第三章测度理论 本章先介绍集合的外测度定义与性质,然后引入可测集的定义、讨论可测集 的性质,最后研究了可测集的构造。其目的在于为改造积分定义时对分割、求和 所涉及的不太规则集合求相应的“长度”、“面积”、“体积”。 §3.1外测度 本节仍设X是一固定的非空集P(X)是X的全体子集所成的集类 外测度设C是一个非空集类,AX.若{An}是C中的有限或无穷序列, 使得Ac∪4(或A∈∪An)则称{4n}是A的一个C覆盖由于有限并总可以 写成可数并(只要令A,=A(m>k),则∪4=UA)因此我们不妨只考虑由可 数个集构成的覆盖 设是环R上的测度.对每个AcX,令 A)=inf2(An):{4n}是A的R覆盖} 若A无R覆盖,则令4'(4)=+0.这样定义的是定义在P(X)上的非负值集 函数称为由导出的外测度 定理1设是环R上的测度.为由导出的外测度.则满足 (1).4()=0 (i)单调性:若ACB,则*(A)≤'(B) (i)次可数可加性:对X中的任意一列集{An}成立 (∪4)≤∑A(A) (1) 证明由于{∞}是空集②的一个R覆盖,故4'()≤山(∞)=0.因此 μ'(∞)=0.设A∈B,则B的每个R覆盖也是A的R覆盖.这蕴涵 (A)≤4'(B)下面证明4具有次可数可加性.设{An}是X的一列子集.不妨 设r'(An)0.由的定义,对 每个n≥1,存在An的一个R覆盖{Cnk}21,使得 (Cnk)≤(A)
第三章 测度理论 本章先介绍集合的外测度定义与性质，然后引入可测集的定义、讨论可测集 的性质，最后研究了可测集的构造。其目的在于为改造积分定义时对分割、求和 所涉及的不太规则集合求相应的“长度”、“面积”、“体积”。 §３.１ 外测度 本节仍设 X 是一固定的非空集,P (X )是 X 的全体子集所成的集类. 外测度 设C 是一个非空集类, A ⊂ X. 若{ } An 是C 中的有限或无穷序列, 使得 U k n A An =1 ⊂ (或 U ∞ = ⊂ n 1 A An ), 则称{ } An 是 A 的一个C 覆盖. 由于有限并总可以 写成可数并(只要令 A A (n k), n = k > 则U U ∞ = = = 1 n 1 n k n An A ). 因此我们不妨只考虑由可 数个集构成的覆盖. 设µ 是环R 上的测度. 对每个 A ⊂ X , 令 ( ) inf{ ( ) :{ } }. 1 A A An 是A的R 覆盖 n ∑ n ∞ = ∗ µ = µ 若 A 无R 覆盖, 则令 ( ) = +∞. ∗ µ A 这样定义的 ∗ µ 是定义在P (X ) 上的非负值集 函数. 称 ∗ µ 为由µ 导出的外测度. 定理 1 设µ 是环R 上的测度. ∗ µ 为由µ 导出的外测度. 则 ∗ µ 满足: (i). (∅) = 0. ∗ µ (ii).单调性: 若 A ⊂ B, 则µ ∗ (A) ≤ (B). ∗ µ (iii).次可数可加性: 对 X 中的任意一列集{ } An 成立 ( ) ( ). 1 1 n n n An ∑ A ∞ = ∗ ∞ = ∗ µ U ≤ µ (1) 证 明 由 于 {∅} 是空集 ∅ 的一个 R 覆 盖 , 故 (∅) ≤ (∅) = 0. ∗ µ µ 因 此 (∅) = 0. ∗ µ 设 A ⊂ B, 则 B 的每个 R 覆盖也是 A 的 R 覆 盖 . 这蕴涵 (A) (B). ∗ ∗ µ ≤ µ 下面证明 ∗ µ 具有次可数可加性. 设{ } An 是 X 的一列子集. 不妨 设 ( ) 0 . 由 ∗ µ 的定义, 对 每个n ≥ 1, 存在 An的一个R 覆盖{ } , Cn,k k≥1 使得 ( ) ( ) . 1 , n n k Cn k A 2 ∑ ≤ + ∞ = ∗ ε µ µ (2)
