§4.3可测函数的结构 Lus in定理 本节引进简单函数概念、相对连续、几乎处处等重要概念,并从可测函数与 简单函数的关系,可测函数与连续函数的关系,可测函数与正、负部下方图形的 关系角度研究了可测函数的本质特征,从而把握可测函数的结构。 定义4.3.1若E=∪En,其中En可测且互不相交,则称中(x)= C x∈ EE CNx∈E为E上的简单函数。 若φ、为E上的简单函数,则φ士,φ×W,φ÷ψ,|φ|也为E 上的简单函数。 由于对va,E中>a]=∪E,故定义在E上的简单函数均为定义E上的 可测函数。我们称 xE(x)=1-x∈E 为集合E的特征函数 x E 显然函数xg(x)可测的充分必要条件是集合E可测,这是之所以称xg(x) 为E特征函数的原因。 显然中(x)=∑CnE(x)。 一般说来,可测函数不一定是简单函数,但都可以表成简单函数的极限。 定理4.3.1f在E上非负可测存在E上的简单函数列{φ}满足 0≤φ。(x)≤中。,(x),且中(x)→f(x)(x∈E) 证明 =〉”若f≥0且在E上可测,作
§４.3 可测函数的结构 Lusin 定理 本节引进简单函数概念、相对连续、几乎处处等重要概念，并从可测函数与 简单函数的关系，可测函数与连续函数的关系，可测函数与正、负部下方图形的 关系角度研究了可测函数的本质特征，从而把握可测函数的结构。 定义４.3.１ 若 E＝U N n=1 E n ，其中 E n 可测且互不相交，则称 φ(x)＝ ∈ ∈ ∈ N N 2 2 1 1 C E C E C E x x x 为 E 上的简单函数。 若 φ、ψ 为 E 上的简单函数，则 φ±ψ，φ×ψ，φ÷ψ，｜φ｜也为 E 上的简单函数。 由于对∀ a，E[φ＞a]＝ U Ci >a E i ，故定义在 E 上的简单函数均为定义 E 上的 可测函数。我们称 χ E (x)＝ ∉ ∈ x E x E 0. 1, 为集合 E 的特征函数。 显然函数 χ E (x)可测的充分必要条件是集合 E 可测，这是之所以称 χ E (x) 为 E 特征函数的原因。 显然 φ(x)＝ C ( ) x Ei N n ∑ nχ =1 。 一般说来，可测函数不一定是简单函数，但都可以表成简单函数的极限。 定理４.3.１ f 在 E 上非负可测存在 E 上的简单函数列{φ n }满足 0≤φ n (x)≤φ n+1 (x) ，且 φ n (x)→f(x) (∀ x∈E ) 证明 “＝>”若 f≥0 且在 E 上可测，作
x∈ i=1,2 n.x∈ Ef≥n 则显然有中。(x)≤中n(x),且中。(x)→f(x)(x∈E) 事实上,若f(x)=+∞,则φn(x)=n→+∞=f(x) 若0≤f(x)f(x)时,|f(x)一中。(x)|存在E上的简单函数列{φ}满足 1中,(x)|≤|中n1(x)|,且中n(x)→f(x)(x∈E)。 证明“=>”f为一般可测函数时,f,f在E上可测,则存在E上的简 单函数列{φn}满足中(x)≤中m1(x),且中,(x)→f(x), 中,满足φ,(x)≤中n(x),且中。(x)→f(x),从而存在E上的 简单函数列{φ}={φ,(x)一φ,}满足 φ,(x)-d,(x)|=|中,(x)|+|中 ≤|中n(x)+|中m1(x)|=|中m(x)-中n1(x) 且φ(x)=φ+。(x) (x)-f(x)(Vx∈E) “<=”由定理4.1.3直接可得。 定理4.3.2若φ、ψ为E上的可测函数,则φ±旷,φ×旷
