第四章随机变量的数字特征 例检验两批灯泡的质量,从中分别随机抽样5只,测得使用寿命如下: A:2000150010005001000;B:15001500100010001000: (单位:小时,试比较这两批灯泡质量的好坏 计算得:平均寿命分别为:A:1200:1200 一数学期望 观察得:A中使用寿命偏离较大,B中使用寿命偏离较小, 所以,B产品质量较好 1方差
例.检验两批灯泡的质量,从中分别随机抽样5只,测得使用寿命如下: A: 2000 1500 1000 500 1000; B:1500 1500 1000 1000 1000; (单位:小时),试比较这两批灯泡质量的好坏. 计算得:平均寿命分别为:A:1200,B:1200, 观察得:A中使用寿命偏离较大,B中使用寿命偏离较小, 所以,B产品质量较好. 数学期望 方差 第四章 随机变量的数字特征
第4.1节数学期望 1定义I:(离散型)设离散型随机变量X的分布律为P{x=Xn2=pn=1,2, 若级数∑x,D1绝对收敛则称该级数的值为x的数学期望或均值记为 EX d p 均值 若∑xPn非绝对收敛即级数∑xn|Pn发散, 则称X的数学期望不存在 例如: X-10 2 P0.20.10403 则EX=∑x,D=1×02+0×0,+1×0.+2×0.3=0.8 注意数学期望反映了随机变量取值的平均值,它是一种加权平均
第4.1节 数学期望 1.定义Ⅰ:(离散型)设离散型随机变量X的分布律为P{x=xn}=pn ,n=1,2,..., 若级数 绝对收敛,则称该级数的值为X的数学期望或均值,记为 n n n x p EX= n xn pn 若 n n n x p ,非绝对收敛,即级数 n xn pn | | 发散, 则称X的数学期望不存在. 均值 例如: X -1 0 1 2 P 0.2 0.1 0.4 0.3 则 EX= n n n x p =-1×0.2+0×0.1+1×0.4+2×0.3=0.8 注意:数学期望反映了随机变量取值的平均值,它是一种加权平均
例411某种电子元件使用寿命Xf(x)=1W0 e 100o x>0 x≤0 规定:使用寿命在500小时以下为废品,产值为0元;在500到1000小时 之间为次品,产值为10元;在1000到1500小时之间为二等品产值为 30元;1500小时以上为一等品,产值为40元,求该种产品的平均产值 分析:平均产值即为产值的数学期望所以先求产值的概率分布 解:设Y表示产值,yY取值为0,10,30,40, P(Y=0)P(X<500 o /(x)dx=o inmo e adx =1-e-0s P{Y=10 1000 1000 =e0.5g-1 P{500≤X<1000} 500100 类似可得:P{Y=30}=e--e-15,PY=40}=e15 所以,EY=0×(1-e5)+10×(e05-e-1)+30×(e1-e15)+40×e15 1565(元)
例4.1.1.某种电子元件使用寿命X~ = − 0 0 0 1000 1 ( ) 1000 x e x f x x 规定:使用寿命在500小时以下为废品,产值为0元;在500到1000小时 之间为次品,产值为10元;在1000到1500小时之间为二等品,产值为 30元;1500小时以上为一等品,产值为40元,求该种产品的平均产值. 分析:平均产值即为产值的数学期望,所以,先求产值的概率分布. 解:设Y表示产值,Y取值为0,10,30,40, P{Y=0}=P{X<500} − = 500 f (x)dx − = 500 0 1000 1000 1 e dx x =1-e -0.5 P{Y=10} = P{500≤X<1000} − = 1000 500 1000 1000 1 e dx x =e-0.5 -e -1 类似可得: P{Y=30}=e-1 -e -1.5 , P{Y=40}=e-1.5 所以, EY=0× (1-e -0.5)+10 × (e-0.5 -e -1 )+30×( e-1 -e -1.5 )+40× e -1.5 =15.65(元)
