第五章大数定律与中心极限定理 第52节大数定律 一、大数定律 定义设随机变量序列{X},如果存在一个常数a,使得对任意的 E>0,有 lim PX nasa= n→ 则称依概率收敛于a,记作X,P)a 定义设随机变量序列{Xn},记Yn=1/n(x1+x2+…+Xn),如果存在 个常数序列an,使得对任意的e>0,有 lim Px -an<Ej-1 则称随机变量序列{X}服从大数定律
第五章 大数定律与中心极限定理 一、大数定律 定义 设随机变量序列{Xn}，如果存在一个常数a，使得对任意的 ε>0，有 − → P Xn a n lim =1 则称依概率收敛于a,记作 X a p n ⎯→ 定义 设随机变量序列{Xn}，记Yn =1/n(X1+X2+…+Xn)，如果存在一 个常数序列an，使得对任意的ε>0，有 − → n n n lim P X a =1 则称随机变量序列{Xn}服从大数定律 第5.2节 大数定律
、切比绍夫不等式 设随机变量X的方差存在这时均值也存在),则对任意 正数:有下面不等式成立 PNX-E(X)< D(X) 22 PIX-E(X)K821-(X)
二、切比绍夫不等式 设随机变量X的方差存在(这时均值也存在),则 对任意 正数ε有下面不等式成立 2 ( ) {| ( )| } D X P X − E X 2 ( ) {| ( )| } 1 D X P X − E X −
例521设X~f(x)={n x>0 用切贝绍夫不等式证明 0 0 n P{0<X<2(n+1)≥ n 证明:X「+,x x,ed=n+11注:xe-=r!l xm!d=(an+1)(n+2) 所以,DX=EX2-(EX)2=n+1 P{0<X<2(n+1}=PX-EXk<n+1}[这里=n+1 n+1 n (n+1)2n+1
例5.2.1.设X~ = − 0 0 0 ( ) ! x e x n x f x x n 用切贝绍夫不等式证明 1 {0 2( 1)} + + n n P X n 证明: EX = e dx n x x x n − + ! 0 =n+1 [ !] 0 x e dx n n x = + 注： − EX2= e dx n x x x n − + ! 0 2 =(n+1)(n+2) 所以, DX=EX2 -(EX)2=n+1 P{0 X 2(n +1)} = P{| X − EX | n +1} 2 ( 1) 1 1 + + − n n + 1 = n n [这里,ε=n+1]
课堂练习 1.设随机变量X的方差D(X)=0.0001, 则由切比绍夫不等式可知 PXE(X)-3×001}2(7、0.000 0.03 2.设随机变量X~E(1/m),用切比绍夫 不等式证明 P{-1<X<2n+1}2(2n+1)/(n+1)(n+1) 3.设P{X-E(X川e不小于0.9,D(X)=0.009.则用 切比绍夫不等式估计的最小值是(0.3)
1. 设随机变量X的方差D(X)=0.0001, 则由切比绍夫不等式可知 P{|X-E(X)|<3×0.01}≥( ). 2. 设随机变量X~E(1/n),用切比绍夫 不等式证明 P{-1<X<2n+1}≥(2n+1)/(n+1)(n+1) 3. 设P{|X-E(X)|<ε}不小于0.9,D(X)=0.009.则用 切比绍夫不等式估计ε的 最小值是( ). 课堂练习 2 0.03 0.0001 1− 0.3
4894)设随机变量X的数学期望为μ, 标准差为G,则由切比绍夫不等式 P{X-3}≤( 5.设随机变量X的分布律为 P{X=0.3}=0.2,P{X=0.6}=0.8, 用切比绍夫不等式估计 X-E(X)|<02的概率
4.(894) 设随机变量X的数学期望为μ, 标准差为σ,则由切比绍夫不等式 P{|X-μ|≥3σ}≤( ). 5. 设随机变量X的分布律为 P{X=0.3}=0.2, P{X=0.6}=0.8, 用切比绍夫不等式估计 |X-E(X)|<0.2的概率. 1/9