由于Cmk,n,k≥1是∪A的一个R覆盖,由(2)得到 (UA,)≤∑∑(Cn)s∑(4)+5)=∑A(4,)+E nel kel 由于E>0是任意的,因此得到 (∪A4)≤∑'(A) 即具有次可数可加性 可测集由导出的外测度定义在X的全体子集所成的集类上但4的 定义域太大,一般不满足可数可加性.因而一般不是测度.下面将证明,可以通 过适当的限制条件挑选出一部分集即所谓“可测集”,这些集构成一个σ-代数 将μ限制在这个σ-代数上,μ'满足可数可加性,因而成为一个测度.而且这 个σ-代数一般要比μ的定义域R要大,于是就扩大了原来测度的定义域 定义2设是环R上的测度,是由导出的外测度.又设EcX.若对 任意AcX,均有 (A)='(A∩E)+'(A∩E) 则称E是‘-可测集.4-可测集的全体所成的集类记为R 等式(3)称为 Caratheodory条件(简称为卡氏条件)由于外测度'具有次可数 可加性,因此对任意AcX成立 (A)=4'(A∩E)∪(A∩E°) (A∩E)+'(A∩E) 所以(3)式等价于 (4)≥'(A∩E)+4'(A∩E) 因此集E是可测的当且仅当对任意AcX,(4)式成立.又由于当(A)=+∞ 时(4)总是成立的,因此若对任意AcX,当(4)<+时(4)式成立,则E是 可测的 显然,空集⑧和全空间X是-可测集.又由的单调性和(4)可以看出若 ‘(E)=0,则E是-可测集 引理3设E1,…,En是互不相交的山可测集则对任意ACX,成立 '(A(E)=∑A(A∩E) 证明用数学归纳法.当n=1时(5)显然成立.假定(5)对n=k时成立.因为 E1…,En是互不相交的.所以
由于{ , , 1} Cn,k n k ≥ 是U ∞ n=1 An 的一个R 覆盖, 由(2)得到 ( ) ( ) ( ( ) ) ( ) . 1 1 1 , 1 1 µ ε ε µ µ µ = + 2 ≤ ∑∑ ≤ ∑ + ∑ ∞ = ∗ ∞ = ∗ ∞ = ∞ = ∞ = ∗ n n n n n n n k n k UAn C A A 由于ε > 0是任意的, 因此得到 ( ) ( ). 1 1 ∑ ∞ = ∗ ∞ = ∗ ≤ n n n µ UAn µ A 即 ∗ µ 具有次可数可加性. ■ 可测集 由 µ 导出的外测度 ∗ µ 定义在 X 的全体子集所成的集类上. 但 ∗ µ 的 定义域太大, 一般不满足可数可加性. 因而一般不是测度. 下面将证明, 可以通 过适当的限制条件挑选出一部分集即所谓“可测集”， 这些集构成一个σ − 代数. 将 ∗ µ 限制在这个σ − 代数 上, ∗ µ 满足可数可加性, 因而成为一个测度. 而且这 个 代数 σ − 一般要比µ 的定义域R 要大, 于是就扩大了原来测度的定义域. 定义 2 设 µ 是环R 上的测度, ∗ µ 是由 µ 导出的外测度. 又设 E ⊂ X. 若对 任意 A ⊂ X , 均有 ). ( ) ( ) ( c A = A∩ E + A∩ E ∗ ∗ ∗ µ µ µ (3) 则称 E 是 ∗ µ -可测集. ∗ µ -可测集的全体所成的集类记为 . ∗ R 等式(3)称为Caratheodory条件(简称为卡氏条件). 由于外测度 ∗ µ 具有次可数 可加性, 因此对任意 A ⊂ X 成立 ( ) ( ). ( ) (( ) ( )) c c A E A E A A E A E ≤ ∩ + ∩ = ∩ ∪ ∩ ∗ ∗ ∗ ∗ µ µ µ µ 所以(3)式等价于 ). ( ) ( ) ( c A ≥ A∩ E + A∩ E ∗ ∗ ∗ µ µ µ (4) 因此集 E 是 ∗ µ -可测的当且仅当对任意 A ⊂ X, (4)式成立. 