第六章随机样本及抽样分布 第6.1-6.2节数理统计学中的基本概念 数理统计的任务:观察现象,收集资料,创 建方法,分析推断 统计推断:伴随着一定概率的推测。其特点 是:由“部分”推断“整体” 有限总体 总体:研究对象的全体(整体) 无限总体 个体:每一个研究对象。实际上是对总体的 一次观察
第6.1—6.2节 数理统计学中的基本概念 数理统计的任务: 观察现象,收集资料,创 建方法,分析推断。 统计推断: 伴随着一定概率的推测。其特点 是:由“部分”推断“整体”。 总体:研究对象的全体(整体)。 个体:每一个研究对象。实际上是对总体的 一次观察。 有限总体 无限总体 第六章 随机样本及抽样分布
总体 等同于 相应的随机变量 研究对象体现为研究对象的某项数可看作某个随机变量 的全体 量指标值的全体 取值的全体
总体 等同于 相应的随机变量 的全体 研究对象 体现为 量指标值的全体 研究对象的某项数可看作 取值的全体 某个随机变量
样本:由部分个体构成的集合。经常说来 自(或取自)某总体的样本 样本具有二重性:在抽样前,它是随机向量, 在抽样后,它是数值向量(随机向量的取值) 样本选择方式:(1)有放回抽样、(2)无放回抽样 特别,样本容量<总体数量时,无放回抽样可 近似看作有放回抽样. 样本容量:样本中所含个体的个数 简单随机样本(s.r.s):具有两个特点的样本:代表 性(组成样本的每个个体与总体同分布),独立性(组 成样本的个体间相互独立)
样本: 由部分个体构成的集合。经常说,来 自(或取自 )某总体的样本。 样本具有二重性: 在抽样前,它是随机向量, 在抽样后,它是数值向量(随机向量的取值)。 样本选择方式:(1)有放回抽样.(2)无放回抽样 特别,样本容量<<总体数量时, 无放回抽样可 近似看作有放回抽样. 简单随机样本(s.r.s): 具有两个特点的样本: 代表 性(组成样本的每个个体与总体同分布), 独立性 (组 成样本的个体间相互独立)。 样本容量: 样本中所含个体的个数
如,检验一批灯泡的质量,从中选择100只,则 总体:这批灯泡(有限总体) 个体:这批灯泡中的每一只 样本:抽取的100只灯泡简单随机样本)X1,X2,X100 样本容量:100 100 样本观测值:x1,x2 9100 样本值 定义:设X为一随机变量,其分布函数为F(x,X1,X2,Xxn是 组独立且与X同分布的随机变量称X为总体;(X1,X2,,Xn 为来自总体X(或分布函数F(x)的简单随机样本n为样本容 量;在依次观测中样本的具体观测值x1,x2,,x称为样本值 注意样本是一组独立同总体分布相同的随机变量
如,检验一批灯泡的质量,从中选择100只,则 总体:这批灯泡(有限总体) 个体:这批灯泡中的每一只 样本:抽取的100只灯泡(简单随机样本) 样本容量:100 样本观测值: x1 ,x2 ,…,x100 定义:设X为一随机变量,其分布函数为F(x),X1 ,X2 ,…,Xn是一 组独立且与X同分布的随机变量,称X为总体;(X1 ,X2 ,…,Xn ) 为来自总体X(或分布函数F(x))的简单随机样本;n为样本容 量; 在依次观测中,样本的具体观测值x1 ,x2 ,…,xn称为样本值 X X1 ,X2 ,…,X100 100 样本值 注意:样本是一组独立同总体分布相同的随机变量
统计的一般步骤: 总体选择个体>样本观测样本样本观察值(数据) 数据处理>样本有关结论 统计 推断总体性质 为了集中简单随机样本所带来的总体信息,考 虑样本的函数,且不含任何未知参数这样的 “不含未知参数的样本的函数”称为统计量
总体 选择个体 样本 观测样本 样本观察值(数据) 数据处理 样本有关结论 统计的一般步骤: 统计 推断总体性质 量 为了集中简单随机样本所带来的总体信息,考 虑样本的函数,且不含任何未知参数,这样的 “不含未知参数的样本的函数”称为统计量
统计量 定义:设X1,K2,…,Xn是来自总体X的一个样 本,g(X1,X2,…,Xn)是n维随机变量的函数,若g中除 样本的函数外不含任何未知参数,则称 g(X1,X2,…,X)为统计量. 统计量的分布称为抽样分布 例621设H1,H2…,X是来自总体N(A, 的ss,其中已知,知,则()不是统计量 1l∑X[21n∑(x-p)2B3∑(X1-x)2 i=1 i=1 14∑(")25X2+X2+a2162u n
