何求 dt dz ？ 设 z=f(u v) 而 u=(x y) v=(x y) 如何求 x z   和 y z   ？

今中间变量为一元函数的情形 定理1如果函数=0()及v=1都在点团可导,函数=f(,y) 在对应点(u,v)具有连续偏导数,则复合函数z=0(,w在点 可导,且有 >> dt au dt av di °定理1的推广 设z=(,v,1),l=(t),v=v(,w=o(t), dz az du az dv az d dt au dt ay dt aw dt 上述在称为全导数 返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 设z=f(u v w) u=(t) v=(t) w=w(t) 则 下页 >>> 定理1 如果函数u=(t)及v=(t)都在点t可导 函数z=f(u v) 在对应点(u v)具有连续偏导数 则复合函数z=f[(t) (t)]在点 t可导 且有 dt dv v z dt du u z dt dz     +   =  •定理1的推广 dt dw w z dt dv v z dt du u z dt dz   +   +   =  ❖中间变量为一元函数的情形 上述 dt dz 称为全导数

设z=(,V),=0(,v=(,则女_0.a-0z,dh dt au dt ay dt 今中间变量为多元函数的情形 定理2如果函数=0x,y),=(x,y)都在点x,y)具有对x及 y的偏导数,函数二=(u,v)在对应点(,y)具有连续偏导数,则复 合函数0x,y),(x,y)在点(x,y)的两个偏导数存在,且有 azaz au az av ax au ax ay ax 定理1的推广 设z=f(,v,1),l=(x,y),v=(x,y),=(x,y),则 azaz au az ay az a Dz au az av az aw + ax au ax ay ax ow ax Ou ay Ov ay aw a 返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 x v v z x u u z x z      +      =    y v v z y u u z y z      +      =    dt dv v z dt du u z dt dz     +   设z=f(u v) u=(t) v=(t) 则 =  定理2 如果函数u=(x y) v=(x y)都在点(x y)具有对x及 y的偏导数 函数z=f(u v)在对应点(u v)具有连续偏导数则复 合函数z=f[(x y) (x y)]在点(x y)的两个偏导数存在且有 ❖中间变量为多元函数的情形 •定理1的推广 设z=f(u v w) u=(x y) v=(x y) w=w(x y) 则 x w w z x v v z x u u z x z      +      +      =    y w w z y v v z y u u z y z      +      +      =    下页

设z=f,v),l=0(,v=(0),则_az.daz.dh dt au dt 设二=fn,y),=0(x,y),v=v(x,y),则 azaz au az av azaz au az av Ox Ou ax av ax ay ou dy ov a 例1设=c"sm,=x,m=x+y,求和 ax 解 azaz au az av Ox au ax ay ax =esin v.+ecoS v1=exyly sin(x+y)+cos(x+y)] =59y =esin vx+ecos v I=e yx sin(x+y)+cos(x+y)] 返回 结束

首页 上页 返回 下页 结束 铃 x v v z x u u z x z      +      =    y v v z y u u z y z      +      =    设z=f(u v) u=(x y) v=(x y) 则 例 1 设 z=e u sin v u=xy v=x+y 求 x z   和 y z   例1  解 x v v z x u u z x z      +      =  解  =e xy =e [y sin(x+y)+cos(x+y)] usin v +e 1 u y cos v y v v z y u u z y z      +      =   =e usin v =e xy +e 1 [x sin(x+y)+cos(x+y)] u x cos v dt dv v z dt du u z dt dz     +   设z=f(u v) u=(t) v=(t) 则 =  下页

设z=f,v),l=0(,v=(0),则_az.daz.dh dt au dt 设二=fn,y),=0(x,y),v=v(x,y),则 azaz au az av azaz au az av Ox Ou ax av ax ay ou dy ov a 讨论: (1)设=f,v),=g,y),v奶_,=? OX (2)设z=f(,x,y),且v=m(x,y),则 提示 (1) az au az dv Ou ay av dy az af Ou af az of Ou, of Ox au ax'ax’ ay Ou ay ay 返回 结束

