《高等数学》课程教学资源：第八章 多元函数微分法及其应用（8.8）多元函数的极值及其求法

§88多元函数的极值及其求法 、多元函数的极值及最大值、最小值 二、条件极值拉格朗日乘数法 自

一、多元函数的极值及最大值、最小值 二、条件极值 拉格朗日乘数法 §8.8 多元函数的极值及其求法 首页 上页 返回 下页 结束 铃

、多元函数的极值及最大值、最小值 ☆极值的定义 设函数=x,y)在点(x0,y)的某个邻域内有定义,如果对 于该邻域内任何异于(x02y)的点(x,y),都有 fx, fxo,yo(efx,y)f(xo, yo)) 则称函数在点(xoy0)有极大值(或极小值)(x2y) 极大值、极小值统称为极值. 使函数取得极值的点称为极值点 返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 一、多元函数的极值及最大值、最小值 下页 ❖极值的定义 设函数z=f(x y)在点(x0  y0 )的某个邻域内有定义 如果对 于该邻域内任何异于(x0  y0 )的点(x y) 都有 f(x y)f(x0  y0 )) 则称函数在点(x0  y0 )有极大值(或极小值)f(x0  y0 ) 极大值、极小值统称为极值 使函数取得极值的点称为极值点

、多元函数的极值及最大值、最小值 ☆极值的定义 设函数=x,y)在点(x0,y)的某个邻域内有定义,如果对 于该邻域内任何异于(x02y)的点(x,y),都有 fx, fxo,yo(efx,y)f(xo, yo)) 则称函数在点(x,y0)有极大值(或极小值)xy) 例1函数z=3x2+4y2在点(0,0)处有极小值 提示 当(x,y)=(0,0)时,z=0,而当(x,y)≠(0,0) 时,z>0.因此=0是函数的极小值 返回 结束

首页 上页 返回 下页 结束 铃 一、多元函数的极值及最大值、最小值 ❖极值的定义 设函数z=f(x y)在点(x0  y0 )的某个邻域内有定义 如果对 于该邻域内任何异于(x0  y0 )的点(x y) 都有 f(x y)f(x0  y0 )) 则称函数在点(x0  y0 )有极大值(或极小值)f(x0  y0 ) 例1 函数z=3x 2+4y 2在点(0 0)处有极小值 提示: 当(x y)=(0 0)时 z=0 而当(x y)(0 0) 时 z0 因此z=0是函数的极小值 下页

、多元函数的极值及最大值、最小值 ☆极值的定义 设函数=x,y)在点(x0,y)的某个邻域内有定义,如果对 于该邻域内任何异于(x02y)的点(x,y),都有 fx, fxo,yo(efx,y)f(xo, yo)) 则称函数在点(x,y0)有极大值(或极小值)xy) 例2函数2=x2+y2在点(0,0)处有极大值 提示 当(,y)=(0,0)时,2,而当1(,y)≠(0,0)x 时,z<0.因此=0是函数的极大值 返回 结束

首页 上页 返回 下页 结束 铃 一、多元函数的极值及最大值、最小值 ❖极值的定义 设函数z=f(x y)在点(x0  y0 )的某个邻域内有定义 如果对 于该邻域内任何异于(x0  y0 )的点(x y) 都有 f(x y)f(x0  y0 )) 则称函数在点(x0  y0 )有极大值(或极小值)f(x0  y0 ) 提示: 函数 2 2 例2 z=− x + y 在点(0 0)处有极大值 当(x y)=(0 0)时 z=0 而当(x y)(0 0) 时 z0 因此z=0是函数的极大值 下页

、多元函数的极值及最大值、最小值 ☆极值的定义 设函数=x,y)在点(x0,y)的某个邻域内有定义,如果对 于该邻域内任何异于(xo,y)的点(x,y),都有 fx, fxo,yo(efx,y)f(xo, yo)) 则称函数在点(xo2y)有极大值(或板小值(xo,y0) 例3函数z=xy在点(0,0)处既不取得极大值也不取得极小 值 提示 因为在点(0,0)处的函数值为零,而在点(O,0)的任一邻域 内,总有使函数值为正的点,也有使函数值为负的点 首页页返回下页结東铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 提示: 因为在点(0 0)处的函数值为零 而在点(0 0)的任一邻域 内 总有使函数值为正的点也有使函数值为负的点 例3 函数z=xy在点(0 0)处既不取得极大值也不取得极小 值 下页 一、多元函数的极值及最大值、最小值 ❖极值的定义 设函数z=f(x y)在点(x0  y0 )的某个邻域内有定义 如果对 于该邻域内任何异于(x0  y0 )的点(x y) 都有 f(x y)f(x0  y0 )) 则称函数在点(x0  y0 )有极大值(或极小值)f(x0  y0 )