φ n (x)＝ [ ] ∈ ≥ ≤ 存在 E 上的简单函数列{φ n }满足 |φ n (x)|≤|φ n+1 (x)|，且 φ n (x)→f(x) (∀ x∈E )。 证明 “＝>”f 为一般可测函数时，f + ，f − 在 E 上可测，则存在 E 上的简 单函数列{φn }满足 φ+ n (x)≤φ+ n+1 (x)，且 φ+ n (x)→f + (x)， φ− n 满足 φ− n (x)≤φ− n+1 (x)，且 φ− n (x)→f − (x)，从而存在 E 上的 简单函数列{φ n }＝{φ+ n (x)－φ− n }满足 |φ+ n (x)－φ− n (x)|=|φ+ n (x)|+|φ− n （x）| ≤|φ+ n+1 (x)|+|φ− n+1 (x)|=|φ+ n+1 (x)－φ− n+1 (x)|， 且 φ n (x)＝φ+ n (x)－φ− n (x)→f(x)＝f + (x)－f − (x) (∀ x∈E)。 “<＝”由定理４.１.３直接可得。 定理４.3.２ 若 φ、ψ 为 E 上的可测函数，则 φ±ψ，φ×ψ
φ÷ψ((x)≠0),|φ也为E上的可测函数。 证明因为φ、W为E上的可测函数,存在E上的简单函数φ→ ψ→旷,即φ,士ψ→φ士ψ,故φ±ν可测,其余同理可证。值得注意的 是当考虑φ÷ψ时,W,有必要在定理4.3.1基础上按下述方式作适当的改动 3x∈E0≤f< 2,r∈E f n,x∈比[/≥n 其目的在于避免Wn(x)=0 定义4.3.2若f(x)≥0,则称G(/,E)={(x,y)|x∈E,0≤y<f(x)}为f 的下方图形。 定理4.3.3若f在E上可测,则G(′,E),G(,B)均为可测集 证明1)若f为E上的非负简单函数,则G(,E)={UEx[0,c] 可测。 2)若f为一般非负可测函数,则存在E上的简单函数列{φ}满足 中n(x)≤中n(x),且中。(x)→f(x)(Vx∈E) G(, E)=U G(@m,E) 由于对任意的n,G(n,E)是可测集,所以G(f,E)是可测集
φ÷ψ(ψ(x)≠0)，｜φ｜也为 E 上的可测函数。 证明 因为 φ、ψ 为 E 上的可测函数，存在 E 上的简单函数 φ n →φ， ψ n →ψ，即 φ n ±ψ n →φ±ψ，故 φ±ψ 可测，其余同理可证。值得注意的 是当考虑 φ÷ψ 时，ψ n 有必要在定理４.3.１基础上按下述方式作适当的改动： ψ n (x)＝ [ ] ∈ ≥ ≤ < − ∈ − ∈ ≤ < , . , 2 2 1 , 2 1 , 2 1 , 0 2 1 n x E f n i f i x E i x E f n n n n n 。 i=2,3,...,n2 n ， 其目的在于避免 ψ n (x)＝0。 定义４.3.２ 若 f(x)≥0，则称 G ( f , E)＝｛(x,y)｜x∈E,0≤y＜f(x)}为 f 的下方图形。 定理４.3.３ 若 f 在 E 上可测，则 G (f , E) + ，G (f , E) − 均为可测集。 证明 1) 若f为E 上的非负简单函数，则 G ( f , E) ＝｛U n i=1 E i ×[0,c i ]] 可测。 2) 若 f 为一般非负可测函数，则存在 E 上的简单函数列{φ n }满足 φ n (x)≤φn+1 (x) ，且 φ n (x)→f(x) (∀ x∈E ) G ( ) f , E ＝U ∞ n=1 G ( E) n Φ , 由于对任意的 n，G ( ) Φn , E 是可测集，所以 G ( f , E)是可测集