三、几个常见的大教定律 定理(切比雪夫大数定律)设随机变量序列{Xm}相互独立,且 均存在有限方差,且方差D(Xn)≤C(n=1,2,…),其中常数C与n无 关,则对任意的:0,有 limP1>x 1 /
定理（切比雪夫大数定律）设随机变量序列{Xn}相互独立，且 均存在有限方差，且方差D(Xn ) ≤C (n=1,2,...), 其中常数C与n 无 关，则对任意的ε>0 ，有 1 1 1 lim 1 1 = − = = → n i i n i i n n X n P 三、几个常见的大数定律
定理(辛钦大数定律)设随机变量序列{Xn}相互独立,服从 同一分布,且有相同的期望E(X)=,则对任意的e>0,有 lim P X1-0,事件的频率4,有 lim P P<8 n→0
定理 （辛钦大数定律） 设随机变量序列{Xn}相互独立，服从 同一分布，且有相同的期望E(Xn)=，则对任意的ε>0 ，有 1 1 lim 1 = − = → n i i n X n P lim = 1 − → p n n P A n 定理（贝努里利大数定律） 设每次实验中事件A发生的概率 为p，n次重复独立实验中事件A发生的次数为nA，则对任 意的ε>0 ，事件的频率 ，有 n nA
第53节中心极限定理 复习 X~N(μ,G2) 定理设X-N,pX-,则Y~N(0,1) 所以,若X~N(,G2,则 P{Xa}=1- P{a<X<b=a(b-4)-a(- XB(n,p) 定义:一般地若在一次实验中成功的概率为p(0-p<1,独立重复 进行n次这n次中实验成功的次数X服从的分布为二项分布 PX=}=Cm(1-p)kk=0,2,n
定理 设X~N(μ,σ2 ), , − = X Y 则Y~N(0,1). 所以，若X~N(μ,σ2 ), 则 P{Xa}= P{a<X<b}= ( ) − a 1 ( ) − − a ( ) − b ( ) − − a X~N(μ,σ2 ) 定义：一般地,若在一次实验中成功的概率为p(0<p<1),独立重复 进行n次,这n次中实验成功的次数X服从的分布为二项分布: P X k C p p k n k k n k n { = } = (1− ) = 0,1,2,..., − X～B(n,p) 复习 第5.3节 中心极限定理
定义 若相互独立随机变量序列{n}的标准化和 ∑X-∑E(X DO X ;) 使得 P{Yn≤x}= 2丌 则称随机变量序列{Xn服从中心极限定理
定义： 若相互独立随机变量序列{Xn}的标准化和 ( ) ( ) 1 1 1 = = = − = n i i n i i n i i n D X X E X Y 使得 + − − P Y x = e dx x n 2 2 2 1 { } 则称随机变量序列{Xn}服从中心极限定理
定理(列维—林德贝格定理(i.i.d下中心极限定理)) 设X1,X2,…,Xm,.独立同分布序列,期望p,方差 o2>0,则当n充分大时, ∑X近似服从N(n,n2) 所以 ∑λ X: -np X:-nu 近似服从(,1mn ≤x}=Φ(x) vno √nO 注(1)一般地只要n比较大就可应用以上定理; 意(应用该定理时:需要找出独立同分布的随机变量序列以及 它们的期望和方差,再应用正态分布的有关计算方法
定理（列维—林德贝格定理(i.i.d下中心极限定理)） 设X1,X2,…,X n,…为独立同分布序列,期望μ,方差 σ2>0, 则当n充分大时, ( , ) 2 1 X N n n n i i 近似服从 = 所以 (0,1) 1 N n X n n i i 近似服从 − = 注 意 lim{ } ( ) 1 x x n X n n i i n = − = → (1)一般地,只要n比较大,就可应用以上定理; (2)应用该定理时,需要找出独立同分布的随机变量序列以及 它们的期望和方差,再应用正态分布的有关计算方法