定义Ⅱ(连续型):设X是连续型随机变量X-f(x),若 ∫。y(x)d绝对收敛则称该积分值为的数学期望记为 Ex∫9(xk 否则称X的数学期望不存在 例如若X服从a,b区间上的均匀分布即X~f(x)=1b=a x∈[a,b 0 其它 yb 则EX=xf(x)d=x.dbc a+b b-a 2 2 数学期望反映了连续型随机变量的平均取值
定义Ⅱ(连续型):设X是连续型随机变量,X~f(x),若 + − xf (x)dx 绝对收敛,则称该积分值为X的数学期望,记为: EX= + − xf (x)dx 否则,称X的数学期望不存在. 例如:若X服从[a,b]区间上的均匀分布,即X~ = − 0 其它 [ , ] 1 ( ) x a b f x b a 则 EX= + − xf (x)dx − = b a dx b a x 1 a b x b a 2 2 1 1 − = 2 a + b = 数学期望反映了连续型随机变量的平均取值
2数学期望的性质: (1)E(c)=c (2)E(aX)=aE(X); E(X+Y=EX+EY (4)若X与Y是独立的,则E(XY=EXEY 证明:(2) 离散型X aX ax, ax,... ax Pp p2 n E(ax)=ax p+ax2 p2+.+axn pn+=aE(X) 连续型X-fx(x,Y=ax,则,Y 不妨设a>0, EYc+∞ + yfr(ydy y-x()dy=al ∫x()d(=) +0 z =a 3x(z)dz=aEX
2.数学期望的性质: (1)E(c)=c; (2)E(aX)=aE(X); (3)E(X+Y)=EX+EY (4) 若X与Y是独立的,则E(XY)=EXEY 证明:(2) 离散型 X x1 x2 ... xn ... P p1 p2 ... pn ... aX ax1 ax2 ... axn ... P p1 p2 ... pn ... 则 E(aX)= ax1 p1+ax2 p2+ ...+axn pn+...=aE(X) 连续型:X~fX(x),Y=aX,则,Y~ ( ) | | 1 a y f a X ,不妨设a>0, EY = = + − yf y dy Y ( ) + − dy a y f a y X ( ) 1 + − = ( ) ( ) a y d a y f a y a X + − = a zf z dz X 令 ( ) =aEX z a y =
3随机变量函数的数学期望 定理41.1:设X是随机变量,Y=g(X,且E(g(X)存在,则; (1)若x为离散型PX=xn}=pnm=1,2,,E(g(X)=∑g(xn)Pn (2若x为连续型随机变量X(x,则E(g(X)=」g(x)f(x) 思考: E(ag(X)+b=aE(g(X))+b 例41.2.设随机变量X的概率分布为X|0 2 求E(X2+2) P1/21/414 解:E(X2+2)=(02+2)×12+(12+2)×14+(22+2)×1/4 =1+3/4+6/4=13/4
3.随机变量函数的数学期望: 定理4.1.1:设X是随机变量,Y=g(X),且E(g(X))存在,则; (1)若X为离散型,P{X=xn }=pn ,n=1,2,...,有 = n n n E(g(X)) g(x ) p (2)若X为连续型随机变量,X~f(x),则 + − E(g(X)) = g(x) f (x)dx 例4.1.2.设随机变量X的概率分布为 X 0 1 2 求E(X P 1/2 1/4 1/4 2+2). (02+2)×1/2+(12+2)×1/4+(22+2)×1/4 =1+3/4+6/4=13/4 解: E(X2+2)= 思考: E(ag(X)+b)=aE(g(X))+b ?