3)若f为一般可测函数,则f与f均为可测函数,故G(+,E), G(f,E)均为可测集。 其实,G(r,E),G(,E)可测是f在E上可测的本质特征。关于反过来, G(r,E),G(f-,E)可测能保证f在E上可测,将在下一章推论5.4.1证明 定义4.3.3f在E上有定义的有限函数,若对x∈E,对ε>0,3 6>0,当x∈E∩U(x0,δ)时,|f(x)-f(x0)|a]为可测集。事实上,对 yx0∈E[f>a],令E=f(x0)-a>0,彐δ>0, 当x∈E∩U(x0,δ)时,|f(x)-f(x0)|a,即E∩U(x0,δx)∈E[f>a]。故 E[>a]=∪{E∩U(x°,6x)}=E∩(∪(x0,6) 显然∪U(x°,8形)是开集,从而可测,又因为E可测,故E[f>al]可测。 注4.3.1由证明过程不难看出,当E是开集时,E[f>a]也是开集
3) 若 f 为一般可测函数，则 f + 与 f − 均为可测函数，故 G (f , E) + ， G (f , E) − 均为可测集。 其实，G (f , E) + ，G (f , E) − 可测是 f 在 E 上可测的本质特征。关于反过来， G (f , E) + ，G (f , E) − 可测能保证f在E 上可测，将在下一章推论５．４．１证明． 定义４.3.３ f 在 E 上有定义的有限函数，若对∀ x 0 ∈E，对∀ ε＞0， ョ δ＞0，当 x∈E∩U(x 0 ,δ)时，｜f(x)－f(x 0 )｜＜ε，则称f在x 0 处相对于 E 连续。若 f 在 E 中每一点都相对于 E 连续，则称f在E 上连续。 例４.3.１ D(x)在[0，1]中每一点相对于[0，1]皆不连续，但对[0，1] 中每一个无理数皆相对于[0，1]中的无理数集连续，对[0，1]中每一个有无理数 皆相对于[0，1]中的有理数集连续。 定理４.3.４ 若 f 在可测集 E 上连续，则f在E 上可测。 证明 只须证明对∀ a，E[f＞a]为可测集。事实上，对 ∀ x 0 ∈E[f＞a]，令 ε＝f(x 0 )－a＞0，ョ δ 0 x ＞0， 当 x∈E∩U(x 0 ,δ 0 x )时，｜f(x)－f(x 0 )｜＜ε， 则 f(x)＞a，即 E∩U(x 0 ,δ 0 x )⊂ E[f＞a]。故 E[f＞a]＝ [ ] Ux0∈E f >a ｛E∩U(x 0 ,δ 0 x )｝＝E∩｛ [ ] Ux0∈E f >a (x 0 ,δ 0 x )｝ 显然 [ ] Ux0∈E f >a U(x 0 ,δ 0 x )是开集，从而可测，又因为 E 可测，故 E[f＞a]可测。 注４.3.１ 由证明过程不难看出，当 E 是开集时，E[f＞a]也是开集
定义4.3.4设J是一个与集合E的点有关的命题,如果彐E的子集N满 足叫N=0,且J在E-N上恒成立,则称J在E上几乎处处成立,记为Ja.e 于E 例4.3.2|tgx| 0,彐闭集F6cE,且m(E-F6)0及i,闭集FcE,m(E-F) ,i=1,2,,m,则f在F=UF上连续(事实上,对任意x∈F, F满足x0∈F,对Ve>0,3d=mind(x0,F)>0,当x∈F6∩U(x°,d)时, 有|f(x)-f(x0)|=0<ε,即f在F上连续,且m(E-F6)<8
