(提问:这个规则从交换对称性的角度来看应该怎么理解?) 对于全同粒子体系,它的 Hamiltonian变成了 B=2m(+()+F(4…,4 其中的m和U(q)对所有的粒子都是一样的,V(q1…,qA)对所有的粒子也都是交换不变的,所以,只 要在初始时刻波函数具有某种交换对称性,那么在此后的任何时刻它永远保持同样的交换对称性,也就 是说,波函数的交换对称性是与量子力学的基本动力学规律相容的。 4.交换对称或反对称波函数的构成 一般地说,一个全同粒子体系的波函数是解 Schrodinger方程得到的,原始的解未必有确定的交换 对称性。所以我们要对它进行“对称化”或“反对称化”。这里我们只考虑比较简单的情形:无耦合体 系,即体系的总波函数是单个粒子波函数的乘积 y(q1,…qN)=v1(q1)…vN(qN) 这称为独立粒子近似。以二粒子体系为例,在独立粒子近似下,波函数是 v1(q2q2)=v(qh)2(q2) 假设v1和v2是不同的函数,那么对称化的波函数是: ys(q1q2)=[v(q)2(q2)+v1(42)v2(q小 而反对称化的波函数是 A(192)=[w()v2()-v(q2)2(9 注意,对于可区别粒子(波函数v1),我们可以说系统的状态是“第一个粒子处于状态v1,第二个粒子 处于状态v2”,但是对于不可区别粒子(波函数vs和vA),我们只能说“有一个粒子处于状态v1, 个粒子处于状态v2”。 波函数的对称化或者反对称化会对系统的性质产生重要的影响。假如q是粒子的空间坐标,让我们 考虑两个粒子的位置重合(石=F2=F)的几率。对于没有对称化或者反对称化的波函数v1(,),这 个几率是|v1(F)v2(F)2,对于交换对称的波函数vs,),它是2|v(Pv2(G),而对于交换反对 称的波函数vAG,),它是0。所以,空间波函数的对称化使得粒子趋向于互相靠拢,而反对称化使 得粒子之间趋向于互相远离。注意,这完全是统计的规律在起作用,实际上并不存在粒子之间的“实在 的”相互作用,但是它显然也有物理上可观察的效应。 类似的方法可以推广到N个粒子的体系。特别是,N个费米子的反对称化波函数是: v1(q1)v1(q2) VI(N) y2(q1)v2(qg2) vA(q1,…,qx)= yN(q1)x(q2)…vx(qN) 这称为 Slater行列式。从这个表达式很容易看出:如果在v1,…,vN当中有任何两个是相同的函数,那 么vA(q1,…,qN)=0。所以我们有 Pau不相容原理:不可能有两个或更多的费米子处于完全相同的量子状态中 这是一个纯量子力学的原理。它在统计物理中起着重要的作用,例如解释多电子原子中的电子壳层,固 体中的能带填充,中子星的形成和稳定性,等等。而全同玻色子系统则完全不受这种限制,就是说,可 以有任意多的玻色子处于相同的单粒子态中,这正是Bose- Einstein凝聚现象得以产生的原因。但是一般 地说,N个玻色子的对称化波函数的构成要复杂得多,它强烈地依赖于v1,…,vN当中有多少个是相同 的,关于这一点读者可以通过一些例子来体会。 在自然界的构成中,费米子起着“砖块”的作用,而玻色子起着“粘合剂”的作用,它们一起构建 出了我们所看到的如此丰富多彩的宇宙世界。2 （提问：这个规则从交换对称性的角度来看应该怎么理解？） 对于全同粒子体系，它的 Hamiltonian 变成了 ( ) 2 2 1 1 ˆ ( ) ( , , ), 2 N i i N i H U q V q q m = = −  + +  其中的 m 和 U q( ) 对所有的粒子都是一样的， 1 ( , , ) V q qN 对所有的粒子也都是交换不变的，所以，只 要在初始时刻波函数具有某种交换对称性，那么在此后的任何时刻它永远保持同样的交换对称性，也就 是说，波函数的交换对称性是与量子力学的基本动力学规律相容的。 4. 交换对称或反对称波函数的构成 一般地说，一个全同粒子体系的波函数是解 Schrödinger 方程得到的，原始的解未必有确定的交换 对称性。所以我们要对它进行“对称化”或“反对称化”。这里我们只考虑比较简单的情形：无耦合体 系，即体系的总波函数是单个粒子波函数的乘积： ( , , ) ( ) ( ).  q1  qN =1 q1  N qN 这称为独立粒子近似。以二粒子体系为例，在独立粒子近似下，波函数是 I 1 2 1 1 2 2    ( , ) ( ) ( ). q q q q = 假设  1 和  2 是不同的函数，那么对称化的波函数是： S 1 2 1 1 2 2 1 2 2 1   1 ( , ) ( ) ( ) ( ) ( ) , 2      q q q q q q = + 而反对称化的波函数是： A 1 2 1 1 2 2 1 2 2 1   1 ( , ) ( ) ( ) ( ) ( ) . 2      q q q q q q = − 注意，对于可区别粒子（波函数  I ），我们可以说系统的状态是“第一个粒子处于状态  1 ，第二个粒子 处于状态  2 ”，但是对于不可区别粒子（波函数 S 和  A ），我们只能说“有一个粒子处于状态  1 ，一 个粒子处于状态  2 ”。 波函数的对称化或者反对称化会对系统的性质产生重要的影响。假如 q 是粒子的空间坐标，让我们 考虑两个粒子的位置重合（ 1 2 r r r = = ）的几率。对于没有对称化或者反对称化的波函数 I 1 2  ( , ) r r ，这 个几率是 2 1 2 | ( ) ( ) |  r r ，对于交换对称的波函数 S 1 2  ( , ) r r ，它是 2 1 2 2 | ( ) ( ) |  r r ，而对于交换反对 称的波函数 A 1 2  ( , ) r r ，它是 0 。所以，空间波函数的对称化使得粒子趋向于互相靠拢，而反对称化使 得粒子之间趋向于互相远离。注意，这完全是统计的规律在起作用，实际上并不存在粒子之间的“实在 的”相互作用，但是它显然也有物理上可观察的效应。 类似的方法可以推广到 N 个粒子的体系。特别是， N 个费米子的反对称化波函数是： . ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ! 1 ( , , ) 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 A 1 N N N N N N N q q q q q q q q q N q q                   = 这称为 Slater 行列式。从这个表达式很容易看出：如果在   N , , 1  当中有任何两个是相同的函数，那 么  A (q1 ,  ,qN )  0 。所以我们有 Pauli 不相容原理：不可能有两个或更多的费米子处于完全相同的量子状态中。 这是一个纯量子力学的原理。它在统计物理中起着重要的作用，例如解释多电子原子中的电子壳层，固 体中的能带填充，中子星的形成和稳定性，等等。而全同玻色子系统则完全不受这种限制，就是说，可 以有任意多的玻色子处于相同的单粒子态中，这正是 Bose-Einstein 凝聚现象得以产生的原因。但是一般 地说， N 个玻色子的对称化波函数的构成要复杂得多，它强烈地依赖于   N , , 1  当中有多少个是相同 的，关于这一点读者可以通过一些例子来体会。 在自然界的构成中，费米子起着“砖块”的作用，而玻色子起着“粘合剂”的作用，它们一起构建 出了我们所看到的如此丰富多彩的宇宙世界