第五章傅里叶变换 51傅里叶级数 利用三角级数的周期性来展开周期函数 周期函数的傅里叶展开; 奇函数和偶函数的傅里叶展开; 有限区间中的函数的的傅里叶展开; 复数形式的的傅里叶展开;
第五章 傅里叶变换 利用三角级数的周期性来展开周期函数 5.1 傅里叶级数 • 周期函数的傅里叶展开； • 奇函数和偶函数的傅里叶展开； • 有限区间中的函数的的傅里叶展开； • 复数形式的的傅里叶展开；
复变项级数 ∑mk(z)=a1(z)+2(z)+…+Ok(z)+… 幂级数 …+a,(2 k=0 f()=m(x+1)+m(z+2)+…=∑lm(x+k) f()=(xz+1)+ln(2+2)+…=∑m(x+k) k=1
复变项级数 ( ) ( ) ( ) ( ) , 1 2 1 = + ++ + = z z z z k k k 幂级数 − = + − + − ++ − + = k k k k k a (z z ) a a (z z ) a (z z ) a (z z )0 2 0 1 0 2 0 0 0 1 ( ) ln( 1) ln( 2) ln( ) k f z z z z k = = + + + + = + 2 1 ( ) ln( 1) ln( 2) ln( ) k k f z z z z k = = + + + + = +
的傅里叶展开 周期为2的函数fx)满足f(x+2)=f(x) 的函数形式与周期是任意的,说道周期与形式是 固定的。要通过三角函数表示fx),则必须a.改 变三角函数的周期为2/。b.组合各种周期的三角 函数来表现f(x)。这就是傅里叶级数。 角函数族:1,cos L cos < ar krai …COS a 2/ 大m Sin l’,Sm
的函数形式与周期是任意的，说道周期与形式是 固定的。要通过三角函数表示 f(x)，则必须a. 改 变三角函数的周期为 2l。b. 组合各种周期的三角 函数来表现 f(x)。这就是傅里叶级数。 三角函数族： , ,sin , 2 sin ,sin , ,cos , 2 1,cos ,cos l k x l x l x l k x l x l x 1. 周期函数的傅里叶展开 周期为 2l 的函数 f(x) 满足 f (x + 2l) = f (x)
a.2/周期性 kz(x+2/) kmx2l丌 kTx krx k cOS = cOS( COS( +2kT)=cos SIn 同样 b.按三角函数族展开 f(x)=a+∑o ka k +b sin (5.1.3) 此为傅里叶级数展开 不同的函数形式由不同的组的ak和b表示
l k x k l k x l lk l k x l k x l ) cos( 2 ) cos 2 cos( ( 2 ) cos = + = + = + a. 2l 周期性 b. 按三角函数族展开 ( ) { cos sin }. 1 0 l k x b l k x f x a a k k k = = + + 不同的函数形式由不同的组的 ak 和 bk 表示。 l kx sin 同样 (5.1.3) 此为傅里叶级数展开
三角函数组具有正交性 k 1·cos-,ax=0(k≠0) k 1·sndx=0. k COS COS dx=0(k≠n) (5.1.4) k SIn SIn dx=0(k≠n), COS SIn dx=0 因此」a ∫,()cos2a 5.1.5) k f(s)sin kx与
三角函数组具有正交性 − − − − − = = = = = l l l l l l l l l l dx l n x l k x dx k n l n x l k x dx k n l n x l k x dx l k x dx k l k x cos sin 0. sin sin 0 ( ), cos cos 0 ( ), 1 sin 0, 1 cos 0 ( 0), (5.1.4) 因此 = = − − ( )sin . 1 ( ) cos , 1 d l k f l b d l k f l a l l k l l k k (5.1.5)
f(cos kIs k ∫ao+∑{acos k L+b. sinTx Z xX cos kre dE hIs CoS 了os knx COS ds+ +△∫ 6. sin i coS nIS knox kcos2k丌x k k 1+cOs 2 S, 2