定义４.3.４ 设 Л 是一个与集合 E 的点有关的命题，如果ョ E 的子集 N 满 足 mN＝0，且 Л 在 E－N 上恒成立，则称Л在E 上几乎处处成立，记为 Л a.e 于 E。 例４.3.2 |tgx|＜＋∞ a.e 于 R1 ； 例４.3.3 f n (x)＝x n →0 a.e 于[-1,1] 例４.3.4 设 f(x)在[a,b]上单调，则 f 在[a,b]上几乎处处连续。 例４.3.5 Dinichni 函数 D(x)＝0 a.e 于[0,1]，一般地，如果 mE[f≠g]＝0，则 f＝g a.e 于 E。 定理４.3.５ 设 f 在 E 上可测，且 f＝g a.e 于 E，则 g 也在 E 上可测。 证明 因为 mE[f≠g]＝0，所以 g 在 E[f≠g]上可测，又因为 E[f＝g]＝E－E[f≠g]是 E 的可测子集，所以 g＝f 在 E[f＝g]上可测，故g在E 上可测。证毕 我们已经知道可测函数 Dinichni 函数在[0，1]上处处间断，这是否意味着 这样的函数与连续不沾边呢？否！事实上，它是在充分接近于定义域的范围内相 对连续的。这就是著名的鲁津（лузин）定理 定理４.3.６ (лузин)若f在E 上可测，且几乎处处有限，则对∀ δ＞ 0， ョ闭集 Fδ ⊂ E，且 m(E-Fδ )＜δ，f 在 F δ 上连续。 证明 1. 若 f(x)为 E 上的简单函数，则 f(x)＝C i x∈E i ，i＝1,2,...,n。 其中 E＝U n i=1 E i ，E i 互不相交且可测，则对∀ δ＞0 及 i，ョ闭集 F i ⊂ E i ，m(E i -F i ) ＜ n δ ，i=1,2,3,...,n ，则f在Fδ ＝U n i=1 F i 上连续(事实上，对任意 x 0 ∈F，ョ F 0i 满足 x 0∈F 0i ，对∀ ε＞0，ョ d＝ 0 min i≠i d(x 0，F i )＞0，当 x∈Fδ ∩U(x 0 ,d)时， 有｜f(x)－f(x 0 )｜＝0＜ε，即f在Fδ 上连续，且 m(E-F δ )＜δ
2.若f为E上的一般可测函数,则存在E上的简单函数列{φ}满足 φ,→f(不妨中,按定理4.3.1方法所构造) a)若m0,3N满足mE[f≥N0及n,闭集 F CElf(NI,m(E0,x∈UFn,而UF,闭,所以x∈UF,=∪Pn
2.若f为E 上的一般可测函数，则存在 E 上的简单函数列{φn }满足 φn →f(不妨 φn 按定理４.3.１方法所构造) a) 若 mE＜＋∞，因 E[|f|＝＋∞]＝I ∞ n=1 E[|f|≥n]，由内极限定理知， 对∀ δ＞0,ョ N 满足 mE[f≥N]＜ 2 δ ，而 φn 一致→ f 于 E[f<N] 由 1 知，对∀δ＞0 及 n，ョ闭集 F n ⊂ E[f<N]， m ( [ ] ) N Fn E f < − ＜ 1 2i+ δ ， n=1,2,3,...，φn 在 F n 上连续，从而所有 φn 在闭集 F＝I ∞ n=1 F n 上连续，且 m(E-F)≤m ( ) E − E[f < N] ＋m ( ) E[f < N]− F ≤ 2 δ ＋m(E[f<N]- I ∞ n=1 F n ) ＜ 2 δ ＋mU ∞ n=1 (E[f<N] -F n )＜ 2 δ ＋∑ ∞ n=1 1 2i+ δ ＝δ，又因为 φn 一致→ f 于 F，故 f 在 F 上连续。 b) 若 mE＝＋∞，则令 I n ＝｛(x1 ,x 2 ,...,x q )｜|x k |＜n k=1,2,...,q｝ E n ＝(I n －I n−1 )∩E，显然 mE n ＜＋∞，E＝U ∞ n=1 E n ，由 a)知ョ闭集 F n ⊂ E n 满 足 m(E n -F n )＜ 2 δ ，f 在 F n 上连续，令 F＝U ∞ n=1 F n ，则 m(E－F)＜∑ ∞ n=1 m(E n -F n ) ＜∑ ∞ n=1 n 2 δ ＝δ。由于此处 F n 的特殊性，可以得到两个在一般情况下并不一定具 备的特殊性质：①F＝U ∞ n=1 F n 闭 ②f 在 F 上连续。(事实上， x n ∈F，x n --→x 0 时，x n 一定有界，即ョ M＞0，x n ∈U M n=1 F n ，而U M n=1 F n 闭，所以 x 0∈U M n=1 F n ⊂ U ∞ n=1 F n