又由于当 = +∞ ∗ µ (A) 时(4)总是成立的, 因此若对任意 A ⊂ X, 当 < +∞ ∗ µ (A) 时(4)式成立, 则 E 是 ∗ µ -可测的. 显然, 空集∅和全空间 X 是 ∗ µ -可测集. 又由 ∗ µ 的单调性和(4)可以看出若 ( ) = 0, ∗ µ E 则 E 是 ∗ µ -可测集. 引理 3 设 E En , , 1 L 是互不相交的 ∗ µ -可测集. 则对任意 A ⊂ X , 成立 ( ( )) ( ). 1 1 i n i n i A∩ Ei = ∑ A∩ E = ∗ = ∗ µ U µ (5) 证明 用数学归纳法. 当 n = 1时(5)显然成立. 假定(5)对 n = k 时成立. 因为 E En , , 1 L 是互不相交的. 所以
A∩(UE,)E4=A∩En A∩(UE,)E=A∩(∪E) 于是由E1的可测性和归纳法假设,我们有 uAn UE =ulAn UE, Ekl A E oe t'(⌒E4)+A⌒|UE ∑'(A∩E) 因此当n=k+1时(5)式成立.因此(5)对任意n成立 定理4设是环R上的测度,是由导出的外测度.R是A-可测集 的全体所成的集类.则有 (i).R是σ-代数 (i).限制在是R上是一个测度 证明()先证明R是一个代数.由于空集和全空间X是-可测集.故 R非空.由-可测集的定义立即可以看出若E是-可测的,则E也是A 可测的,因此R对余运算封闭往证尺对有限并的封闭性.设E1E2∈R”.令 E=E1∪E2注意到E=E∪(E∩E2),利用E1和E2的可测性,对任意AcX 我们有 (AnE)+'(A∩E)≤['(AnE1)+'(AnEF∩E2)+ +(A∩E∩E2) (AnE1)+[(AnE1)∩E2)+ +((A∩E1)∩E2) (AAE1)+(A∩E)=4(A 即E满足卡氏条件(4)式.这表明E=E1∪E2∈R’.因此R是一个代数.为证 R是一个σ-代数,只需再证明R对不相交可数并运算封闭即可(参见第一章习 题第20题)设En}cR,并且E∩E=(≠)令E=∪E,由于尺是代
( ) ( ). ( ) , 1 1 1 1 1 1 1 1 U U U k i i c k k i i k k k i i A E E A E A E E A E = + + = + + + = ∩ ∩ = ∩ ∩ ∩ = ∩ 于是由 Ek+1的 ∗ µ -可测性和归纳法假设, 我们有 ∩ + ∩ + ∩ = ∩ ∩ + + = ∗ + + = ∗ + = ∗ c k k i i k k i i k i i A E E A E A E E 1 1 1 1 1 1 1 1 U U U µ µ µ ( ). ( ) . 1 1 1 1 ∑ + = ∗ = ∗ + ∗ = ∩ = ∩ + ∩ k i i k i k i A E A E A E µ µ µ U 因此当n = k +1时(5)式成立. 因此(5)对任意n 成立. ■ 定理 4 设 µ 是环R 上的测度, ∗ µ 是由 µ 导出的外测度. ∗ R 是 ∗ µ -可测集 的全体所成的集类. 则有 (i). ∗ R 是σ -代数. (ii). ∗ µ 限制在是 ∗ R 上是一个测度. 证明 ). (i 先证明 ∗ R 是一个代数. 由于空集∅和全空间 X 是 ∗ µ -可测集. 故 ∗ R 非空. 由 ∗ µ -可测集的定义立即可以看出若 E 是 可测 −∗ µ 的, 则 c E 也是 ∗ µ - 可测的, 因此 ∗ R 对余运算封闭. 