§1.5一些简单实例 例1某人平时下班总是按预定时间到达某处,然 然后他妻子开车接他回家。有一天,他比平时提早 了三十分钟到达该处,于是此人就沿着妻子来接他 的方向步行回去并在诠已 这一天,他 比平时提前了十会合点,叉从会合点返回相遇点这一了多长时 段路的缘故,故由相遇点到会合点需 开5分钟。而此人提前了三士分钟到 请思考一下,本题解答中隐含了哪些假设?
•例1 某人平时下班总是按预定时间到达某处，然 然后他妻子开车接他回家。有一天，他比平时提早 了三十分钟到达该处，于是此人就沿着妻子来接他 的方向步行回去并在途中遇到了妻子，这一天，他 比平时提前了十分钟到家，问此人共步行了多长时 间？ §1.5 一些简单实例 似乎条件不够哦。。 换一种想法，问题就迎刃而 解了。假如他的妻子遇到他后仍 载着他开往会合地点，那么这一 天他就不会提前回家了。提前的 十分钟时间从何而来？ 显然是由于节省了从相遇点到 会合点，又从会合点返回相遇点这一 段路的缘故，故由相遇点到会合点需 开5分钟。而此人提前了三十分钟到 达会合点，故相遇时他已步行了二十 请思考一下，本题解答中隐含了哪些假设 五分钟。 ？
例2某人第一天由A地去B地,第二天由 B地沿原路返回A地。问:在什么条件下 可以保证途中至少存在一地,此人在两天 中的同一时间到达该地。 分析本题多少有点象数学中解的夺在性杀件及证明,当 然,这里的情沉要简单得多。 假如我们换一种想法,把第二天的返回改变成另一人在同 天由B去A,问题就化为在什么条件下,两人至少在途中 相遇一次,这样结论就很容易得出了:只要任何一人的到 达时间晚于另一人的出发时间,两人必会在途中相遇。 (请自己据此给出严格证明)
例2 某人第一天由 A地去B地，第二天由 B地沿原路返回 A 地。问：在什么条件下， 可以保证途中至少存在一地，此人在两天 中的同一时间到达该地。 分析 本题多少 有点象 数学中 解的存在 性条件 及证明，当 然 ，这里的情况要简单得多。 假如我们换一种想法，把第二天的返回改变成另一人在同 一天由B去A，问题就化为在什么条件下，两人至少在途中 相遇一次，这样结论就很容易得出了：只要任何一人的到 达时间晚于另一人的出发时间，两人必会在途中相遇。 （请自己据此给出严格证明）
马路的宽度D是容易测得的,问题的关键在于L 一个过|确定:为确定词还皮发刘分为断段。当1 请分枥 刹车的反应时间内驶过的路程,L2为刹车制动 后车辆驶过的路程。L1较容易计算,交通部门对 司机的平均反应时间t早有测算,反应时间过 长将考不出驾照),而此街道的行驶速度V也 是交管部门早已定好的,目的是使交通流量最大 可另建模型研究,从而L1=v1刹车距离L2 既可用曲线拟合方法得出,也可利用牛顿第二定 律计算出来(留作习题)。 黄灯究竟应当亮多久现在已经变得清楚多了。第 步,先计算出L应多大才能使看见黄灯的司机 停得住车。第二步,黄灯亮的时间应当让已过线 的车顺利穿过马路,即T至少应当达到(L+D)
•例3 交通灯在绿灯转换成红灯时，有 一个过渡状态——亮一段时间的黄灯。 请分析黄灯应当亮多久。 设想一下黄灯的作用是什么，不难看 出，黄灯起的是警告的作用，意思是 马上要转红灯了，假如你能停住，请 立即停车。停车是需要时间的，在这 段时间内，车辆仍将向前行驶一段距 离 L。这就是说，在离街口距离为 L 处存在着一条停车线（尽管它没被画 在地上），见图1-4。对于那些黄灯亮 时已过线的车辆，则应当保证它们仍 能穿过马路。 马路的宽度 D是容易测得 的，问题的关键在 于L 的确定。为确定 L，还应当将 L划分为两段：L1 和L2，其中L1是司机在发现黄灯亮及判断应当 刹车的反应时间内驶过的路程 ，L2为刹车制动 后车辆驶过的路程。L1较容易计算，交通部门对 司机的平均反应时间 t1早有测算，反应时间过 长将考不出驾照），而此街道的行驶速度 v 也 是交管部门早已定好的，目的是使交通流量最大， 可另建模型研究，从而 L1=v*t1。刹车距离 L2 既可用曲线拟合方法得出，也可利用牛顿第二定 律计算出来 （ 留作习题）。 黄灯究竟应当亮多久现在已经变得清楚多了。第 一步，先计算出 L应多大才能使看见黄灯的司机 停得住车。第二步，黄灯亮的时间应当让已过线 的车顺利穿过马路，即T 至少应当达到 （L+D） /v。 D L