=F,即F闭;对Vx0∈[」Fn=F,彐i0满足xo∈Fi0,对ε>0,彐d nind(x0,F)=min{d(x0,F-1),d(x0,F+1)}>0,当x∈E∩N(x0,d)时,有 f(x)-f(x0)|0,3g∈C(-∞,+∞)使得mE[f≠g]0,彐闭集F∈E,且m(E-F6)<δ,f 在Fδ上连续。作g满足在闭集Fδ保持与f一致,在CFδ上补充定义使其连续。 注意:CF6是开集, 设CF。=U(a,b) f(x)x∈F, f(b)x∈(-ab) a)x∈(a,+∞) ,证毕 f(a)+ f(b)-f(a1) (x-a,)a,b,有限 其实,以上两定理结果也是可测函数的本质特征,即具有上述结果的函数 定是可测函数,证明留作习题。 可测函数可以表成简单函数的极限这一本质特征,为通过 Lebesgue大、小 和定义积分的传统方法提供了思路和理论保证。可测函数的正、负部函数下方图 形皆可测这一本质特征为本教材直接利用正、负部函数下方图形测度之差定义积 分奠定了基础。可测函数在一个充分接近定义域的闭集上连续这一本质特征明示 我们:尽管可测函数的范围比连续函数的范围广得多,但通过牛顿——莱布尼兹 公式计算积分仍为主渠道
＝F，即 F 闭；对∀ x 0∈U ∞ n=1 F n ＝F，ョ i 0 满足 x 0∈Fi 0，对∀ ε＞0 ，ョ d ＝ 0 min i≠i d(x 0 ,F i )＝min｛d(x 0，F 1 i0 − ),d(x 0 ,F 1 i0 + )｝＞0，当 x∈E∩N(x 0 ,d)时， 有｜ f(x)－f(x 0 )｜＜ε，故 f 在 F＝U ∞ n=1 F n 上连续。) 证毕 定理４.3.７ (鲁津定理的第二形式)若 f是直线上的可测子集 E上的几乎 处处有限的可测函数，则对∀ δ＞0，ョ g∈C(-∞,+∞)使得 mE[f≠g]＜δ， 且|g(x)|≤sup｛|f(x)|｜x∈E｝ 证明 由定理４.3.６知：对∀ δ＞0，ョ闭集 Fδ ⊂ E，且 m(E-F δ )＜δ，f 在 F δ 上连续。作 g 满足在闭集 Fδ 保持与 f 一致，在 CFδ 上补充定义使其连续。 注意：CFδ 是开集， 设 CFδ ＝U i∈I (a i ,b i ) （I ≤a） 令 g(x)＝ ( ) () ( ) () ( ) ( ) () ( )( ) − − − + ∈ +∞ ∈ − ∞ ∈ i i i有限 i i i i i j j k k x a a b b a f b f a f a f a x a f b x b f x x F , , , , , , , , , , δ ，证毕 其实，以上两定理结果也是可测函数的本质特征，即具有上述结果的函数一 定是可测函数，证明留作习题。 可测函数可以表成简单函数的极限这一本质特征，为通过 Lebesgue 大、小 和定义积分的传统方法提供了思路和理论保证。可测函数的正、负部函数下方图 形皆可测这一本质特征为本教材直接利用正、负部函数下方图形测度之差定义积 分奠定了基础。可测函数在一个充分接近定义域的闭集上连续这一本质特征明示 我们：尽管可测函数的范围比连续函数的范围广得多，但通过牛顿——莱布尼兹 公式计算积分仍为主渠道