§243内积空间与函数空间 第8页 3.完备性 定义243在有限维矢量空间中,如果一组正交归一的矢量(称为一个正交归一矢量集), 并不包含在另一个更大的正交归一矢量集之中,则称该正交归一矢量集是完备的 在有限维的矢量空间中,一个完备的正交归一矢量集中矢量的个数必然与空间的维数相同 ★实际问题中,往往并不是先知道矢量空间的维数,反而是要通过找出一组完备的正交归一矢 量(一组特殊的最大线性无关失量组)来判断空间的维数,而建立这个矢量空间的一组基 ★在一个内积空间V中,有一组正交归一的矢量 2,……,k 要判断它是否完备,是一个非常现实的问题 常用的判别法有下列几个 1.当且仅当=0时,(x1,x)=0,i=1,2,…,k 2.对于任意的m∈V,恒有x=∑ 3.Bese不等式中的等号成立,即对于任意的c∈V,恒有 z2=∑|(x;,x)2 4. Parseval方程成立,即对于任意的x,y∈V,恒有 y,x)=∑v,)(xn,m 它们都是正交归一矢量组完备的充分必要条件,因而也是完全等价的 4.函数空间 函数空间是一类特殊的矢量空间:空间的元素是函数,更确切地说,是定义在一定区间(为 确定起见,设为闭区间a≤x≤b)上的复值函数f(),并且积分/|(x)2d存在(“函数f(x)平 方可积”) ★定义元素f1和f2的加法f1+f2就是两函数相加 (f1+f2)(x)=f1(x)+f2(x) ★元素∫和复数a的数乘af是 (af(r)=af(a) 这样的平方可积函数的集合,对于加法和数乘是封闭的,因此的确构成一个矢量空间 特别是,因为 h(x)+(x)2+(x)-1(x)12=2f1(x)2+12(x)],Wu Chong-shi §24.3 ♦ ♣qrs◗❘qr ❙ 8 ❚ 3. ✄☎ß ❽❾ 24.3 ❳⑥✆❖❯❵ ❱Ú ç ★ ➷ ➚✔❪⑧ä✝✔✘❯❵ (✇✈✔✷ ÝÞ×ØP◗✞) ★ ❝ ❻✟✠❳ ✓✔✷✡☛✘⑧ä✝✔ ❯❵ ➔ ❫ ç ★⑨✇ ❾⑧ä✝✔ ❯❵ ➔ ✩ ✄☎ ✘ ✤ F ❳⑥✆❖ ✘ ❯❵ ❱Ú ç ★✔✷➂☞✌✍ä✝✎❯✏ ➔ ✑ ❯✏✌✒✓✔✕✖❱✗ ✌✘✓✙✚✛ F ✜✢✣✤ ✑✥✦✦✧★✩✪✫✬✭✏✮✗ ✌✘✓✥✯✰✩✱✲✳✴✵✎✶✷☞✌✍✸✹✎✭ ✏ (✎✶✺✻✌✼✽✾✿❀❁✭ ✏ ✶ ) ❂❃❄✮✗ ✌✘✓✥✰❅❆❇✒ ✭ ✏✮✗ ✌ ✎✶❈✛ F ❉ ✎ ✒ ❊❋✮✗ V ✑✥●✎✶✍✸✹✎ ✌ ✭ ✏ {xi , i = 1, 2, · · · , k}, ✱ ❃❄❍✩■✷ ☞ ✥✩✎ ✒❏❑▲✜✌✣✤✛ ❑▼✌❃◆❖●P◗❘✒❙ 1. ❚❯❱ ❚ x = 0 ❲ ✥ (xi , x) = 0, i = 1, 2, · · · , k ✛ 2. ❳❨❩❬❭ x ∈ V ✥❪❫ x = X k i=1 (xi , x)xi ✛ 3. Bessel ❴❵❛ ❜❭❵❝❞❡✥❢❳❨❩❬❭ x ∈ V ✥❪❫ kxk 2 = X k i=1 |(xi , x)| 2 . 4. Parseval ❣❤❞❡✥❢❳❨❩❬❭ x, y ∈ V ✥❪❫ (y, x) = X k i=1 (y, xi)(xi , x). ❍✐❥✩ ✍✸✹✎✭ ✏ ✶✷☞✌❦❧✔✱♠♥✥♦✰♣✩✷qrs✌✛ 4. t✉✈✇ t✉✈✇ ✩✎①✺✻✌ ✭ ✏✮✗ ❙ ✈✇②③④⑤t✉ ✥⑥⑦⑧⑨⑩✥✩❶❷❉ ✎❶❸✗ (❹ ⑦❶❺❻✥❼ ❹❽❸✗ a ≤ x ≤ b) ❾✌❿➀➁✓ f(x) ✥✧➂❋❧ Z b a  f(x)   2 dx ➃❉ (➄t✉ f(x) ➅ ➆➇➈ ➉ ) ✛ F ❶❷➊➋ f1 ➌ f2 ✌➍❖ f1 + f2 ➎ ✩➏➁✓✙➍✥ (f1 + f2)(x) = f1(x) + f2(x), F ➊➋ f ➌❿✓ α ✌✓➐ αf ✩ (αf)(x) = αf(x), ❇➑✌➒➓➔❋➁✓✌→➣✥↔↕➍❖➌✓➐✩➙❽✌✥♦➛✌ ⑦➜➝✎ ✒ ✭ ✏✮✗ ✛ ✺ ◆ ✩✥♦❹  f1(x) + f2(x)   2 +  f1(x) − f2(x)   2 = 2 |f1(x)| 2 + |f2(x)| 2 ,