例4餐馆每天都要洗大量的盘子,为了方便, 某餐馆是这烂清沿舟的,生用2水组粗洗 下 不妨可以提出以下简化假设: (1)水池、空气吸热不计,只考虑 否则会盘子吸热,盘子的大小材料相同 由于想(2)盘子初始泥 到底可完后的根据上述简化假设,利用热量守 下这 (3 金空律老板故问就组容 可见,假设条件的提出不仅和你研的查 间题有关,还和你准备利用哪些知识、 准备建立什么样的模型以及你准备研 究的深入程度有关,即在你提出假设时, 你建模的框架已经基本搭好了
例4 餐馆每天都要洗大量的盘子，为了方便， 某餐馆是这样清洗盘子的：先用冷水粗粗洗 一下，再放进热水池洗涤，水温不能太高， 否则会烫手，但也不能太低，否则不干净。 由于想节省开支，餐馆老板想了解一池热水 到底可以洗多少盘子，请你帮他建模分析一 下这一问题。 盘子有大小吗 ?是什么样的盘子？ 盘子是怎样洗的 ? ……… 不妨 假设我们了解到：盘子大小相同， 均为瓷质菜盘，洗涤时先将一叠 盘子浸泡在热水中，然后 一 清洗。 不难看出，是水 的温度在决 定 洗盘子的数量。盘子是先用冷水 洗过的，其后可能还会再用清水 冲洗，更换热水并非因为水太脏 了，而是因为 水不够热了。 那么热水为什么会变冷呢？假如 你想建一个较精细的模型，你当 然应当把水池、空气等吸热的因 素都考虑进去，但餐馆老板的原 意只是想了解一下一池热水平均 大约可以洗多少盘子， 杀鸡 焉用牛刀？ 不妨可以提出以下 简化假设： （1）水池、空气吸热不计，只考虑 盘子吸热，盘子的大小、材料相同 （2）盘子初始温度与气温相同，洗 完后的温度与水温相同 （3）水池中的水量为常数，开始温 度为T1，最终换水时的温度为 T2 （4）每个盘子的洗涤时间 △T是一 个常数。（这一假设甚至可以去掉 不要） 根据上述简化假设，利用热量守 衡定律，餐馆老板的问题就很容 易回答了，当然，你还应当调查 一下一池水的质量是多少，查一 下瓷盘的吸热系数和质量等。 可见 ，假设条件 的提出不 仅和你 研的 问题 有关，还和 你准备利用哪些知 识 、 准备建立什么样的模型以及你准 备研 究的深入程度有关，即在你提出假设时， 你建模的框架已经基本搭好了
例5将形状质量相同的砖块一一向右往外 叠放,欲尽可能地延伸到远方,问最远可 以延伸多大距离。 设砖块是均质的,长度与重量均为1,其 (n-1)重心在中点1/2砖长处,现用归纳法推导 由第n块砖受到的两个力的力矩相等,有: 12-2=(m-1)zn 故Zn=1(2n),从而上面n块砖向右推出的 (n+ 总距离为√ 故砖块向右可叠至任意远,这一结果多少 有点出人意料
例5 将形状质量相同的砖块一一向右往外 叠放，欲尽可能地延伸到远方，问最远可 以延伸多大距离。 设砖块是均质的，长度与重量均 为1，其 重心在中点1/2砖长处，现用归纳法推导。 Zn (n－1) n (n＋1) 由第 n块砖受到的两个力的力矩相等，有： 1/2-Zn= (n－1) Zn 故Zn =1/(2n)，从而上面 n块砖向右推出的 总距离为 ， = n k 1 2k 1 → + → = + =1 =1 2 1 2 1 时, n n k k n n 故砖块向右可叠至 任意远 ，这一结果多少 有点出人意料
