§2正交基 、标准正交基 定义5欧氏空间V的一组非零的向量,如果它们两两正交,就称为一个正交 向量组 按定义,由单个非零向量所成的向量组也是正交向量组 正交向量组是线性无关的这个结果说明,在n维欧氏空间中,两两正交的非 零向量不能超过n个 定义6在n维欧氏空间中,由n个向量组成的正交向量组称为正交基:由单 位向量组成的正交基称为标准正交基组 对一组正交基进行单位化就得到一组标准正交基 设61,E2…,5n是一组标准正交基,由定义,有 几1,当=j 0,当i≠j 显然,(1)式完全刻画了标准正交基的性质换句话说,一组基为标准正交基 的充要条件是:它的度量矩阵为单位矩阵因为度量矩阵是正定矩阵的,根据第 五章关于正定二次型的结果,正定矩阵合同于单位矩阵这说明在n维欧氏空间中 存在一组基,它的度量矩阵是单位矩阵由此断言,在n维欧氏空间中,标准正交 基是存在的 在标准正交基下,向量的坐标可以通过内积简单地表示出来,即 a=(E1a)E1+(E2,a)E2+…+(En,a)E 在标准正交基下,内积有特别简单的表达式设 a=x1E1+xE)+…+x,E B=ya,+y tyne 那么 (a,B)=xy+x,y,+.+x,y=XY. 这个表达式正是几何中向量的内积在直角坐标系中坐标表达式的推广 应该指出,内积的表达式(3),对于任一组标准正交基都是一样的这说明了,所§2 正交基 一、标准正交基 定义 5 欧氏空间 V 的一组非零的向量,如果它们两两正交，就称为一个正交 向量组. 按定义，由单个非零向量所成的向量组也是正交向量组. 正交向量组是线性无关的.这个结果说明，在 n 维欧氏空间中，两两正交的非 零向量不能超过 n 个. 定义 6 在 n 维欧氏空间中，由 n 个向量组成的正交向量组称为正交基；由单 位向量组成的正交基称为标准正交基组. 对一组正交基进行单位化就得到一组标准正交基. 设 n  , , , 1 2  是一组标准正交基，由定义，有     = = 0, . 1, ; ( , ) i j i j i j 当 当   (1) 显然，(1)式完全刻画了标准正交基的性质.换句话说，一组基为标准正交基 的充要条件是：它的度量矩阵为单位矩阵.因为度量矩阵是正定矩阵的，根据第 五章关于正定二次型的结果，正定矩阵合同于单位矩阵.这说明在 n 维欧氏空间中 存在一组基，它的度量矩阵是单位矩阵.由此断言，在 n 维欧氏空间中，标准正交 基是存在的. 在标准正交基下，向量的坐标可以通过内积简单地表示出来，即 n n  ( ,) ( ,) ( ,) = 1 1 + 2 2 ++ . (2) 在标准正交基下，内积有特别简单的表达式.设 . 1 1 2 2 n n  = x  + x  ++ x  . 1 1 2 2 n n  = y  + y  ++ y  那么 ( , ) .   = x1 y1 + x2 y2 ++ xn yn = X Y (3) 这个表达式正是几何中向量的内积在直角坐标系中坐标表达式的推广. 应该指出，内积的表达式(3)，对于任一组标准正交基都是一样的.这说明了，所