首页 上页 返回 下页 结束 铃 x v v z x u u z x z      +      =    y v v z y u u z y z      +      =    设z=f(u v) u=(x y) v=(x y) 则 dt dv v z dt du u z dt dz     +   设z=f(u v) u=(t) v=(t) 则 =  (1)设 z=f(u v) u=(x y) v=(y) 则 =   x z ？ =   y z ？ (2)设 z=f(u x y) 且 u=(x y) 则 =   x z ？ =   y z ？ 讨论 提示 (1) x u u z x z      =    dy dv v z y u u z y z    +      =    (2) x f x u u f x z   +     =    y f y u u f y z   +     =    (1) x u u z x z      =    dy dv v z y u u z y z    +      =    (2) x f x u u f x z   +     =    y f y u u f y z   +     =    下页

设z=f(u4,x,y),且=x,y),则 az of Ou, af az af ou Ox au axax ay ou dy 例2设v=(x,y,2)=c2+y+2,而=x2smy,求业和 解=9+ ax az ax 2xe ty t2 +2zex ty+2 .2xsin y 2x+(+2x sin y)ex ty tx sin y au af, af az ve ay ay +2ze-= .x cos y 2(+x4sin ycos y)ex ty tx sin y 返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 设z=f(u x y) 且u=(x y) 则 x f x u u f x z   +     =    y f y u u f y z   +     =    例 2 设 u=f(x y z) 2 2 2 x y z e + + =  而 z=x 2 sin y y u x u    例2 求 和  x y x y x x y e 2 2 4 2 2 2 sin 2 (1 2 sin ) + + = + +  解 x z z f x f x u      +   =   x e ze x y x y z x y z 2 2 2 sin 2 2 2 2 2 2 = +  + + + + y z z f y f y u      +   =   ye ze x y x y z x y z 2 2 cos 2 2 2 2 2 2 2 = +  + + + + x y x y y x y y e 2 2 4 2 4 sin 2( sin cos ) + + = +  解 解 x z z f x f x u      +   =   xe ze x y x y z x y z 2 2 2 sin 2 2 2 2 2 2 = +  + + + + 解 x z z f x f x u      +   =   xe ze x y x y z x y z 2 2 2 sin 2 2 2 2 2 2 = +  + + + + 解 x z z f x f x u      +   =   xe ze x y x y z x y z 2 2 2 sin 2 2 2 2 2 2 = +  + + + + y z z f y f y u      +   =   ye ze x y x y z x y z 2 2 cos 2 2 2 2 2 2 2 = +  + + + + y z z f y f y u      +   =   ye ze x y x y z x y z 2 2 cos 2 2 2 2 2 2 2 = +  + + + + y z z f y f y u      +   =   ye ze x y x y z x y z 2 2 cos 2 2 2 2 2 2 2 = +  + + + +

例3设=m+smt,而v=e,=c01.求全导数 解=0.+2.+ dt au dt ay dt at =V·e+·(-Sit)+cost -lcos t-elsin t+cos t -e(cos t-sin t)+cos t 多元复合画数求(偏)导数法则的注释 复合函数z=f(g(x,y),叭(x,y),这里,L=叫(x,y),=(x,y) 的偏导数为 aaaaa 1 a aa aa aa a x 2 y ay aaaa y 返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 =e tcos t−e tsin t+cos t =v e +u +cos t t (−sin t) 下页 解 解 t z dt dv v z dt du u z dt dz    +    +   = =e t (cos t−sin t)+cos t 例 3 设 z=uv+sin t  而 u=e t  v=cos t 求全导数 dt dz 

