第二十四讲 主函数(三 所以,两个平几可复函数之和仍一平几可复的 f(x)+12(x2≤2f(x)2+|(x)2] 5.函数内积 定义244设f()和(x)函数空殊中的两个函数,它的内 是 (f1,f2)=/f1(x)f2(x)d 于 f(x)|2+|f(x)|2-2f(x)·12(x)=[n(x)-|(x)2≥0 因此 f(x)(x)=|(x)|2(x)≤(x)2+(x) 所以积后/|f(x)(x)d存在.又因为 f(r)f2(a)dxs/If (z)f2(z).z, 何 所以,要f1(x)面∫(x)"方可积,那么理们的内积也一定存在 在此础上,可以定义函数f(x)的“长度” ‖f=(f,f)/2, 若为函数∫(x)的范数 位。样内积定义且,如果(f,f=0,f()并不见得位整个区称上中中曰0.事 实,f(x)岢以在有限个点上,为0,但这些,为0的函数值以,会影响,值,所以仍可 以有(f,f) ★准确则说,了果(f,∫)=0,则f(x)可以在测度为零的点集上取非零值.所以只能说(f,f)=0 隐含当∫(x)几中中0 ★了果采用广义的零函数的概念,把任何几中中0函数称零函数,那么,这里定义的 内。也就符合内公理中的第3条要求,条具形 函数內积的定义还可以进一步推广为 (f1,f2)=/f1(x)f2(x)p(x)dx 其中)≥0且≠0.这样,有关公时均需要作相应的修改,特别是,关于函数即方可 积的要求也应该修改为要求积后 )|2p()dr 存在Wu Chong-shi ➞➟➠➡➢ (➤) ➥ ➦ ➧ (➨) ➩ 9 ➫ ➭➯✥➏✒➒➓➔❋➁✓➲➌➳✩ ➒➓➔❋✌✥  f1(x) + f2(x)   2 ≤ 2 |f1(x)| 2 + |f2(x)| 2 . 5. t✉②➵➈ ➸➺ 24.4 ❼ f1(x) ➌ f2(x) ✩ ➁✓✮✗ ✑✌ ➏ ✒➁✓✥ ❍✐✌ ❊❋✩ (f1, f2) = Z b a f ∗ 1 (x)f2(x)dx. ➻ ❨  f1(x)   2 +  f2(x)   2 − 2  f1(x)   ·  f2(x)   = |f1(x)| − |f2(x)| 2 ≥ 0, ➼➽  f ∗ 1 (x)f2(x)   =  f1(x)   ·  f2(x)   ≤ 1 2 |f1(x)| 2 + |f2(x)| 2 , ➾ ➚➪➶ Z b a  f ∗ 1 (x)f2(x)  dx ➹➘✛➴ ➼➷    Z b a f ∗ 1 (x)f2(x)dx    ≤ Z b a  f ∗ 1 (x)f2(x)  dx, ➾ ➚✥➬➮ f1(x) ➱ f2(x) ✃❣❐➪✥❒ ❮❰Ï❭ Ð➪ÑÒÓ➹➘✛ ❉ ➛❈Ô❾ ✥ ➔ ➯❶❷➁✓ f(x) ✌ ➄ ÕÖ➉ kfk = (f, f) 1/2 , × ❹➁✓ f(x) ✌ Ø✉ ✛ F ✣✤✩ ❙ ÙÚÛ②➵➈➸➺Ü✥ÝÞ (f, f) = 0 ✥ f(x) ßàáâÙãäå✇æççè 0 ✛é ✜ ✩✥ f(x) ➔ ➯ ❉ ●ê✒ë❾★ ❹ 0 ✥ì❇í★❹ 0 î➁✓➀✧★ïðñ❋❧➀✥➭➯➳➔ ➯● (f, f) = 0 ✛ F ò ⑦⑨⑩✥óô (f, f) = 0 ✥õ f(x) ➔ ➯ ❉öÖ ❹÷îë→❾ø❏÷➀✛➭➯ùú⑩ (f, f) = 0 ûüý f(x)þÿççè 0 ✛ F óô￾ ▼✁ ❷ î÷➁✓î✂✄✥ ☎✆✝þÿççè 0 ②t✉✞è✟t✉ ✥✠✡✥❇☛❶❷î ❊❋♣ ➎☞➣ ❊❋✌✍ ✎î✏ 3 ♠✱✑ ✛ ✒✓ Ð ➪ ❭ Ó✔✕❐ ➚✖Ò ✗✘ ✙➷ (f1, f2) = Z b a f ∗ 1 (x) f2(x) ρ(x) dx, ✚ ❜ ρ(x) ≥ 0 ❯ 6≡ 0 ✛✛✜✥❫ ✢✣❛✤✥➮✦✧★❭✩✪✛✫✬✭✥✢ ❨ ✒✓✃❣❐ ➪ ❭ ➮✮Ñ★✯✩✪➷➮✮➪➶ Z b a  f(x)   2 ρ(x) dx ➹➘✛