它的特殊情形是p(x)≡1 (t)y(t)dt 根据內积公理中的第1条要求,可以看出,不论是实的或复的矢量空间 矢量和它 自身的内积总是实数,这样第3条要求中的不等式才有意义 在此基础上,就把 称为矢量x的模(即矢量c的“长度”) 从上面内积公理中的第1和第2条要求,可得 (a, ay)=a(a, y). 因此 laa=(az, ar)/2=ao(a, x)=la|lall 任何一个非零矢量除以它的模就成为“单位长度”的矢量,或称为归一化的矢量, ★定义了内积的矢量空间称为内积空间 具有内积的实矢量空间称为欧几里德空间( Euclidean space) ★具有内积的复矢量空间称为酉空间( unitary space) 2.正交性 在建立了内积定义后,就可以引入矢量正交的概念 当且仅当(x,y)=0时,两矢量x,y正交 ★零矢量和任何矢量都正交 定义242若对于所有的i和j,(x;,x)=6,则称矢量组{x1,x2,…}是正交归一的 正交归一的矢量一定是线性无关的,这是因为如果将它们线性组合成零矢量, a11+a22+a3x3 定有 所以n维矢量空间中的任何一组n个正交归一矢量都可以枃成此空间的基,称为正交 归一基(或称正交标准基) 选择正交归一基,无论在理论上或实用上,都具有极大的重要性Wu Chong-shi ➛➜➝➞➟ (➠) ➡ ➢ ➤ (➥) ➦ 7 ➧ ①✘✖✗✐②✩ ρ(x) ≡ 1 ★ (x, y) = Z 1 0 x ∗ (t) y(t) dt. ➨➩ ➫➭➯➲ ➂✫ ➳ 1 ✧➵➸★ ✬ ✭➺ ➻★➼➽✕ ➾✫➚➪✫➶➇ ➹➘★ ✗➴➶➇➃➷ ➬➮ ✫ ➫➭➱✕ ➾✳★✃❐ ➳ 3 ✧➵➸ ➂✫➼❒❮ ❰✙ÏÐ✤ ❳ ❃➆➇✴★✾✵ (x, x) 1/2 = kxk ✇✈❯❵ x ✘ Ñ (✃❯❵ x ✘ Ò❢❣Ó) ✤ ✼✴ ➱ ❛❜❼❰ ç ✘ q 1 ❈q 2 ÿ✂❧★✿❀ (x, αy) = α(x, y). ❂❃ kαxk = (αx, αx) 1/2 = h αα∗ (x, x) i1/2 = |α| kxk. ❄ ➬ ✔✷④Ô❯❵Õ ✧①✘Ö✾ ✽✈ Ò⑤ Ù ❢❣Ó✘ ❯❵ ★ ❿✇✈ ×ØÙ ✘ ❯❵ ★  x kxk , x kxk  = 1. F ➩➫ó ❛❜✘ ❯❵ ❱Ú ✇✈ ❛❜❱Ú ✤ F è ⑥ ❛❜✘✲ ❯❵ ❱Ú ✇✈Ú ➓❆Û❱Ú (Euclidean space) ✪ F è ⑥ ❛❜✘❋❯❵ ❱Ú ✇✈Ü ❱Ú (unitary space) ✤ 2. ÝÞß ❳àáó ❛❜➩➫➶★✾✿✧âã❯❵ ÝÞ ✘❨❩✤ F ýÜ❞ý (x, y) = 0 ❛ ★✶ ❯❵ x, y ⑧ä ✤ F Ô❯❵❈❄ ➬❯❵❆⑧ä ✤ ❽❾ 24.2 × ✟✠✦ ⑥ ✘ i ❈ j ★ (xi , xj ) = δij ★⑨ ✇❯❵ ❪ {x1, x2, · · ·} ✩ ÝÞ×Ø ✘ ✤ ✹✺ å✗✫➶➇✗✘✕æ✻ç è✫★✃ ✕ éêëìí➷îæ✻✱ïðñ➶➇★ α1x1 + α2x2 + α3x3 + · · · = 0, ò ✗✘✙ αj = 0, j = 1, 2, 3, · · · . ó ✭ n ô➶➇ ➹➘➂ ✫➊➋✗✱ n ➴✹✺ å✗➶➇õ✬ ✭öð÷ ➹➘✫ø★ù ê ÝÞ ×Øú(➚ ù ÝÞûüú) ✤ ýþ✹✺ å✗ø★ ç➽✤➲➽ ➅➚ ➾ÿ➅★ õ✸✙￾✁✫✂ ➵ ✻✤