《高等数学》课程教学资源：第一章 函数与极限（1.3）函数的极限

§1.3函数的极限 、函数极限的定义 二、函数的极限的性质 自贝

二、函数的极限的性质 一、函数极限的定义 §1.3 函数的极限 首页 上页 返回 下页 结束 铃

、函数极限的定义 1.自变量趋于有限值时函数的极限 今函数极限的的通俗定义 如果当x无限地接近于x时,函数(x)的值无限地接近 于常数A,则常数A就叫做函数(x)当x→>x0时的极限,记作 inf(x)=A或f(x)-)A(当x>x0) 分析 当x->x0时,f(x)->A 台当x-x0->0时,(x)-4|>0 台当x-xo小于某一正数后,x)-A4能小于给定的正数E 台任给E>0,存在8>0,使当x-x0k<时,有(x)4|<E 上页返回下 结束 铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 一、函数极限的定义 如果当x无限地接近于x0时 函数f(x)的值无限地接近 于常数A 则常数A就叫做函数f(x)当x→x0时的极限 记作 ❖函数极限的的通俗定义 0 lim x→x f(x)=A 或 f(x)→A(当 x→ 0 x ) 下页 1.自变量趋于有限值时函数的极限 分析: 当x→x0时 f(x)→A 当|x-x0 |→0时 |f(x)-A|→0 当|x-x0 |小于某一正数d后 |f(x)-A|能小于给定的正数e  任给e 0 存在d 0 使当|x-x0 |d 时 有|f(x)-A|e

今函数极限的精确定义 设函数f(x)在点x的某一去心邻域内有定义.如果存 在常数A,对于任意给定的正数E,总存在正数,使得当x 满足不等式0x时的极限,记为 imf(x)=A或f(x)>A(当x>x0) x→x 定义的简记形式 i(x)=A0,38>0,当0x0 页返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 设函数f(x)在点x0的某一去心邻域内有定义 如果存 在常数A 对于任意给定的正数e 总存在正数d 使得当x 满足不等式00 d >0 当0<|x-x0 |<d 有|f(x)-A|<e  0 lim x→x f(x)=A 或 f(x)→A(x→x0 )。 下页

if(x)=AVE>0,30,当0x0 今函数极限的几何意义 VE>0: 彐δ>0 当0<x-x<6时,(x)-4|<E: f(x) A A 0 6x。x0+6 页返回 结束 铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 A y=f(x) x0 ❖函数极限的几何意义 当0|x-x0 |d 时 |f(x)-A|e : e >0: d >0: A-e A+e x0-d x0+d 下页 e>0 d>0 当 0<|x-x0 |<d 有|f(x)-A|<e  0 lim x→x f(x)=A 或 f(x)→A(x→x0 )

if(x)=AVE>0,30,当0x0 例1证明limc=c x->x0 证明因为e>0,Vb>0,当0x 分析 (x)-A|=(c-c=0. >0,Vδ>0,当0<x-xo<o时,都有(x)4<E 首页 上贝 返回 结束

首页 上页 返回 下页 结束 铃 所以 c c x x = → 0 lim  例 1 证明 c c x x = → 0 例1 lim  证明 因为e>0 d>0 当0|x-x0 |d 时 都有 |f(x)-A|=|c-c|=0e  e>0 d>0 当 00 d>0 当0|x-x0 |d 时 都有|f(x)-A|e 

if(x)=AVE>0,30,当0x0 例2证明ix=xo x→)x 证明因为vE>0,36=6,当00,要使(x)4<6,只要x-xok<E 首页 上贝 返回 结束

首页 上页 返回 下页 结束 铃 分析 |f(x)-A|=|x-x0 |e 当0|x-x0 证明 因为e 0 d =e |d 时 有 只要|x-x0 e >0 要使|f(x)-A|e |e  例 例 2 2 证明 0 0 lim x x x x = →  |f(x)-A|=|x-x0 | 所以 0 0 lim x x x x = →  下页 e>0 d>0 当 0<|x-x0 |<d 有|f(x)-A|<e  0 lim x→x f(x)=A 或 f(x)→A(x→x0 )

if(x)=AVE>0,30,当0x0 例3证明im(2x-1)=1 x→ 证明因为∨E>0,38=E/2,当00,要使fx)4<E,只要x-1|<E/2 首页 上页返回 结束

