《高等数学》课程教学资源：第八章 多元函数微分法及其应用（8.5）隐函数的求导法则

§8.5隐函数的求导法则 、一个方程的情形 方程组的情形 自

一、一个方程的情形 二、方程组的情形 §8.5 隐函数的求导法则 首页 上页 返回 下页 结束 铃

、一个方程的情形 ☆隐函数存在定理1 设函数F(x,y)在点P(xo,y舶的某一邻域内具有连续偏导数, F(x,y0)=0,F(x0,y0=0,则方程(x,y)=0在点(x,y0)的某一邻 域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数y=f(x),它 满足条件y=(x),并有 dv F >> 返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 一、一个方程的情形 ❖隐函数存在定理1 下页 >>> 设函数F(x y)在点P(x0  y0 )的某一邻域内具有连续偏导数 F(x0  y0 )=0 Fy (x0  y0 )0 则方程F(x y)=0在点(x0  y0 )的某一邻 域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数y=f(x) 它 满足条件y0=f(x0 )并有 y x F F dx dy =− 

例1验证方程x2+y2-1=0在点(0,1)的某一邻域内能唯一确 定一个有连续导数、当x=0时y=1的隐函数y=f(x),并求这函数 的一阶与二阶导数在x=0的值 解设F(x,y)=x2+y2-1,则 Fx=2x,F=2y,F(,1)=0,F(O,1)=2≠0. 由隐函数存在定理,方程x2+y2-1-0在点(0,1)的某一邻域内能 唯一确定一个有连续导数、当x=0时y=1的隐函数y=(x) 隐函数存在定理1: 设函数F(x,y)在点P(x,y)的某一邻域内具有连续偏导 数,F(x0,yb)=0,F(xo2y)≠0,则方程F(x,y)=0在点(x2y0)的某 邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数 y=x,它满足条件y=x 返回 下页结束

首页 上页 返回 下页 结束 铃 例1 验证方程x 2+y 2−1=0在点(0 1)的某一邻域内能唯一确 定一个有连续导数、当x=0时y=1的隐函数y=f(x) 并求这函数 的一阶与二阶导数在x=0的值 解 设F(x y)=x 2+y 2−1 Fx =2x Fy =2y F(0 1)=0 Fy (0 1)=20 隐函数存在定理1: 则 设函数F(x y)在点P(x0  y0 )的某一邻域内具有连续偏导 数 F(x0  y0 )=0 Fy (x0  y0 )0 则方程F(x y)=0在点(x0  y0 )的某 一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数 y=f(x) 它满足条件y0=f(x0 ) 由隐函数存在定理 方程x 2+y 2−1=0在点(0 1)的某一邻域内能 唯一确定一个有连续导数、当x=0时y=1的隐函数y=f(x)

例1验证方程x2+y2-1=0在点(0,1)的某一邻域内能唯一确 定一个有连续导数、当x=0时y=1的隐函数y=f(x),并求这函数 的一阶与二阶导数在x=0的值 解设F(x,y)=x2+y2-1,则 Fx=2x,F=2y,F(,1)=0,F(O,1)=2≠0. 由隐函数存在定理,方程x2+y2-1-0在点(0,1)的某一邻域内能 唯一确定一个有连续导数、当x=0时y=1的隐函数y=(x) dy Fxx 0 dx F 0 提 由方程()0确定的隐函数(的号数为一 返回 下页结束

首页 上页 返回 下页 结束 铃 解 设F(x y)=x 2+y 2−1 Fx =2x Fy =2y F(0 1)=0 Fy (0 1)=20 则 由隐函数存在定理 方程x 2+y 2−1=0在点(0 1)的某一邻域内能 唯一确定一个有连续导数、当x=0时y=1的隐函数y=f(x) 提示: 由方程F(x y)=0确定的隐函数y=f(x)的导数为 y x F F dx dy =−  y x F F dx dy y x =− =−  0 0 = x= dx dy  y x F F dx dy y x =− =−  0 0 = x= dx dy  y x F F dx dy y x =− =−  0 0 = x= dx dy  例1 验证方程x 2+y 2−1=0在点(0 1)的某一邻域内能唯一确 定一个有连续导数、当x=0时y=1的隐函数y=f(x) 并求这函数 的一阶与二阶导数在x=0的值