由于距离不同,设A到C行驶31分路 为在钟,B到要行驶3分钟,考察 B两 地名|个时间长度为10分钟的区间,例 如,可以从A方向来的车驶离站/C 点等时开始,在其后的9分钟内到达的现 象:乘客见到先来的车均为B开往A的,由 B去仅有最后1分钟到达的乘客才见到请 你君由A来的车先到。由此可见,如果 此人到C站等车的时间是随机的, 则他先遇上B方向来的车的概率为 90%
例6 某人住在某公交线附近，该公交线路 为在A、B两地间运行，每隔 10分钟A、B两 地各发出一班车，此人常在离家最近的 C 点等车，他发现了一个令他感到奇怪的现 象：在绝大多数情况下，先到站的总是由 B去A的车，难道由 B去A的车次多些吗？请 你帮助他找一下原因 AB发出车次显然是一样多的， 否则一处的车辆将会越积越多。 由于距离不同，设 A到C行驶31分 钟，B到C要行驶 30分钟，考察一 个时间长度 为10分钟的区间，例 如，可以从 A方向来的车驶 离C站 时开始，在其后的 9分钟内到达的 乘客见到先来的车均为 B开往A的， 仅有最 后1分钟到达的乘客才见到 由A来的车先到。由此可见，如果 此人 到C站等车的时间是随机的， 则他先遇 上B方向来的车的概率为 90%
例4飞机失事时,黑匣子会自动打开,发射 出某种射线。为了搞清失事原因,人们必须 尽快找回匣子。确定黑匣子的位置,必须确 定其所在的方向和距离,试设计一些寻找黑 匣子的方法。由于要确定两个参数,至少要 用仪器检测两次,除非你事先知道黑匣子发 射射线的强度
例4 飞机失事时，黑匣子会自动打开，发射 出某种射线。为了搞清失事原因，人们必须 尽快找回匣子。确定黑匣子的位置，必须确 定其所在的方向和距离，试设计一些寻找黑 匣子的方法。由于要确定两个参数，至少要 用仪器检测两次，除非你事先知道黑匣子发 射射线的强度
4方法一 点光源发出的射线在各点处的照度与其到点光源的距离 的平方成反比,即I=k/2 黑匣子所在方向很容易确定,关键在于确定距离。设在 同一方向不同位置检测了两次,测得的照度分别为/1和l2, 两测量点间的距离为a,则有 k k dta d2(a+a)2
方法一 点光源发出的射线在各点处的照度与其到点光源的 距离 的平方成反比，即 2 I = k/d 黑匣子所在 方向很容易确定，关键在于确定 距离 。设在 同一方向不同位置检测了两次，测得的照度分别为I1和I2， 两测量点间的距离为 a，则有 2 2 1 2 2 ( ) / / + = + = d d a d a k d k I I = −1 1 2 / I I d a
4方法二 在方法一中,两检测点与黑匣子 位于一直线上,这一点比较容易c 做到,主要缺点是结果对照度测 量的精度要求较高,很少的误差会造成结果的很 大变化,即敏感性很强,现提出另一方法,在A 点测得黑匣子方向后,到B点再测方向,AB距 离为a,∠BAC=a,∠ABC=B,利用正弦定理得 出d= asin a/sin(a+B)。需要指出的是,当 黑匣子位于较远处而a又较小时,a+B可能非 常接近丌(∠AC残接近于0),而sin(a+B)又 恰好位于分母上,因而对结果的精确性影响也会 很大,为了使结果较好,应使a也相对较大
方法二 在方法一中，两检测点与黑匣子 位于一直线上，这一点比较容易 做到，主要缺点是结果对照度测 量的精度要求较高，很少的误差会造成结果的很 大变化，即敏感性很强，现提出另一方法，在 A 点测得黑匣子方向后 ，到B点再测方向 ，AB 距 离为a ，∠BAC=α，∠ABC=β，利用正弦定理得 出 d = asinα/sin (α+β) 。需要指出的是，当 黑匣子位于较远处而 α又较小时，α+β可能非 常接近π（∠ACB接近于0），而sin（α+β）又 恰好位于分母上，因而对结果的精确性影响也会 很大，为了使结果较好，应使a也相对较大。 B A C α a β
