有的标准正交基,在欧氏空间中有相同的地位 规范正交基的存在性及其正交化方法 定理1n维欧氏空间中任一个正交向量组都能扩充成一组标准正交基 应该注意,定理的证明实际上也就给出了一个具体的扩充正交向量组的方法 如果从任一个非零向量出发,按证明中的步骤逐个地扩充,最后就得到一组正交 基再单位化,就得到一组标准正交基 定理2对于n维欧氏空间中任意一组基61E2…,En,都可以找到一组标准正 交基n1,n2 使 L(s1E2,…,6)=L(7 ,n;),i=1,2,…,n 应该指出,定理中的要求 E1)=L(m1,n2,…,n1),i=1,2,…,n 就相当于由基1,E2…,En到基n,nh2,…,n的过渡矩阵是上三角形的 定理2中把一组线性无关的向量变成一单位正交向量组的方法在一些书和 文献中称为施密特( Schmidt)正交化过程. 例1a1=(10.0,a2=(1,0,1,0),a3=(-100,1,a4=(,-1,-1,1) 变成单位正交组 、正交矩阵 上面讨论了标准正交基的求法由于标准正交基在欧氏空间中占有特殊的地 位,所以有必要来讨论从一组标准正交基到另一组标准正交基的基变换公式 设E1,E2…,En与1,n2…是欧氏空间V中的两组标准正交基,它们之间的 过渡矩阵是A=(an),即 (71,n2,…,n)=( a 因为n1,2…,7n是标准正交基,所以有的标准正交基，在欧氏空间中有相同的地位. 二、规范正交基的存在性及其正交化方法 定理 1 n 维欧氏空间中任一个正交向量组都能扩充成一组标准正交基. 应该注意，定理的证明实际上也就给出了一个具体的扩充正交向量组的方法. 如果从任一个非零向量出发，按证明中的步骤逐个地扩充，最后就得到一组正交 基.再单位化，就得到一组标准正交基. 定理 2 对于 n 维欧氏空间中任意一组基 n  , , , 1 2  ，都可以找到一组标准正 交基   n , , , 1 2  ，使 L( 1 , 2 ,  , i ) = ( , , , ) , 1,2, , . L 1 2  i i =  n 应该指出，定理中的要求 L( 1 , 2 ,  , i ) = ( , , , ) , 1,2, , . L 1 2  i i =  n 就相当于由基 n  , , , 1 2  到基   n , , , 1 2  的过渡矩阵是上三角形的. 定理 2 中把一组线性无关的向量变成一单位正交向量组的方法在一些书和 文献中称为施密特（Schimidt）正交化过程. 例 1 (1,1,0,0), (1,0,1,0), ( 1,0,0,1), (1, 1, 1,1) 1 = 2 = 3 = − 4 = − − 变成单位正交组. 三、正交矩阵 上面讨论了标准正交基的求法.由于标准正交基在欧氏空间中占有特殊的地 位，所以有必要来讨论从一组标准正交基到另一组标准正交基的基变换公式. 设 n  , , , 1 2  与   n , , , 1 2  是欧氏空间 V 中的两组标准正交基，它们之间的 过渡矩阵是 ( ) A = aij ，即 (1 ,2 ,  ,n ) =               n n nn n n n a a a a a a a a a        1 2 21 22 2 11 12 1 1 2 ( , , , ) 因为   n , , , 1 2  是标准正交基，所以