§44全同粒子系统波函数的交换对称性 1.多粒子体系的描写 假设我们有N个粒子组成的体系,那么体系的波函数应该和所有粒子的坐标以及时间有关, 平=平(q1,q2…,qN:1),其中的“坐标”q包括了粒子的空间坐标F和其它一些“内部的”量子数(比 如自旋)。体系的 Hamiltonian是(见§1.2) H +U1(q)+V(q1;…,qx) 2 由此即可写下体系的 Schrodinger方程 2.全同粒子的不可区别性 现在假设多粒子体系中的N个粒子是全同粒子 全同粒子就是质量、电荷、自旋等内在性质完全相同的粒子。全同粒子体系例如多电子原子中的电 子、固体中的“公用”电子、原子核中的核子等。显然,对于全同粒子体系, Hamiltonian中的m1都相 同,q也都有相同的组成。但是在量子力学中,全同粒子体系与非全同粒子体系有更多的区别。 在经典力学中,即使两个粒子是全同的,它们也仍然是可区别的,因为它们各有自己的轨道。但是 在量子力学中,粒子的状态用波函数描写,当两个粒子的波函数在空间中发生重叠的时候,我们无法区 分哪个是“第一个”粒子,哪个是“第二个”粒子。所以在量子理论中有全同粒子不可区别性原理: 当一个全同粒子体系中各粒子的波函数有重叠的时候,这些全同粒子是不可区别的 3.波函数的交换对称性和粒子的统计性 对全同粒子体系的波函数引入交换算符P,它的作用是把第;个粒子和第j个粒子交换位置: P(…,4 1)=(…,q,…,q,…1)(≠j 那么全同粒子的不可区别性告诉我们:这样交换以后的状态与原来的状态是不可区分的,所以 PH=CH,(C是常数) PP平=, 所以 C2=1, 解得: C=+1或者-1, 也就是说 B=+或者-平.(对任何≠ 假如 P Y=+乎 则称Y为交换对称波函数:假如 PY=-, 则称屮为交换反对称波函数。 交换对称性或反对称性是全同粒子体系波函数的特殊的、固有的性质,因此也是微观粒子的特殊的、 固有的性质。它决定了粒子所服从的统计。 自旋为整数的粒子,波函数是交换对称的,服从Bose- Einstein统计,称为玻色子( boson)。例如光 子(自旋为1)、介子(自旋为0) 自旋为半整数的粒子,波函数是交换反对称的,服从 Fermi-Dirac统计,称为费米子( fermion)。例 如电子、质子、中子(自旋都是1/2)。 原子核、原子、分子这样的粒子是由质子、中子、电子这些更“基本的”粒子组成的,我们把它们 称为“复合粒子”。如果复合粒子的内部自由度是“冻结”的,我们也可以把它们看做是“基本”粒子。 那么它们是玻色子还是费米子呢?这里的规则是:如果一个复合粒子包含偶数个费米子,那么它是玻色 子:如果它包含奇数个费米子,那么它还是费米子。它所包含的玻色子的数目对此毫无影响。事实上 这正是因为偶数个费米子的总自旋一定是整数,而奇数个费米子的总自旋一定是半整数。1 §4.4 全同粒子系统波函数的交换对称性 1. 多粒子体系的描写 假设我们有 N 个粒子组成的体系，那么体系的波函数应该和所有粒子的坐标以及时间有关， 1 2 ( , , , ; ) N  =  q q q t ，其中的“坐标” q 包括了粒子的空间坐标 r  和其它一些“内部的”量子数（比 如自旋）。体系的 Hamiltonian 是（见§1.2） 2 2 1 1 ˆ ( ) ( , , ), 2 N i i i N i i H U q V q q = m   = −  + +      由此即可写下体系的 Schrödinger 方程。 2. 全同粒子的不可区别性 现在假设多粒子体系中的 N 个粒子是全同粒子。 全同粒子就是质量、电荷、自旋等内在性质完全相同的粒子。全同粒子体系例如多电子原子中的电 子、固体中的“公用”电子、原子核中的核子等。显然，对于全同粒子体系，Hamiltonian 中的 mi 都相 同， i q 也都有相同的组成。但是在量子力学中，全同粒子体系与非全同粒子体系有更多的区别。 在经典力学中，即使两个粒子是全同的，它们也仍然是可区别的，因为它们各有自己的轨道。但是 在量子力学中，粒子的状态用波函数描写，当两个粒子的波函数在空间中发生重叠的时候，我们无法区 分哪个是“第一个”粒子，哪个是“第二个”粒子。所以在量子理论中有全同粒子不可区别性原理： 当一个全同粒子体系中各粒子的波函数有重叠的时候，这些全同粒子是不可区别的。 3. 波函数的交换对称性和粒子的统计性 对全同粒子体系的波函数引入交换算符 Pij ˆ ，它的作用是把第 i 个粒子和第 j 个粒子交换位置： ˆ ( , , , , ; ) ( , , , , ; ), ( ) P q q t q q t i j ij i j j i  =   那么全同粒子的不可区别性告诉我们：这样交换以后的状态与原来的状态是不可区分的，所以 ˆ , ( ) P C C ij =  是常数 而 , P ˆ ijP ˆ ij = 所以， 1, 2 C = 解得： C = +1 或者 −1, 也就是说， ˆ . ( ) P i j ij =+  −   或者 对任何 假如 ˆ , Pij =+  则称  为交换对称波函数；假如 ˆ , Pij =−  则称  为交换反对称波函数。 交换对称性或反对称性是全同粒子体系波函数的特殊的、固有的性质，因此也是微观粒子的特殊的、 固有的性质。它决定了粒子所服从的统计。 自旋为整数的粒子，波函数是交换对称的，服从 Bose-Einstein 统计，称为玻色子（boson）。例如光 子（自旋为 1）、介子（自旋为 0）。 自旋为半整数的粒子，波函数是交换反对称的，服从 Fermi-Dirac 统计，称为费米子（fermion）。例 如电子、质子、中子（自旋都是 1/ 2 ）。 原子核、原子、分子这样的粒子是由质子、中子、电子这些更“基本的”粒子组成的，我们把它们 称为“复合粒子”。如果复合粒子的内部自由度是“冻结”的，我们也可以把它们看做是“基本”粒子。 那么它们是玻色子还是费米子呢？这里的规则是：如果一个复合粒子包含偶数个费米子，那么它是玻色 子；如果它包含奇数个费米子，那么它还是费米子。它所包含的玻色子的数目对此毫无影响。事实上， 这正是因为偶数个费米子的总自旋一定是整数，而奇数个费米子的总自旋一定是半整数