例6.2.1 设 X1 , X2 , , Xn 是来自总体 ( , ) 2 N 的s.r.s,其中 已知, 未知,则( )不是统计量。 1 2 n 2 2 2 2 1 n i 1 2 σ X μ n 1 n i 1 2 n i 1 n i 1 2 n i 1 n i 1 n i 1 [4] ( ) [5] X X σ [6] 2 X X ...X [1] X [2] (X ) [3] (X X) i + + − − = − = = = 统计量 定义:设X1,X2,…,Xn是来自总体X的一个样 本,g(X1,X2,…,Xn)是n维随机变量的函数,若g中除 样本的函数外不含任何未知参数,则称 g(X1,X2,…,Xn)为统计量. 统计量的分布称为抽样分布
常用统计量 ④样本均值ⅹ=∑x n ②样本方差 n-1 ∑(C IEl 样本标准差S= ∑(X1-x)2 n i=1 ④样本k阶原点矩A=∑X n i=1 ③样本k阶中心矩B=∑xX1-X) n
① 样本均值 常用统计量: ② 样本方差 ③ 样本标准差 ④ 样本k阶原点矩 ⑤ 样本k阶中心矩 = = n i 1 Xi n 1 X = − − = n i 1 2 i 2 (X X) n 1 1 S = − − = n i 1 2 i (X X) n 1 1 S = = n i 1 k k Xi n 1 A = = − n i 1 k k i (X X) n 1 B
(6)顺序统计量与样本分布函数 设X1,X2Xn的观察值为x1,x2,,xn,从小到大排序得到 x(yx(2y…,x(m,定义X=x,由此得到的(Xy,X(2y 或它们的函数都称为顺序统计量,显然X≤X(23≤…≤Xm 且有Xa=min(Xau,x2y…xXam),X(=max(xa,X2y…,X(a) max(min(X,…,X;) (1,…,ink+1 1)样本中位数 2)样本极差 Xn1,n为奇数 R=X Md= ,n为偶数
(6) 顺序统计量与样本分布函数 设X1 ,X2 ,…,Xn的观察值为x1 ,x2 ,…,xn ,从小到大排序得到: x(1),x(2),…,x(n),定义X(k)=x(k),由此得到的(X(1),X(2),…,X(n)) 或它们的函数都称为顺序统计量.显然X(1) X(2) … X(n) 且有X(1)=min (X(1),X(2),…,X(n)), X(n)=max(X(1),X(2),…,X(n)) X max (min( X , ,X )) 1 n k 1 1 n k 1 i i (i , ,i ) (k) − + − + = 1) 样本中位数 + = + + 为偶数 为奇数 X X ,n 2 1 X ,n M d 1 2 n 2 n ) 2 n 1 ( 2) 样本极差 R= X(n)- X(1)
样本分布函数(经验分布函数) 0,x<X Fn(X) n(k)x<X k+,(k=1,2 1) X≤X nF(x)是一个随机变量服从二项分布B(n,p2 这里p=P{X≤x} 格里汶科定理: 设总体X的分布是F(x2则下式成立 Plim sup F(x)-F(x)=02=1 n→0 <x<
样本分布函数(经验分布函数) = − = + (n) (k) (k 1) (1) n 1,x x ,x x x ,(k 1,2, ,n 1) n k 0,x x F (x) p P{X x} nF (x) , B(n,p), n = 这 里 是一个随机变量服从二项分布 格里汶科定理: 设总体X的分布是F(x),则下式成立 lim sup ( ) ( ) 0 = 1 = − − + → P Fn x F x x n
第63节抽样分布 样本均值的分布 定理:设X1,X2,Xn是来自总体N(μ,J2)的样本,ⅹ 是样本均值,则有 注:在大样本情况下,无论总体服从何种分布均有
第6.3节 抽样分布 一、样本均值的分布 定理：设X1，X2 ,…Xn是来自总体N(,2 )的样本， X 是样本均值，则有 n X ~ N , 2 注：在大样本情况下，无论总体服从何种分布均有 n X ~ N , 2