首页 上页 返回 下页 结束 铃 分析 |f(x)-A|=|(2x-1)-1|=2|x-1| 例 例 3 3 证明lim(2 1) 1 1 - = → x x  因为e 0 所以lim(2 1) 1 1 - = → x x  证明 |f(x)-A|=|(2x-1)-1|=2|x-1|e  下页 e>0 d>0 当 00 d=e /2 当0|x-1|d 时 有 要使|f(x)-A|<e 只要|x-1|<e /2

if(x)=AVE>0,30,当0x0 例4证明lim 2 2 x→>1x 证明因为E>0,彐δ=E,当00,要使x)4<6,只要x-1|<E 首页 上贝 返回 结束

首页 上页 返回 下页 结束 铃 分析 注意函数在x=1是没有定义的 但这与函数在该点是 否有极限并无关系 证明 因为e >0 d =e 当0|x-1|d 时 有 例 例 4 4 证明 2 1 1 lim 2 1 = - - → x x x  所以 2 1 1 lim 2 1 = - - → x x x  f(x)-A| 2| 1 1 | 2 - - - = x x =|x-1|e  下页 分析 当 x1 时 |f(x)-A| 2| 1 1 | 2 - - - = x x =|x-1| e >0 要使|f(x)-A|0 d>0 当 0<|x-x0 |<d 有|f(x)-A|<e  0 lim x→x f(x)=A 或 f(x)→A(x→x0 )

if(x)=AVE>0,30,当0x0 单侧极限 若当x→>x0-时,x)无限接近于某常数A,则常数A叫 做函数(x)当x>x时的左极限,记为 imf(x)=A或(xo)=A x-x 精确定义 imf(x)=AVE>0,36>0,当x0-6xx0表示x从x的左侧(即小于xo)趋于x0 x>x04表示x从x0的右侧(即大于x0)趋于x 首页页返回页结束

首页 上页 返回 下页 结束 铃 注: ❖单侧极限 下页 若当x→x0 -时 f(x)无限接近于某常数A 则常数A叫 做函数f(x)当x→x0时的左极限 记为 f x A x x = → - lim ( ) 0 或f(x0 - )=A . x→x0 -表示x从x0的左侧(即小于x0 )趋于x0 , x→x0 +表示x从x0的右侧(即大于x0 )趋于x0 . e>0 d>0 当 0<|x-x0 |<d 有|f(x)-A|<e  0 lim x→x f(x)=A 或 f(x)→A(x→x0 )。 e 0 d 0 当x0-dxx0 x A  有|f(x)-A|<e  f x x = → - lim ( ) 0 •精确定义

if(x)=AVE>0,30,当0x0 单侧极限 若当x→>x0-时,x)无限接近于某常数A,则常数A叫 做函数(x)当x>x时的左极限,记为 imf(x)=A或(x)=4 x-x 精确定义 imf(x)=AV6>0,36>0,当x0-0xx0 首页页返回结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 ❖单侧极限 若当x→x0 -时 f(x)无限接近于某常数A 则常数A叫 做函数f(x)当x→x0时的左极限 记为 f x A x x = → - lim ( ) 0 或f(x0 - )=A . e>0 d>0 当 0<|x-x0 |<d 有|f(x)-A|<e  0 lim x→x f(x)=A 或 f(x)→A(x→x0 )。 e 0 d 0 当x0-dxx0 x A  有|f(x)-A|<e  f x x = → - lim ( ) 0 类似地可定义右极限. •结论 f x A x x = → lim ( ) 0  f x A x x = → - lim ( ) 0 且 f x A x x = → + lim ( ) 0  •精确定义 下页