0 1 0 1 1 2 1 ( ) cos 1 [ { cos sin }]cos 1 cos 1 cos cos 1 sin cos 1 1 1 cos [1 cos 2 2 l k l k l k k l k k l l k l k l k k l k l k k l k k l k k k a f d l l k x k x k a a b d l l l l k a d l l k x n a d l l l k x n b d l l l k x k x a d a l l l l − − = − − = − = − = = = + + = + + + = = + ] 1 1 1 2 2 2 l l l k k k l k k k d l a a d a l l − − = = = =
其中6= ∫2(k=0) 此为傅里叶系数 (k≠0 此外,三角函数族还有完备性,即这个函数族足 够展开任何周期函数。 狄里希利定理 函数和级数并不完全是一个东西,例如幂级数就 有收敛域的问题。故必须讨论它们在什么条件下 完全一致 若函数f(z)满足条件(1)处处连续,或在每个周 期内只有有限个第一类间断点;(2)在每个周期内只 有有限个极值点,则三角级数(5.1.3)收敛,且
此为傅里叶系数 此外，三角函数族还有完备性，即这个函数族足 够展开任何周期函数。 函数和级数并不完全是一个东西，例如幂级数就 有收敛域的问题。故必须讨论它们在什么条件下 完全一致 狄里希利定理 若函数 f(z) 满足条件 (1) 处处连续，或在每个周 期内只有有限个第一类间断点；(2) 在每个周期内只 有有限个极值点，则三角级数 (5.1.3) 收敛，且 其中 = = 1 ( 0) 2 ( 0) k k k
f(x) (在连续点x) (5.1.3) f(x+0)+f(x-0)}(在间断点x) 例交流电压E(1)= Eo sin Ot经过半波整流后的傅立 叶级数。 2兀 0 解周期为 E(t)= "o Sin t [O
+ + − = { ( 0) ( 0)}. ( ) 2 1 ( ), ( ) (5.1.3) f x f x x f x x 在间断点 在连续点 例 交流电压 经过半波整流后的傅立 叶级数。 E(t) E sin t = 0 解 周期为 2 − = sin [0, ] 0 [ ,0] ( ) 0 E t E t -10 -5 5 10 0.2 0.4 0.6 0.8 1
E(t)=ao+>ak cos kat+bk sin katy k=1 E odt+ E sin tdt E sin tdt 2丌 loE E sin ot cos kott=o[sin(1+k)ot+sin(1-k)otdt 2丌 E E sin 2otdt= 0- cos 2ot o=0 4丌 Ed Isin(1+k)ot +sin(1-kotdt 丌 1+k 1-k k=2n+1 Eor cos(1+ k )ot cos(l-kotlxlo Eor 2E 2丌 1+k 1-k 2丌1+k1+k1-k1-k k=2n l1-(2n)2]r
= = + + − / 0 0 / 0 0 [sin(1 ) sin(1 ) 2 sin cos 1 k t k tdt E a E t k tdt k cos 2 0, 4 sin 2 2 / 0 0 / 0 0 1 = = − = t E tdt E a = − = + = − + − − − + + + − = − − − − + + − = + + − + − 2 . [1 (2 ) ] 2 0 2 1 ] 1 1 1 ( 1) 1 1 1 ( 1) [ 2 ] 1 cos(1 ) 1 cos(1 ) [ 2 [sin(1 ) sin(1 ) 2 2 0 1 1 / 0 0 0 / 0 0 k n n E k n k k k k E k k t k E k t k t k tdt E a k k k ( ) { cos sin } . 1 0 E t a a k t b k t k k k = = + + , 2 sin 2 [ 0 sin ] 2 1 0 / 0 0 0 / / 0 0 0 E a = dt + E tdt = E tdt = −
2 和b=0 eo Eox n 2E sin ot a∑ cos 2not xh-1-(2n) 频谱 各个频率分量的幅度 幅度 E 2E 丌 15丌 35丌 0 2a 40 60 频率
, 2 0 1 E b = 和 = 0 k b cos 2 . 1 (2 ) 2 1 sin 2 ( ) 1 2 0 0 0 = − = + + n n t n E t E E E t 频谱 各个频率分量的幅度 0 频率 2 4 6 E0 幅度 3 2E0 35 2E0 15 2E0 2 E0