往证 ∗ R 对有限并的封闭性. 设 E1 , E2 ∈ ∗ R . 令 E = E1 ∪ E2 .注意到 ( ) E E1 E1 E2 c = ∪ ∩ , 利用 E1 和E2 的可测性, 对任意 A ⊂ X , 我们有 (( ) )] ( ) [ (( ) ) ( ) ( ) ( ) [ ( ) ( )] 1 2 1 1 2 1 2 1 1 2 c c c c c c c A E E A E A E E A E E A E A E A E A E E + ∩ ∩ = ∩ + ∩ ∩ + + ∩ ∩ ∩ + ∩ ≤ ∩ + ∩ ∩ + ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ µ µ µ µ µ µ µ µ ). ( ) ( ) ( A E1 A E1 A ∗ ∗ c ∗ = µ ∩ + µ ∩ = µ 即 E 满足卡氏条件(4)式. 这表明 E = E1 ∪ E2 ∈ ∗ R . 因此 ∗ R 是一个代数. 为证 ∗ R 是一个σ -代数, 只需再证明 ∗ R 对不相交可数并运算封闭即可(参见第一章习 题第 20 题). 设{En } ⊂ ∗ R , 并且 E E (i j). i ∩ j = ∅ ≠ 令 . 1 U ∞ = = n E En 由于 ∗ R 是代
数,故∪E∈R,n21.利用引理223,对任意AcX,我们有 (()-(0) ≥4UE|+(A∩E) (AnE)+'(A∩E (6)式对任意n都成立.在(6)中令n→∞,并利用外测度的次可数可加性,得到 A)≥∑(AnE,)+(A∩E) ≥'(A∩E)+'(A∩E) 上式表明E满足卡氏条件(4)式,因此E=UEn∈R这就证明了R是一个a 代数 (i)为证是R上的测度,只需证明在R上是可数可加 的.设En}∈R,并且E,∩E=0(≠由外测度的次可数可加性,我们有 UE)≤∑(E)另一方面,在(5)中令A=X得到 ∑'(E)='(UE)≤(∪E) 上式中令n→∞,得到 ∑'(E)SA'(UE 因此 UE)=∑'(E) 即在R上是可数可加的.所以是R’上的测度 注1从定理4的证明可以看出,定理4的结论(i)和(i)并不依赖于环R上 的测度μ,只用到了定理1中μ所满足的性质.因此,我们可以定义任何满足 定理1中的(i),(i)和(i)的集函数’为外测度.然后和定义2一样定义'可测 集.则定理4的结论对这样定义的一般的外测度仍成立
数, 故 ∈ = U n i Ei 1 ∗ R , n ≥ 1. 利用引理 2.2.3, 对任意 A ⊂ X, 我们有 ( ) ( ). ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 c n i i c n i i c n i i n i i A E A E A E A E A A E A E = ∩ + ∩ + ∩ ≥ ∩ + ∩ = ∩ ∗ = ∗ ∗ = ∗ = ∗ = ∗ ∗ ∑µ µ µ µ µ µ µ U U U (6) (6)式对任意 n 都成立. 在(6)中令n → ∞, 并利用外测度的次可数可加性, 得到 ( ) ( ). ( ) ( ) ( ) 1 c c i i A E A E A A E A E ≥ ∩ + ∩ ≥ ∩ + ∩ ∗ ∗ ∗ ∞ = ∗ ∗ ∑ µ µ µ µ µ 上式表明 E 满足卡氏条件(4)式, 因此 = ∈ ∞ = U n 1 E En ∗ R . 这就证明了 ∗ R 是一个σ - 代数. (ii).