211渐近方法 同理,可按三阶泰勒展开,考虑{(n+c+dm-1}序列。f(t)=log(1+t)的三阶展开是 f()=t-2+2+or2 (2-48) (n +c+dn-)a =(n+c+dn-1)(n-1-n-2+n-3+o(n-3 可以证明c=是,d=- 随机序列的收敛性依分布收敛渐近方法的众多的重要统计应用之一是计算显著性水平概 率的近似值和给出置信区间,依分布收敛是评判这些近似的技术性工具 若{Xn}是一元随机变量序列,则它的分布函数是 若Xn是离散型随机变量,则Fn(x)是右连续的阶梯函数,只在Xn取值的点上有跳跃。 定义2.6(依分布收敛)设Xn的分布函数是Fn,X的分布函数是F,则当 lim Fn(a)= F() (2-51) 对F的所有连续点x都成立,则称Xn依分布收敛于X。 依概率收敛一个数字的常数C总是看成一个退化的随机变量C,它的分布是全部概率集 中于一个点c上。它的分布函数是 0a<c Fc(a) 1x≥c (2-52) Fn是一个右连续函数,只有一个不连续点x=c 定义27(依概率收敛于常数)如果对每个ε>0,有 limP{|Xn-c≤e}=1 则称{Xn}依概率收敛于c,写成Xnpc 定理22若C是一个退化的随机变量满足P{C=c}=1,则[Xn→xC等价于 X 依分布收敛是依概率收敛于一个常数的推广。 确立依分布收敛的方法直接证明Fn→F要证明对F的所有连续点都有Fn(x)→F(x) 例2.2长等待时间的分布 设Xn有几何分布 PIXn=k=(1-pn) 它的分布函数Gn(x)是一个阶梯函数,在每一个正整数上有跳跃,在它们之间是常数 Gn(x)=P{Xn≤x} (1-pn) (2-5) 等待成功的期望次数是p-1,对p=Pn=Mn-1,A>0,当n→∞时研究几何等待次数的情 令E(Xn) 问题2.3当n→∞时,Xn→∞2.11 渐近方法 同理，可按三阶泰勒展开，考虑 {(n + c + dn−1} 序列。f(t) = log(1 + t) 的三阶展开是 f(t) = t − 1 2 t 2 + 1 3 t 3 + o(t 3 ) (2-48) 则 (n + c + dn−1 )xn = (n + c + dn−1 )(n −1 − 1 2 n −2 + 2 3 n −3 + o(n −3 ) (2-49) 可以证明 c = 1 2，d = − 1 12。 随机序列的收敛性 依分布收敛 渐近方法的众多的重要统计应用之一是计算显著性水平概 率的近似值和给出置信区间，依分布收敛是评判这些近似的技术性工具。 若 {Xn} 是一元随机变量序列，则它的分布函数是 Fn(x) = P{Xn ≤ x} (2-50) 若 Xn 是离散型随机变量，则 Fn(x) 是右连续的阶梯函数，只在 Xn 取值的点上有跳跃。 定义 2.6 (依分布收敛) 设 Xn 的分布函数是 Fn，X 的分布函数是 F，则当 limn→∞ Fn(x) = F(x) (2-51) 对 F 的所有连续点 x 都成立，则称 Xn 依分布收敛于 X。 依概率收敛 一个数字的常数 C 总是看成一个退化的随机变量 C，它的分布是全部概率集 中于一个点 c 上。它的分布函数是 Fc(x) = ½ 0 x < c 1 x > c (2-52) Fn 是一个右连续函数，只有一个不连续点 x = c。 定义 2.7 (依概率收敛于常数) 如果对每个 ε > 0，有 limn→∞ P {|Xn − c| ≤ ε} = 1 (2-53) 则称 {Xn} 依概率收敛于c，写成 Xn −→p c。 定理 2.2 若 C 是一个退化的随机变量满足 P{C = c} = 1，则 L [Xn] → L [C] 等价于 Xn −→p c。 依分布收敛是依概率收敛于一个常数的推广。 确立依分布收敛的方法 直接证明 Fn → F 要证明对 F 的所有连续点都有 Fn(x) → F(x)。 例 2.2 长等待时间的分布 设 Xn 有几何分布 P {Xn = k} = (1 − pn) k−1 pn (2-54) 它的分布函数 Gn(x) 是一个阶梯函数，在每一个正整数上有跳跃，在它们之间是常数： Gn(x) = P{Xn 6 x} = ½ 1 − (1 − pn) [x] x > 0 0 x 6 0 (2-55) 等待成功的期望次数是 p −1，对 p = pn = λn−1 , λ > 0，当 n → ∞ 时研究几何等待次数的情 况。 令 E(Xn) = λ −1n， 问题 2.3 当 n → ∞ 时，Xn → ∞。 - 20 -