例1验证方程x2+y2-1=0在点(0,1)的某一邻域内能唯一确 定一个有连续导数、当x=0时y=1的隐函数y=f(x),并求这函数 的一阶与二阶导数在x=0的值 解设F(x,y)=x2+y2-1,则 Fx=2x,F=2y,F(,1)=0,F(O,1)=2≠0. 由隐函数存在定理,方程x2+y2-1-0在点(0,1)的某一邻域内能 唯一确定一个有连续导数、当x=0时y=1的隐函数y=(x) F 0 dx F 0 xy dx 返回 下页结束

首页 上页 返回 下页 结束 铃 解 设F(x y)=x 2+y 2−1 Fx =2x Fy =2y F(0 1)=0 Fy (0 1)=20 则 由隐函数存在定理 方程x 2+y 2−1=0在点(0 1)的某一邻域内能 唯一确定一个有连续导数、当x=0时y=1的隐函数y=f(x) y x F F dx dy y x =− =−  0 0 = x= dx dy  2 2 3 2 1 y y y xy dx d y =− −  =−  1 0 2 2 =− x= dx d y  2 2 3 2 1 y y y xy dx d y =− −  =−  1 0 2 2 =− x= dx d y  2 2 3 2 1 y y y xy dx d y =− −  =−  1 0 2 2 =− x= dx d y  y x F F dx dy y x =− =−  0 0 = x= dx dy  y x F F dx dy y x =− =−  0 0 = x= dx dy  例1 验证方程x 2+y 2−1=0在点(0 1)的某一邻域内能唯一确 定一个有连续导数、当x=0时y=1的隐函数y=f(x) 并求这函数 的一阶与二阶导数在x=0的值

☆隐函数存在定理2 设函数F(x,y,z)在点Pxy2=0)的某一邻域内具有连续的 偏导数,且F(xo,y,0)=0,F(xo,yo,=0)≠(0,则方程F(x,y,z)=0在 点(xy,=0)的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续 偏导数的函数z(x,y),它满足条件=x0,yo),并有 F >> x F F 返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 ❖隐函数存在定理2 下页 >>> 设函数F(x y z)在点P(x0  y0  z0 )的某一邻域内具有连续的 偏导数 且F(x0  y0  z0 )=0 Fz (x0  y0  z0 )0  则方程F(x y z)=0在 点(x0  y0  z0 )的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续 偏导数的函数z=f(x y) 它满足条件z0=f(x0  y0 ) 并有 z x F F x z =−    z y F F y z =−   

由方程F(x,y,z)=0确定的隐函数z=(x,y)的偏导数为 F 例2设x2+y2+2-4=0,求 ax 解设F(x,y,)=x2+1y2+2-42,则F=2x,F=22-4, 2x x= 22 X 42 (2-x)+x 2-x)2+ C七 at(2-x)+x( (2-2)2 (2-z) (2-z) 自 返回 下页结束

首页 上页 返回 下页 结束 铃 设F(x y z)=x 2+y 2+z 2 解 −4z 则Fx =2x Fy =2z−4 首页 z x z x F F x z z x − = − =− =−   2 4 2 2  3 2 2 2 2 2 2 (2 ) (2 ) (2 ) ) 2 (2 ) ( (2 ) (2 ) z x x z z x x x z x z x x x z − − + = − − − + = −   − + =    由方程F(x y z)=0确定的隐函数z=f(x y)的偏导数为 z x F F x z =−    z y F F y z =−    z x z x F F x z z x − = − =− =−   2 4 2 2  z x z x F F x z z x − = − =− =−   2 4 2 2  3 2 2 2 2 2 2 (2 ) (2 ) (2 ) ) 2 (2 ) ( (2 ) (2 ) z x x z z x x x z x z x x x z − − + = − − − + = −   − + =    3 2 2 2 2 2 2 (2 ) (2 ) (2 ) ) 2 (2 ) ( (2 ) (2 ) z x x z z x x x z x z x x x z − − + = − − − + = −   − + =    3 2 2 2 2 2 2 (2 ) (2 ) (2 ) ) 2 (2 ) ( (2 ) (2 ) z x x z z x x x z x z x x x z − − + = − − − + = −   − + =    例 2 设 4 0 2 2 2 x + y +z − z =  求 2 2 x z   

