《高等数学》课程教学资源：第一章 函数与极限（1.9）连续函数的运算与初等函数的连续性

§1.9连续函数的运算与初等函数的连续性 、连续函数的和、积及商的连续性 二、反函数与复合函数的连续性 三、初等函数的连续性 自贝

一、连续函数的和、积及商的连续性 二、反函数与复合函数的连续性 三、初等函数的连续性 §1.9 连续函数的运算与初等函数的连续性 首页 上页 返回 下页 结束 铃

、连续函数的和、积及商的连续性 今定理1 设函数(x)和g(x)在点x连续,则函数 f(x)+g(x),f(x)3(x,>> 例1因为sinx和cosx都在区间(-∞,+∞)内连续, 所以tanx和cotx在它们的定义域内是连续的 三角函数sinx、cosx、secx、cscx、tanx、cotx在 其有定义的区间内都是连续的 首页返回下页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 一、连续函数的和、积及商的连续性 ❖定理1 设函数f(x)和g(x)在点x0连续 则函数 在点x0也连续 f(x)g(x) f(x)g(x) ( ) ( ) g x f x (当 g(x0 )0 时) 例1 因为sin x和cos x都在区间(- +)内连续 所以tan x和cot x在它们的定义域内是连续的 三角函数 sin x、cos x、sec x、csc x、tan x、cot x 在 其有定义的区间内都是连续的 首页 >>>

二、反函数与复合函数的连续性 今定理2 如果函数(x)在区间上单调增加(或减少)且连续,那 么它的反函数x()在区间={y=f(x),x∈x}上也是单 调增加(或减少)且连续的 例2由于y=six在区间[,Z上单调增加且连续, 所以它的反函数y= arcsin x在区间[-1,1上也是连续的 同样, y-arccos x在区间[-1,1上是连续的 y= arctan x在区间(-∞,+∞)内是连续的 y= arccot x在区间(-∞,+∞)内是连续的 页返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 二、反函数与复合函数的连续性 ❖定理2 如果函数f(x)在区间I x上单调增加(或减少)且连续 那 么它的反函数x=f -1 (y)在区间I y ={y|y=f(x) xI x }上也是单 调增加(或减少)且连续的 所以它的反函数y=arcsin x 在区间[-1 1]上也是连续的 下页 例 例 2 2 由于 y=sin x 在区间 ] 2 , 2 [   - 上单调增加且连续 同样 y=arccos x 在区间[-1 1]上是连续的 y=arctan x 在区间(- +)内是连续的 y=arccot x 在区间(- +)内是连续的

二、反函数与复合函数的连续性 今定理2 如果函数(x)在区间上单调增加(或减少)且连续,那 么它的反函数x()在区间={y=f(x),x∈x}上也是单 调增加(或减少)且连续的 例2由于y=six在区间[,Z上单调增加且连续, 所以它的反函数 y-arcsin x在区间[-1,1上也是连续的 反三角函数 arcsin x、 arccos x、 arctan x、 arccot x在 它们的定义域内都是连续的 页返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 反三角函数arcsin x、arccos x、arctan x、arccot x在 它们的定义域内都是连续的 下页 二、反函数与复合函数的连续性 ❖定理2 如果函数f(x)在区间I x上单调增加(或减少)且连续 那 么它的反函数x=f -1 (y)在区间I y ={y|y=f(x) xI x }上也是单 调增加(或减少)且连续的 所以它的反函数y=arcsin x 在区间[-1 1]上也是连续的 例 例 2 2 由于 y=sin x 在区间 ] 2 , 2 [   - 上单调增加且连续

今定理3 设函数y=g(x)由函数y=f()与函数v=g(x)复合而成, U(x)Dg.若lmg(x)=0,而函数y=(a)在连续,则 x→x lim fig(x)l=lim f(u)=f(uo)>7> x→)x l→ 例3求lim x-3 x→3Vx2-9 解im,x x→) x2-9Vx3x2-9V6 x-3 y= 是由y=V与l=3 -3 复合而成的 imx-3=1,函数y=V在点=1连续 上页返回 结束

首页 上页 返回 下页 结束 铃 注: (1)把定理中的x→x0换成x→可得类似的定理 (2)定理的结论也可写成 lim [ ( ) ] [lim ( ) ] 0 0 f g x f g x x→x x→x =  提示: 9 3 lim 2 3 - - → x x x 6 1 =  函数 y = u 在点 6 1 u = 连续 ❖定理3 例 例 33 求 9 3 lim 2 3 - - → x x x  解 9 3 lim 2 3 - - → x x x 9 3 lim 2 3 - - = → x x x 6 1 解 =  下页 设函数y=f[g(x)]由函数y=f(u)与函数u=g(x)复合而成 Df g U x   ( 0 )  若 0 lim ) 0 g x u x x ( = →  而函数 y=f(u)在 0 u 连续 则 lim [ )] lim ( ) ( )0 0 0 f g x f u f u x x u u ( = = → →  解 9 3 lim 2 3 - - → x x x 9 3 lim 2 3 - - = → x x x 6 1 解 =  9 3 lim 2 3 - - → x x x 9 3 lim 2 3 - - = → x x x 6 1 =  9 3 2 - - = x x y 是由 y = u 与 9 3 2 - - = x x u 复合而成的 >>>

