§7.4空间曲线及其方程 、空间曲线的一般方程 二、空间曲线的参数方程 三、空间曲线在坐标面上的投影 自
一、空间曲线的一般方程 二、空间曲线的参数方程 三、空间曲线在坐标面上的投影 §7.4 空间曲线及其方程 首页 上页 返回 下页 结束 铃
、空间曲线的一般方程 空间曲线可以看作两个曲面的交线 2 设曲线C是曲面S1与S2的交线, 而曲面的方程分别为 S1:F(x,y,z)=0, S2:G(x,y,z)=0, 则点P在曲线C上当且仅当点P的坐标x 满足方程组 ∫F(x,y2z)=0 G(x2y2z)=0 因此,曲线C可以用上述方程组来表示 上述方程组叫做空间曲线C的一般方程 返回 结束
首页 上页 返回 下页 结束 铃 一、空间曲线的一般方程 空间曲线可以看作两个曲面的交线. 设曲线C是曲面S1与S2的交线, = = ( , , ) 0 ( , , ) 0 G x y z F x y z . 因此, 曲线C可以用上述方程组来表示. 上述方程组叫做空间曲线C的一般方程. 则点P在曲线C上当且仅当点P的坐标 满足方程组 S1 F(x, y, z)=0, S2 G(x, y, z)=0, 而曲面的方程分别为
例1方程组x+2表示怎样的曲线? 2x+3z=6 解方程组中第一个方程表示母线平行于轴的圆柱面,其 准线是xOy面上的圆,圆心在原点O,半行为1 方程组中第二个方程表示一个母 线平行于y轴的柱面,由于它的准线是 zOx面上的直线,因此它是一个平面 方程组所表示的是上述平面与圆 柱面的交线 O 返回 页结束铃
首页 上页 返回 下页 结束 铃 例 1. 方程组 + = + = 2 3 6 1 2 2 x z x y 例1 表示怎样的曲线 方程组中第一个方程表示母线平行于z轴的圆柱面, 其 准线是xOy 面上的圆, 圆心在原点O, 半行为1. 下页 方程组中第二个方程表示一个母 线平行于y轴的柱面, 由于它的准线是 zOx面上的直线,因此它是一个平面. 方程组所表示的是上述平面与圆 柱面的交线. 解
例2方程组{=42-x2-y2表示怎样的曲线? (x-a)2+y2=a2 解方程组中第一个方程表示球心在坐标原点O,半行为 2a的上半球面 方程组中第二个方程表示母线平行于z轴的圆柱面,它的 准线是xOy面上的圆,这圆的圆心在点(a,0),半行为a 因此,方程组表示上述半球面与 圆柱面的交线 自 返回 下页结束
首页 上页 返回 下页 结束 铃 方程组中第一个方程表示球心在坐标原点O, 半行为 2a的上半球面. 因此, 方程组表示上述半球面与 圆柱面的交线. 首页 解 方程组中第二个方程表示母线平行于z轴的圆柱面, 它的 准线是 xOy 面上的圆, 这圆的圆心在点(a, 0) , 半行为a . 例 例 2 2 方程组 − + = = − − 2 2 2 2 2 2 ( ) 4 x a y a z a x y 表示怎样的曲线
空间曲线的参数方程 空间曲线C的方程除了一般方程之外,也可以用参数形式 表示,只要将C上动点的坐标x、y、表示为参数的函数: x=x() y=y(t) 二=2(1) 当给定t1时,就得到C上的一个点(x,y,21)2随着的变 动便得曲线C上的全部点.上述方程组叫做空间曲线的参数方 程. 返回 页结束铃
首页 上页 返回 下页 结束 铃 二、空间曲线的参数方程 空间曲线C的方程除了一般方程之外, 也可以用参数形式 表示, 只要将C上动点的坐标x、y、z表示为参数t的函数 = = = ( ) ( ) ( ) z z t y y t x x t . 当给定t=t 1时, 就得到C上的一个点(x1 , y1 , z1 ); 随着t的变 动便得曲线C上的全部点. 上述方程组叫做空间曲线的参数方 程. 下页
例3空间一动点M在圆柱面x2+y2=a2上以角速度o绕轴旋 转,同时又以线速度v沿平行于轴的正方向上升(其中o、v都 是常数,试建立动点轨迹的参数方程 解取时间t为参数 设当仁0时,动点位于x轴上的一点 A(a,0,0)处经过时间t,动点由A运动 到Mx,y,z).因为 x=acos at, y=asina, z=vt, 所以动点轨迹的参数方程为 ot M x=a coso t y=asin ot z=vt 返回 页结束铃