例41.3(973)游客乘电梯从底层到电视塔顶层观光,电梯 于每个整点的第5分钟、25分钟和55分钟从底层起行。假设一游 客在早8点的第X分钟到达底层侯机处,且X在[0,60上均匀分 布,求该游客等侯时间的数学期望。 解:由题意得X~f(x)=60x∈160c01 g(r)dx 0其它 060 设Y表示旅客候车时间,则 602(5-x)dx+(25-x)tc 5-X 0<X 60 +.(5-x)dx+(65-x)l 5-X 5<X<25, 25 Y=g(X)= 55X25<X≤55, (12.5+200+450+375) 60 65-X55<X<60 1167(分) E(Y=E(g(X)=g(x)f(x)dx
例4.1.3 (973) 游客乘电梯从底层到电视塔顶层观光，电梯 于每个整点的第5分钟、25分钟和55分钟从底层起行。假设一游 客在早8 点的第X分钟到达底层侯机处，且X在[0，60]上均匀分 布，求该游客等侯时间的数学期望。 解:由题意得:X~ = 0 其它 [0,60] 60 1 ( ) x f x 设Y表示旅客候车时间, 则 Y=g(X)= 0<X≤5, 5<X≤25, 25<X≤55, 55<X≤60. E(Y)=E(g(X))= + − g(x) f (x)dx = 60 0 ( ) 60 1 g x dx + − + − = − + − 6 0 5 5 5 5 2 5 5 0 2 5 5 (55 ) (65 ) ] [ (5 ) (25 ) 60 1 x dx x dx x dx x dx (12.5 200 450 37.5) 60 1 = + + + =11.67(分) 5-X 25-X 55-X 65-X
定理412设g(X,Y)为随机变量X,Y的函数,E|g(X,Y)存在, (1)若X,Y)为离散型随机向量PX=x,Y=y}2=p=1,2…),则 BI(X,Y)=∑∑g(x,y)p (2)若(X,Y)为连续型随机向量,(X,Y)f(x,y),则 eig(x, rl ∫∫ g(x,y)∫(x,y)dxd小y c。o
= i j i j pi j E[g(X,Y )] g(x , y ) 定理4.1.2 设g(X,Y)为随机变量X,Y的函数,E[g(X,Y)]存在, (1)若(X,Y)为离散型随机向量,P{X=xi ,Y=yj }=pij ,(i,j=1,2…),则 (2)若(X,Y)为连续型随机向量,(X,Y)~f(x,y),则 + − + − E[g(X,Y )] = g(x, y) f (x, y)dxdy
例4149机变量X,Y-(x)=8x+y)0<x<20<y<2 其它 求EX,EY,E(X2),E(XY) ++ 解:应用定理4.2:Eg(X,Y) g(x, y)f(x, y)dxdy ++o E(X) xf(x,y)dcd小y x(x+y)dxdy=776 00 -oO 8 E(X2)= 厂=x(x,y)(x+y)b=58 8 同理由对称性:E()=(x,y)dtd=76E2583 E(XY)=(xy)f(x, y)dxdy xy(x+y)dxdy=4/3 8
例4.1.4.随机变量(X,Y)~f(x,y)= + 0 其 它 ( ) 0 2 0 2 8 1 x y x y 求EX,EY,E(X2 ),E(XY) 解:应用定理4.1.2: + − + − E(X) = xf (x, y)dxdy + − + − E[g(X,Y )] = g(x, y) f (x, y)dxdy = + 2 0 2 0 ( ) 8 1 x x y dxdy =7/6 = + 2 0 2 0 2 ( ) 8 1 x x y dxdy =5/3 同理由对称性: =7/6 EY2=5/3 + − + − E(X ) = x f (x, y)dxdy 2 2 + − + − E(Y) = yf (x, y)dxdy + − + − E(XY) = (xy) f (x, y)dxdy = + 2 0 2 0 ( ) 8 1 xy x y dxdy =4/3
4.几种重要的离散型分布的数学期望 (1)、参数为p的0-1分布: X 0 EX-P: 2)、二项分布 EX=np (3)、 Possion分布 概率分布为Px=m=,-2(m=0,2,…,… EX=N
4.几种重要的离散型分布的数学期望 X 0 1 P 1-p p (1)、参数为p的0-1分布: EX=p； (2)、二项分布 EX=np (3)、.Possion分布 概率分布为 ( 0,1,2, , , ), ! { } e m n m P X m m = = = − EX=λ