《数学物理方程》复变函数复习

复变函数复习 20054.13

复变函数复习 2005.4.13

内容 复数的定义和代数; 复函数的定义和代数; 复函数的分析理论:微分和积分: 中心:解析性一可导性 必要条件:满足柯西一黎曼方程 解析函数:定义域中可导函数 积分:柯西定理(积分路径只要不经过奇点, 可以连续变形)

一、内容 复数的定义和代数； 复函数的定义和代数； 复函数的分析理论：微分和积分； 中心：解析性－可导性 解析函数：定义域中可导函数 必要条件：满足柯西－黎曼方程 积分：柯西定理（积分路径只要不经过奇点， 可以连续变形）

复数项级数、复变项级数、幂级数 复函数的泰勒展开(在解析点的展开) 复函数的洛朗展开(奇点邻域的展开) 技巧:利用泰勒展开 留数定理; 留数的求法,留数定理求实函数的积分; 傅立叶级数; 傅立叶积分变换; 拉普拉斯变换;

复函数的泰勒展开（在解析点的展开） 复函数的洛朗展开（奇点邻域的展开） 技巧：利用泰勒展开 留数定理； 留数的求法，留数定理求实函数的积分； 傅立叶级数； 傅立叶积分变换； 拉普拉斯变换； 复数项级数、复变项级数、幂级数

相互关系 拉普拉斯变换 傅立叶变换 留数的求法求实函数的积分 留数定理 柯西公式洛朗展开泰勒展开 柯西定理 幂级数 解析函数 级数 复函数的分析理论:微分和积分; 复函数的定义和代数 复数的定义和代数

复数的定义和代数 复函数的定义和代数 复函数的分析理论：微分和积分； 解析函数 柯西定理 洛朗展开 泰勒展开 留数定理 留数的求法 求实函数的积分 傅立叶变换 相互关系 拉普拉斯变换 柯西公式 级数 幂级数

细节 1.复数的定义和代数 z=x+ty z=pe"=pcos p+isin 复平面

二、细节 1. 复数的定义和代数 z = x + iy cos sin i z e i  = = +     复平面 z y x 1 1   O

2复函数的定义和代数 E:定义域(复平面上 复函数=f(z)z∈E O=l+11 有关概念邻域内点外点境界点 境界线区域闭区域 O=已 +2 WINIZN

2.复函数的定义和代数  = f (z) zE E ：定义域（复平面上） 复函数 有关概念 邻域 内点 外点 境界点 境界线 区域 闭区域  = u + iv z  = e E:

3.分析理论 导数 可能有方向性!! 在一点的可导性:导数与方向无关 柯西一黎曼方程

3. 分析理论 导数 df dz 可能有方向性！！ 在一点的可导性：导数与方向无关 柯西－黎曼方程

柯西一黎曼方程 ou a Ox o ou 调和函数2n,a2l =0 2 相互共轭:已知一个,可以求出另一个 x+√x2+y 求 选坐标系: 直角坐标 Ovv-+x2 2√-x+√x2+y

柯西－黎曼方程 x v y u y v x u   = −     =   调和函数 0 2 2 2 2 =   +   y u x u 0 2 2 2 2 =   +   y v x v 相互共轭：已知一个，可以求出另一个 例： 2 2 v x x y = − + + 求 u 选坐标系： 2 2 2 2 2 2 1 2 u v x x y x y x y y y x x y     = = − + + = +     − + + 直角坐标

au 2 ax x+√x- 2√x2+ L(2 aX 0 v-r+y2 2 √x+y 极坐标 x+√x-+1 - pcos p+p=√m(1-cosq) psin I au ps 2 dp pao dp pao oul p sin p pdp p dp 2 o sin Sin do D

2 2 2 2 1 2 2 2 u y x x x y x y  =  − + + + 0 0 2 2 2 2 1 2 ( ) 2 2 z z u y u z dx dx x x x y x y  = =  − + + +   ？ 极坐标 2 2 v x x y = − + + = − + = −      cos (1 cos ) 2 2 sin 2 =  1 1 , u v v u           = = −     1 1 1 ( 2 sin ) cos 2 2 2 u v             = = =    2 sin 2 =  ( 2 sin ) sin 2 2 2 u v             = − = − = −   

全微分 do p+ou csdp √2 sind= cos-=d√2p+√2 od cos V2p d(2p cos l(,9)=√2 O cOS-+l f(p,)=u(p, p)+iv(p, p )=v2p cos y +iv2psin +uo=v2pe 2+uo 2pe"+=√2z+l

1 cos sin cos 2 2 cos 2 2 2 2 2 2 u u du d d d d d d                 = + = − = +   全微分 ( 2 cos ) 2 d  =  0 ( , ) 2 cos 2 u u     = + 2 0 0 ( , ) ( , ) ( , ) 2 cos 2 sin 2 2 2 i f u iv i u e u             = + = + + = + 0 0 2 2 i e u z u  = + = + 