第二章估计方法引论 (6)乘积规律: O(an)O(bn)=O(anbn) O(an ) o(bn)=danby o(an)(bn)=o(anbn) 7)求和规律:和数的阶是被加项中最大的的阶。(当被加的项依赖于n时就不一定对) 例2.1e的近似 序列en是 可先取对数log(en)=nlog(1+m-1),求取对数后的极限再反求对数得到。令f(t)=log(1+t) 泰勒一阶展开: =f(0)+f'(0)t+o(t) 所以 og(en) g(1+n-1) =1+o(1) 因此 log(en)→1 2-42) 问题2.2{en}收敛到e速度比较慢,为此修正en并考虑∫(t)的高阶展开式 定义序列xn为 =log(1+n-) 考虑序列 ((n+c)inI (2-4) 其中c为待定常数。将序列xn二阶展开 f(n-1) +o(n (2-45) 所以 nt c o(n-2) 111 =1+n-2n-2cn-2+m(n-2)+con =1+(c-5)n-1+o(n-1) 选择c=,(n+c)zn收敛于1的阶从o(1)改进到o(n-1)。这样定义一个新序列e e=(1+n-1)n 它的收敛速度比en要快。第二章 估计方法引论 (6) 乘积规律： O(an)O(bn) = O(anbn) O(an)o(bn) = o(anbn) o(an)o(bn) = o(anbn) (2-38) (7) 求和规律：和数的阶是被加项中最大的的阶。（当被加的项依赖于 n 时就不一定对） 例 2.1 e 的近似 序列 en 是： en = (1 + 1 n ) n (2-39) 可先取对数 log(en) = n log(1+n −1 )，求取对数后的极限再反求对数得到。令 f(t) = log(1+t)， 泰勒一阶展开： f(t) = f(0) + f 0 (0)t + o(t) = t + o(t) (2-40) 所以 log(en) = n log(1 + n −1 ) = n(n −1 + o(n −1 ) = 1 + o(1) (2-41) 因此 log(en) → 1 (2-42) 问题 2.2 {en} 收敛到 e 速度比较慢，为此修正 en 并考虑 f(t) 的高阶展开式。 定义序列 xn 为 xn = log(1 + n −1 ) (2-43) 考虑序列 {(n + c)xn} (2-44) 其中 c 为待定常数。将序列 xn 二阶展开： xn = f(n −1 ) = n −1 − 1 2 n −2 + o(n −2 ) (2-45) 所以 (n + c)xn = (n + c)(n −1 − 1 2 n −2 + o(n −2 ) = 1 + c n − 1 2 1 n − 1 2 cn−2 + no(n −2 ) + co(n −2 ) = 1 + (c − 1 2 )n −1 + o(n −1 ) (2-46) 选择 c = 1 2，(n + c)xn 收敛于 1 的阶从 o(1) 改进到 o(n −1 )。这样定义一个新序列 e ∗ n： e ∗ n = (1 + n −1 ) n+ 1 2 (2-47) 它的收敛速度比 en 要快。 - 19 -