§4.3可测函数的结构 Lus in定理 本节引进简单函数概念、相对连续、几乎处处等重要概念,并从可测函数与 简单函数的关系,可测函数与连续函数的关系,可测函数与正、负部下方图形的 关系角度研究了可测函数的本质特征,从而把握可测函数的结构。 定义4.3.1若E=∪En,其中En可测且互不相交,则称中(x)= C x∈ EE CNx∈E为E上的简单函数。 若φ、为E上的简单函数,则φ士,φ×W,φ÷ψ,|φ|也为E 上的简单函数。 由于对va,E中>a]=∪E,故定义在E上的简单函数均为定义E上的 可测函数。我们称 xE(x)=1-x∈E 为集合E的特征函数 x E 显然函数xg(x)可测的充分必要条件是集合E可测,这是之所以称xg(x) 为E特征函数的原因。 显然中(x)=∑CnE(x)。 一般说来,可测函数不一定是简单函数,但都可以表成简单函数的极限。 定理4.3.1f在E上非负可测<=>存在E上的简单函数列{φ}满足 0≤φ。(x)≤中。,(x),且中(x)→f(x)(x∈E) 证明 =〉”若f≥0且在E上可测,作§４.3 可测函数的结构 Lusin 定理 本节引进简单函数概念、相对连续、几乎处处等重要概念，并从可测函数与 简单函数的关系，可测函数与连续函数的关系，可测函数与正、负部下方图形的 关系角度研究了可测函数的本质特征，从而把握可测函数的结构。 定义４.3.１ 若 E＝U N n=1 E n ，其中 E n 可测且互不相交，则称 φ(x)＝        ∈ ∈ ∈ N N 2 2 1 1 C E C E C E x x x 为 E 上的简单函数。 若 φ、ψ 为 E 上的简单函数，则 φ±ψ，φ×ψ，φ÷ψ，｜φ｜也为 E 上的简单函数。 由于对∀ a，E[φ＞a]＝ U Ci >a E i ，故定义在 E 上的简单函数均为定义 E 上的 可测函数。我们称 χ E (x)＝    ∉ ∈ x E x E 0. 1, 为集合 E 的特征函数。 显然函数 χ E (x)可测的充分必要条件是集合 E 可测，这是之所以称 χ E (x) 为 E 特征函数的原因。 显然 φ(x)＝ C ( ) x Ei N n ∑ nχ =1 。 一般说来，可测函数不一定是简单函数，但都可以表成简单函数的极限。 定理４.3.１ f 在 E 上非负可测<＝>存在 E 上的简单函数列{φ n }满足 0≤φ n (x)≤φ n+1 (x) ，且 φ n (x)→f(x) (∀ x∈E ) 证明 “＝>”若 f≥0 且在 E 上可测，作