首页 上页 返回 下页 结束 铃 例3 空间一动点M在圆柱面x 2+y 2=a 2上以角速度w绕z轴旋 转, 同时又以线速度v沿平行于z轴的正方向上升(其中w、v都 是常数), 试建立动点轨迹的参数方程. 设当t=0时, 动点位于x轴上的一点 A(a, 0, 0)处. 经过时间t, 动点由A运动 到M(x, y, z). 所以动点轨迹的参数方程为 = = = z vt y a t x a t w w sin cos . x=acoswt, y=asinwt, 解 取时间t为参数. 下页 z=vt, 因为
例3空间一动点M在圆柱面x2+y2=a2上以角速度o绕轴旋 转,同时又以线速度v沿平行于轴的正方向上升(其中O、w都 是常数),试建立动点轨迹的参数方程 解取时间t为参数.动点轨迹的参数方程为 x=acosot y=asin at z=vt 令=ot,则参数方程又可写为 x=acos ot y=asine M z=be 其中b=",而参数为θ.这种动点的轨迹叫做螺旋线 自 返回 下页结束
首页 上页 返回 下页 结束 铃 动点轨迹的参数方程为 令q=wt, 则参数方程又可写为 = = = q q q z b y a x a sin cos , 这种动点的轨迹叫做螺旋线. 首页 例3 空间一动点M在圆柱面x 2+y 2=a 2上以角速度w绕z轴旋 转, 同时又以线速度v沿平行于z轴的正方向上升(其中w、v都 是常数), 试建立动点轨迹的参数方程. 解 取时间t为参数. = = = z vt y a t x a t w w sin cos . 其中 w v b= , 而参数为q
、空间曲线在坐标面上的投影 ☆投影柱面与投影(曲线) 以空间曲线C为准线、母线平行于 z投影柱面 z轴的柱面叫做曲线C关于xOy面的投影 柱面 投影柱面与xOy面的交线叫做曲线 O C在xOy面上的投影曲线,或简称投影 类似地可以定义曲线C在其它坐标 投影曲线 面上的投影 返回 页结束铃
首页 上页 返回 下页 结束 铃 三、空间曲线在坐标面上的投影 投影柱面与xOy面的交线叫做曲线 C在xOy面上的投影曲线,或简称投影. 类似地可以定义曲线C在其它坐标 面上的投影. ❖投影柱面与投影(曲线) 下页 以空间曲线C为准线、母线平行于 z轴的柱面叫做曲线C关于xOy面的投影 柱面. 投影柱面 投影曲线
三、空间曲线在坐标面上的投影 ☆投影(曲线)的确定 设空间曲线C的一般方程为 z投影柱面 F(x,y,z)=0 G(x2y2=)=0 方程组中的两个方程消去变量z后可 O 得一个关于x,y的方程 H(x,y)=0, 投影曲线 这就是曲线C关于xOy面的投影柱面的方程 曲线C在xOy面上的投影曲线的方程为 H(x,y)=0 1==0 返回 页结束铃
首页 上页 返回 下页 结束 铃 = = 0 ( , ) 0 z H x y . ❖投影(曲线)的确定 设空间曲线C的一般方程为 = = ( , , ) 0 ( , , ) 0 G x y z F x y z . 方程组中的两个方程消去变量z后可 得一个关于x, y的方程 H(x, y)=0, 曲线C在xOy面上的投影曲线的方程为 下页 三、空间曲线在坐标面上的投影 这就是曲线C关于xOy面的投影柱面的方程. 投影柱面 投影曲线 讨论
例4已知两球面的方程为 2+y2+2=1和x2+(y-1)2+(二-1)2=1 求它们的交线C在xOy面上的投影方程 解方程x2+(y-1)2+(2-1)2=1化为 x2+y2+2-2y2z=1 将x2+y2+2=1代入得 1-2y-2z=1,即y+z=1 将z=1-y代入方程x2+y2+x2=1,得 x2+y2+(1-y)2=1,即x2+2y2-2y=0 这就是交线C关于xO面的投影柱面方程 两球面的交线C在xOy面上的投影方程为 ∫x2+2y2-2y=0 0 返回 页结束铃
首页 上页 返回 下页 结束 铃 例4 已知两球面的方程为 x 2+y 2+z 2=1和 x 2+(y−1)2+(z−1)2=1, 求它们的交线C在xOy面上的投影方程. 解 x 2+y 2+z 2−2y−2z=−1, 将x 2+y 2+z 2=1代入得 1−2y−2z=−1,即y+z=1. 将z=1−y代入方程x 2+y 2+z 2=1, 得 x 2+y 2+(1−y) 2=1, 即x 2+2y 2−2y=0. 方程x 2+(y−1)2+(z−1)2=1化为 两球面的交线C在xOy面上的投影方程为 这就是交线C关于xOy面的投影柱面方程. 下页 = + − = 0 2 2 0 2 2 z x y y