今定理3 设函数y=g(x)由函数y=f()与函数v=g(x)复合而成, U(x)Dg.若lmg(x)=0,而函数y=(a)在连续,则 x→x lim flg(x)]=lim f(u)=f(uo) l→ 今定理4 设函数y=g(x)由函数y=f()与函数v=g(x)复合而成, Ux)<Dg若函数v=g(x)在点x0连续,函数y=(u)在点 l0=(x0连续,则复合函数y=(x)在点x0也连续 页返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 设函数y=f[g(x)]由函数y=f(u)与函数u=g(x)复合而成 U(x0 )Df o g  若函数 u=g(x) 在点 x0 连续 函数 y=f(u)在点 u0=g(x0 )连续 则复合函数y=f[j(x)]在点x0也连续 下页 ❖定理4 ❖定理3 设函数y=f[g(x)]由函数y=f(u)与函数u=g(x)复合而成 Df g U x   ( 0 )  若 0 lim ) 0 g x u x x ( = →  而函数 y=f(u)在 0 u 连续 则 lim [ )] lim ( ) ( )0 0 0 f g x f u f u x x u u ( = = → → 

例4讨论函数y=sin1的连续性 解函数y=sm1是由y=smn及n=1复合而成的 sinu当-∞×<+∞时是连续的, 1当∞<0和0x+时是连续的 根据定理4,函数si在无限区间(-∞,0)和(0,+∞) 内是连续的 首页返回下页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 sin u 当-<u<+时是连续的 例 例 4 4 讨论函数 x y 1 =sin 的连续性 解 函数 x y 1 =sin 是由 y=sin u 及 x u 1 = 复合而成的 x 1 当-<x<0 和 0<x<+时是连续的 首页 解 内是连续的 根据定理 4 函数 x 1 sin 在无限区间(- 0)和( 0 +)

三、初等函数的连续性 结论 基本初等函数在它们的定义域内都是连续的 切初等函数在其定义区间内都是连续的 汪 所谓定义区间,就是包含在定义域内的区间 首页 上页返回 结束 铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 三、初等函数的连续性 ❖结论 基本初等函数在它们的定义域内都是连续的 一切初等函数在其定义区间内都是连续的 注: 所谓定义区间 就是包含在定义域内的区间 下页

今利用连续性求极限举例 例5求im x->0 2 解limy+x (√1+x2-1)(√1+x2+1) Im x->0 x(√1+x2+1) 0 x>0√1+x2+12 0 例6求m8(1+x) x->0 xX 解 lim logo(l+x) lim log (+x)x=loge x→ 0 xX x->0 页返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 例 8 求 x x a x log (1 ) lim 0 + → 例6  例 例 7 5 求 x x x 1 1 lim 2 0 + - →  解 x x x 1 1 lim 2 0 + - → ( 1 1) ( 1 1)( 1 1) lim 2 2 2 0 + + + - + + = → x x x x x 0 2 0 1 1 lim 0 2 = = + + = → x x x  解 x x a x log (1 ) lim 0 + → x a x x 1 0 = lim log (1+ ) → a ea ln 1 =log =  解 解 解 x x x 1 1 lim 2 0 + - → ( 1 1) ( 1 1)( 1 1) lim 2 2 2 0 + + + - + + = → x x x x x 0 2 0 1 1 lim 0 2 = = + + = → x x x  解 x x a x log (1 ) lim 0 + → x a x x 1 0 = lim log (1+ ) → a ea ln 1 解 =log =  x x a x log (1 ) lim 0 + → x a x x 1 0 = lim log (1+ ) → a ea ln 1 =log =  下页 ❖利用连续性求极限举例

今利用连续性求极限举例 例7求mn-1 x->0X 解令ax-1=,则x=og(1+1),x>0时t>0,于是 Im In a x1>0loga(1+1) 例题》>首页 上页返回 下页结束 铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 例 例 9 7 求 x ax x 1 lim 0 - →  令a x 解 -1=t x ax x 1 lim 0 - → = a t t a t ln log (1 ) lim 0 = → +  x ax x 1 lim 0 - → = a t t a t ln log (1 ) lim 0 = → +  x ax x 1 lim 0 - → = a t t a t ln log (1 ) lim 0 = → +  则x=log a (1+t) x→0时t→0 于是 结束 ❖利用连续性求极限举例 例题>>>