二、方程组的情形 在一定条件下方程组F(x,y,l,ν)=0,G(x,y,,v)=0能确定 对二元函数=l(x,y),v=v(x,y) 例如,方程x-y=0和yH+x=1可以确定两个二元函数 u x2+ 事实上, x-y=0→v=-→y+x.=1→l x+y X y xty x2+12 能否根据原方程组求v=u(x,y),v=ν(x,y)的偏导数? 返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 二、方程组的情形 下页 在一定条件下方程组F(x y u v)=0 G(x y u v)=0能确定 一对二元函数u=u(x y) v=v(x y) 例如 方程xu−yv=0和yu+xv=1可以确定两个二元函数 事实上 能否根据原方程组求u=u(x y) v=v(x y)的偏导数？ 2 2 x y y u + =  2 2 x y x v + =  2 2 2 2 x y x x y y y x v + = + =   2 2 2 2 x y x x y y y x v + = + =   xu−yv=0  u y x v=  +  u=1 y x yu x  2 2 x y y u + xu−yv=0  u =  y x v=  +  u=1 y x yu x  2 2 x y y u + x u−yv=0  u =  y x v=  +  u=1 y x yu x  2 2 x y y u + x u−yv=0  u =  y x v=  +  u=1 y x yu x  2 2 x y y u + = 

二、方程组的情形 在一定条件下方程组F(x,y,l,ν)=0,G(x,y,,v)=0能确定 对二元函数=l(x,y),v=v(x,y) 设方程组F(x,y,,v)=0,G(x,y,l,v)=0确定一对具有连续 偏导数的二元函数=(x,y),=v(x,y),则 F+E +E 1 偏导数,可由方程组 aa0 确定 G.+G, +G 偏导数C,O可由方程组 F+F ou+Fnoy 确定 u G+G-+g 0 返回 结束

首页 上页 返回 下页 结束 铃 设方程组F(x y u v)=0 G(x y u v)=0确定一对具有连续 偏导数的二元函数u=u(x y) v=v(x y) 则 二、方程组的情形 在一定条件下方程组F(x y u v)=0 G(x y u v)=0能确定 一对二元函数u=u(x y) v=v(x y) 偏导数 x u    x v   可由方程组      =   +   + =   +   + 0. 0, x v G x u G G x v F x u F F x u v x u v 确定 偏导数 y u    y v   可由方程组      =   +   + =   +   + 0. 0, y v G y u G G y v F y u F F y u v y u v 确定

例3设xnyn=0,y2+xy=1,求,,Q和 ax ax 解两个方程两边分别对x两个方程两边分别对y求 求偏导,得方程组 偏导,得方程组 au av u+x y=0 v-y 0 y +1+x Ov=0 -=0 ax uthe+x oy a x2+y2≠0时,解之得>>当x2+y2≠0时,解之得>> ou xuyi ou xv-yu x2+ oy x+y yu-xv Ov xu+y x+ x ty 03解 返回 下页结束

首页 上页 返回 下页 结束 铃 解 当x 2+y 20时 解之得 两个方程两边分别对x 求偏导 得方程组 两个方程两边分别对y求 偏导 得方程组 当x 2+y 20时 解之得 结束 例 3 设 x u−yv=0 yu+x v=1 求 x u    x v    y u   和 y v         =   + +   =   −   + 0 0 x v v x x u y x v y x u u x  2 2 x y x u yv x u + + =−    2 2 x y yu x v x v + − =         =   +   + =   − −   0 0 y v x y u u y y v v y y u x  2 2 x y x v yu y u + − =    2 2 x y x u yv y v + + =−    >>> >>> 例3另解