复习 第一章复变函数z=x+分y o=f(z=u(,y)+iv(,y ZEe 2 a +az+az+.+az E e ee=e(cos y+isin y) In z=h pe=hn p+io e q
第一章 复变函数 z = x + iy 复习 = f (z) = u(x, y)+iv(x, y) zE z z E n n a + a z + a z ++ a z 2 0 1 2 e e e e e (cos y isin y) z x i y x i y x = = = + + z e i i ln = ln = ln + s s is z = e
n△如n(z+△)-f(z) A→>0△ △z→》0 △z dz 可导:对任何方向的△z,极限都存在并唯一。 必要条件柯西一黎曼方程 可导的充分条件:f(=)的存在,连续且满足柯西 黎曼方程。 f(z)在点z0解析,即在这 CX Ov 点可导
z f z z f z z z z + − = → → ( ) ( ) lim lim 0 0 dz df = 可导：对任何方向的 z ，极限都存在并唯一。 必要条件 柯西—黎曼方程 x v y u y v x u = − = 可导的充分条件: f (z) 的 y v x v y u x u , , , 存在，连续且满足柯西— 黎曼方程。 f (z) 在点 解析，即在这 点可导。 0 z
为在区域B中解析函数,即在区域的点点解析 解析函数的实部和虚部满足拉普拉斯方程 u u O Ox2 已 知V求U 例1已知v=e^( cosy+ysiy) dx+=dv dx OX ax =e (xsin y+sin y+ycos y )dx +e(x cos y +ysin y-cos y)dy
为在区域 B 中解析函数，即在区域的点点解析。 解析函数的实部和虚部满足拉普拉斯方程 0 2 2 2 2 = + y u x u 0 2 2 2 2 = + y v x v 已知 V 求 U 例1 已知 v e (x cos y y sin y) x = + − dy x v dx y v dy y u dx x u du − = + = e x y y y y dx e x y y y y dy x x = (− sin +sin + cos ) + ( cos + sin −cos ) − −
=dle (xsin y-ycos y)] u=e (xsin y-ycos y)+C 第二章复变函数的积分 2.1积分 Ir(eyd==u(x, y)dx-v(x,y)dy J(c)he=ln∑/c=-)或 k=0 +iv(x,y)dx +u(x, y)dy 计算规则同实函数的积分
d[e (xsin y y cos y)] x = − − u e x y y y C x = − + − ( sin cos ) 第二章 复变函数的积分 2.1 积分 i v x y dx u x y dy f z dz u x y dx v x y dy l l l ( , ) ( , ) ( ) ( , ) ( , ) + + = − ( ) lim ( )( 1 ). 或 0 − = → = − k k n k k l n f z dz f z z 计算规则同实函数的积分
柯西定理:在某闭区域解析的函数,它沿此区域边界 的积分为零。 ∮f(c)=0 1.闭单通区域上的解析函数沿境界线的积分为零 2.闭复通区域上的解析函数沿所有内外境界线正方 向的积分和为零 3.闭复通区域上的解析函数沿外境界线逆时钟方向 的积分等于沿所有内境界线逆时钟方向的积分的 和。 固定起点和终点,积分路径的连续形变不改变积分
柯西定理：在某闭区域解析的函数，它沿此区域边界 的积分为零。 = C f (z)dz 0, 1.闭单通区域上的解析函数沿境界线的积分为零。 2.闭复通区域上的解析函数沿所有内外境界线正方 向的积分和为零。 3.闭复通区域上的解析函数沿外境界线逆时钟方向 的积分等于沿所有内境界线逆时钟方向的积分的 和。 固定起点和终点，积分路径的连续形变不改变积分
个公式 lrdz「0 2S并且(z-a)"c=0,整数n≠-1 2Ti Ji=-a a∈S 24柯西公式f(a) I ff(z) 2niJiz-a 若∫)在闭单通区域B上解析,l为B的境界线,O 为B内任一点,则 有柯西公式 导数公式f(c) f()-d 2 T(C-2
. 1, 0, 2 1 = − l l l S S z dz i 并且 − = l n (z ) dz 0, 整数 n −1 一个公式 2.4 柯西公式 . ( ) 2 1 ( ) − = l dz z f z i f 若 在闭单通区域 上解析， 为 的境界线， 为 内任一点，则 有柯西公式 f (z) B B B l 导数公式 . ( ) ( ) 2 ! ( ) 1 ( ) + − = l n n dz z f i n f z
SIn 例计算积分 SIn (二+1) 2 dz 2 分子54在|-1<内解析,由公式 2 dz 2m(-z) n+1 cOS 2 sin Ⅰ=2mi 4 rail l=1=2m2[ d(二+1) 2|z=1 (二+1)2(二+1) 248 16
例 计算积分 dz z z I z 2 2 1 1 ( 1) 4 sin − = − = 2 ( 1) 4 sin z + z 分子 在 z −11 内解析，由公式 . ( ) ( ) 2 ! ( ) 1 ( ) + − = l n n dz z f i n f z dz z z z z 2 2 1 1 ( 1) ( 1) 4 sin − + = − = 2 1 ( 1) 4 sin 2 = + = z z z dz d I i 2 3 1 ] ( 1) 4 2sin ( 1) 4 cos 4 2 [ = + − + = z z z z z i ] 8 2 4 4[ 2 2 = 2 − i [ 4] 16 2 = i −
3幂级数收敛、收敛半径R=l k+1 f() 泰勒展开:f()=∑a(x-=0),a1=2m(-分d=k 1rf() 洛朗展开:f(=)=2a(=-=0)ak=2m(-)d k 奇点分类:孤立奇点20f()=∑a1(=-=0) k 可去奇点极点本性奇点
3. 幂级数 收敛、收敛半径 1 lim + → = k k k a a R ( ) ( ) , 0 0 = = − k k k 泰勒展开： f z a z z . ! ( ) ( ) ( ) 2 1 ( ) ' 1 k f d z f i a k C k k = − = + 洛朗展开： =− = − k k k f (z) a (z z ) 0 + − = C k k d z f i a 1 ( ) ( ) 2 1 孤立奇点 0 z =− = − k k k f (z) a (z z ) 0 可去奇点 极点 本性奇点 奇点分类：
4留数定理f/()=2nCRy(b)
4. 留数定理 ( ) 2 Re ( ). 1 = = l n j bj f z dz i sf