例4设x+y+,xyz)俱具有二阶连续偏导数, 求 及 解令=x+y+x,=xy2,则1=f(,y) Ow af at av f+y=/2, 0- =(1+y=/2)=如1+y/2+yz f1+x/2+y2+y2/1+xy2=/2 1(x+z )12+f2+xy2/2 小: af2af2 au. af2 a dz au az av az f21+xyf22 自贝 返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 引入记号 u f u v f    = ( , ) 1  u v f u v f     = ( , ) 1 2  同理有 2 f   1 1 f   2 2 提示 f  等 11 12 1 1 1 f xyf z v v f z u u f z f = +        +       =    11 12 1 1 1 f xyf z v v f z u u f z f = +        +       =    11 12 1 1 1 f xyf z v v f z u u f z f = +        +       =    21 22 2 2 2 f xyf z v v f z u u f z f =  +        +       =    21 22 2 2 2 f xyf z v v f z u u f z f =  +        +       =    21 22 2 2 2 f xyf z v v f z u u f z f =  +        +       =    解 令u=x+y+z v=xyz 则w=f(u v) 2 2 2 1 1 1 2 2 = f + y(x+ z) f  + yf + xy zf   下页 例4 设w=f(x+y+z xyz) f具有二阶连续偏导数 求 x w   及 x z w    2  1 2 f yzf x v v f x u u f x w = +       +      =    1 2 f yzf x v v f x u u f x w = +       +      =    z f yf yz z f f yzf x z z w    + +    +  =   =    2 2 1 1 2 2 ( ) z f yf yz z f f yzf x z z w    + +    +  =   =    2 2 1 1 2 2 ( ) 22 2 11 12 2 21 = f + xyf  + yf + yzf  + xy zf  22 2 11 12 2 21 = f + xyf  + yf + yzf  + xy zf  22 2 11 12 2 21 = f + xyf  + yf + yzf  + xy zf 

例5设v=(x,y)具有连续的偏导数把()2+(21y转换成 极坐标系中的形式 #f u=f(x, y)=pcos, psin0)=F(e, 0 其中x=0o.,y=i0,p=x2+y2,= arctan y 应用复合函数求导法则,得 Ou Ou dp ou a0 Ou x Ou y au ax ap Ox a0 ax a pp ae oc0sO、uySm 06 Ou Ou ap Ou a0 Ou y au x ou sin 6+ Ou cose Oy ap ay a0 ay app 00 p2 a 06p 两式平方后相加,得 (c2+()2=(ca)2+ 0p20 返回 结束

首页 上页 返回 下页 结束 铃 其中 x=cosθ y=sinθ 2 2  = x + y  x y  =arctan  应用复合函数求导法则得 x u x u x u     +     =       2     u x u y   −   =      sin cos u u y   −   =  y u y u y u     +     =       2     u y u x   +   =      cos sin   +   = u u  2 2 2 2 2 ( ) 1 ( ) ( ) ( )     +   =   +   u u y u x u  2 2 ( ) ( ) y u x u   +  例  5 设u=f(x y)具有连续的偏导数把 转换成 极坐标系中的形式 两式平方后相加 得 解 u=f(x y)=f(cos sin)=F( ) x u x u x u     +     =       2     u x u y   −   =      sin cos u u y   −   =  x u x u x u     +     =       2     u x u y   −   =      sin cos u u y   −   =  y u y u y u     +     =       2     u y u x   +   =      cos sin   +   = u u  y u y u y u     +     =       2     u y u x   +   =      cos sin   +   = u u  2 2 2 2 2 ( ) 1 ( ) ( ) ( )     +   =   +   u u y u x u  下页

今全微分形式不变性 设z=f(u4,)具有连续偏导数,则有全微分 du+=dv 如果z=f(l,v)具有连续偏导数,而v=(x,y),p=v(x,y)也具 有连续偏导数,则 d≈0x dx+ dy az au az a )dx+( az au az a Ou ax av a Ou ay av a 如a+d小)+2(Oa+Cd小) au ax v Ox du+dv ol 返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 设z=f(u v)具有连续偏导数 则有全微分 ❖全微分形式不变性 如果z=f(u v)具有连续偏导数 而u=(x y) v=(x y)也具 有连续偏导数 则 下页 dv v z du u z dz   +   =  dy y z dx x z dz   +   = dy y v v z y u u z dx x v v z x u u z ( ) ( )     +     +     +     = ( ) ( dy) y v dx x v v z dy y u dx x u u z   +     +   +     = dv v z du u z   +   = 