令定理1(取得极值的必要条件) 设函数=fx,y)在点(x,y)具有偏导数,且在点(x0,y)处有 极值,则有 f(x0,y0)=0,f(x0y)=0.> 类似地可推得,如果三元函数f(x,y,z)在点(x,y2=0)具 有偏导数,则它在点(x2y,2=)具有极值的必要条件为 f(c 0505-0 =0,f(x0,y o=0,f( 二0) 05y05-0 说明 从几何上看,这时如果曲面z=x,y)在点(nyo,=o)处有切 平面,则切平面 z-=0=(x0,y0)(x-x0)+f(x0,y)-y 成为平行于xO坐标面的平面=0 返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 说明: 下页 ❖定理1(取得极值的必要条件) 设函数z=f(x y)在点(x0  y0 )具有偏导数 且在点(x0  y0 )处有 极值 则有 f x (x0  y0 )=0 f y (x0  y0 )=0 类似地可推得 如果三元函数u=f (x y z)在点(x0  y0  z0 )具 有偏导数 则它在点(x0  y0  z0 )具有极值的必要条件为 f x (x0  y0  z0 )=0 f y (x0  y0  z0 )=0 f z (x0  y0  z0 )=0 从几何上看 这时如果曲面z=f(x y)在点(x0  y0  z0 )处有切 平面 则切平面 z−z0=f x (x0  y0 )(x−x0 )+ f y (x0  y0 )(y−y0 ) 成为平行于xOy坐标面的平面z=z0  >>>

令定理1(取得极值的必要条件) 设函数=f(x,y)在点(xo,y)具有偏导数,且在点(xo,y)处有 极值,则有 f(xo,y0)=0,f(x0y0)=0 今驻点 凡是能使(x,y)=0,(x,y)=0同时成立的点(y)称为函 数z=(x,y)的驻点 讨论: 驻点与极值点的关系怎样? 提示 具有偏导数的函数的极值点必定是驻点 函数的驻点不一定是极值点.>> 返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 凡是能使f x (x y)=0 f y (x y)=0同时成立的点(x0  y0 )称为函 数z=f(x y)的驻点 ❖驻点 设函数z=f(x y)在点(x0  y0 )具有偏导数 且在点(x0  y0 )处有 极值 则有 f x (x0  y0 )=0 f y (x0  y0 )=0 下页 讨论: 驻点与极值点的关系怎样？ 提示: 具有偏导数的函数的极值点必定是驻点 函数的驻点不一定是极值点 >>> ❖定理1(取得极值的必要条件)

令定理2(取得极值的充分条件) 设函数=(x,y)在点(x,y)的某邻域内连续且有一阶及二 阶连续偏导数,又f(x2y0)=0,f(x2y0)=0,令 (oy0)=4,f(xo,y)=B,(xo,y0)=C, 则f(x,y)在(xo,y)处是否取得极值的条件如下 (1)AC-B2>0时具有极值,且当A0时 有极小值; (2)4C-B2<0时没有极值; (3)AC-B2=0时可能有极值,也可能没有极值 极A极 O有小大 A b f 值 值 AC-B2 Xv <0无 B C WI =0无法判定 返回 结束

首页 上页 返回 下页 结束 铃 ❖定理2(取得极值的充分条件) 设函数z=f(x y)在点(x0  y0 )的某邻域内连续且有一阶及二 阶连续偏导数 又f x (x0  y0 )=0 f y (x0  y0 )=0 令 f xx(x0  y0 )=A f xy(x0  y0 )=B f yy(x0  y0 )=C 则f (x y)在(x0  y0 )处是否取得极值的条件如下: (1)AC−B2>0时具有极值 且当A0时 有极小值 (2)AC−B2<0时没有极值 (3)AC−B2=0时可能有极值也可能没有极值

函数八x,y)在驻点处如果 frr ff20,则函数在驻点处取 得极值;如果fxfn2>0,则函数在驻点处不取得极值 在极值点处,当0时有极小值 ☆极值的求法 第一步解方程组 f(x,y)=0,J(x,y)=0, 求得一切实数解,即可得一切驻点 第二步对于每一个驻点(x2y),求出 0 第三步定出/2(x0,y0)fnxo2y3)2(x0y)的符号 判定∫xω3)是否是极值、是极大值还是极小值 返回 页结束铃

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例4求函数f(x,y)=x3-y3+3x2+3y2-9x的极值 解解方程组(x)=32+6x-9=0 f1(x,y)=-3y2+6y=0 求得函数的驻点为(1,0)、(1,2)、(-3,0)、(-3,2) 函数的二阶偏导数为 fx(x,y)=6x+6,f3(x,y)=0,f(x,y)=6y+6 在点(1,0)处,x2=126>0,叉x>0, 所以函数在(1,0)处有极小值f(1,0)=-5; 在点(1,2)处,x:fn2=12(-6)0,又A<0, 所以函数的(-3,2)处有极大值(-3,2)=31 首负”上员返回下结東

首页 上页 返回 下页 结束 铃 解 下页 例4 求函数f(x y)=x 3−y 3+3x 2+3y 2−9x的极值 解 解方程组    =− + = = + − = ( , ) 3 6 0 ( , ) 3 6 9 0 2 2 f x y y y f x y x x y x  求得函数的驻点为(1 0)、(1 2)、(−3 0)、(−3 2) 函数的二阶偏导数为 f xx(x y)=6x+6 f xy(x y)=0 f yy(x y)=−6y+6 所以函数的(−3 2)处有极大值f(−3 2)=31 在点(−3 2)处 f 又A0 在点(−3 0)处 f 所以f(−3 0)不是极值 xxf yy−f xy 2 =−1260 xxf yy−f xy 2 =126>0