为证 ∗ µ 是 ∗ R 上的测度, 只需证明 ∗ µ 在 ∗ R 上是可数可加 的. 设{En } ⊂ ∗ R , 并且 E E (i j). i ∩ j = ∅ ≠ 由外测度的次可数可加性, 我们有 ( ) ( ). 1 1 ∑ ∞ = ∗ ∞ = ∗ ≤ i i i µ UEi µ E 另一方面, 在(5)中令 A=X 得到 ( ) ( ) ( ). 1 1 1 U U ∞ = ∗ = ∗ = ∗ ∑ = ≤ i i n i i n i µ Ei µ E µ E 上式中令n → ∞, 得到 ( ) ( ). 1 1 U ∞ = ∗ ∞ = ∗ ∑ ≤ i i i µ Ei µ E 因此 ∑ ∞ = ∗ ∞ = ∗ = 1 1 ( ) ( ) i i i µ UEi µ E , 即 ∗ µ 在 ∗ R 上是可数可加的. 所以 ∗ µ 是 ∗ R 上的测度. ■ 注 1 从定理.4 的证明可以看出, 定理 4 的结论(i)和(ii) 并不依赖于环R 上 的测度µ , 只用到了定理 1 中 ∗ µ 所满足的性质. 因此, 我们可以定义任何满足 定理 1 中的(, ) i) (ii 和(iii) 的集函数 ∗ µ 为外测度. 然后和定义 2 一样定义 ∗ µ 可测 集. 则定理 4 的结论对这样定义的一般的外测度 ∗ µ 仍成立
我们在微积分中碰到的函数,都是定义在区间上的,那里的积分,需涉及区 间及其子区间的长度,如 ∫/(x=mC/()A 其中△k=[xk-,xk],A=max△k需涉及[a,b]与[xk-,xk]的长度 因更多的函数往往只定义在一个R"中的一般集合上,研究f在E上的积分 必然涉及一般集合E及其子集的“长度”或“体积”。再说,即使是定义在区 间上的函数,如果作分划是将函数值接近的分在一起,就必然遇到求不太规则集 合的“长度”或“体积”问题。然而,到目前为止,我们只有开集的“长度”或 “体积”概念。因此,需要将现有的区间“长度”或“体积”概念推广到较为 般的集合上去,这就产生了 Lebesgue测度理论。 定义3.1.1对任意集合E,称mE=inf{|G|G开,且G彐E}为E的 Lebesgue外测度。 此定义的基本思想是:对较为规则的集合如区间、开集就规定其“体积”为 外测度(此事实将在定理3.1.1的4)和推论3.2.3中得到严格论证),对于 不规则的集合E,试图用盖住E的开集G的“体积”取而代之。然而盖住E的开 集G多种多样,其体积也大小不一,但不应比E的“体积”小。取哪一个最好 呢?当然是最小者较为合理。由于对无限个数而言,最小值不一定可达,于是 取下确界最安全。 定理3.1.1任意集合的外测度均满足: 1)非负性mE≥0 2)单调性若A→B,则mA≥mB 3)次可加性m∪E≤∑mE 4)若d(A,B)>0,则m(AUB)=mA+m`B 5)区间I的外测度满足mI=|I
我们在微积分中碰到的函数，都是定义在区间上的，那里的积分，需涉及区 间及其子区间的长度，如 () ( ) k n k k b a f x dx = ∑ f ∆ ∫ = → 1 0 lim ξ λ 其中 Δk ＝[x k −1 ,x k ]，λ＝max|Δk |需涉及[a,b]与[x k −1 ,x k ]的长度。 因更多的函数往往只定义在一个 R n 中的一般集合上，研究 f 在 E 上的积分， 必然涉及一般集合 E 及其子集的“长度”或“体积”。再说， 即使是定义在区 间上的函数，如果作分划是将函数值接近的分在一起，就必然遇到求不太规则集 合的“长度”或“体积”问题。然而，到目前为止，我们只有开集的“长度”或 “体积”概念。因此，需要将现有的区间“长度”或“体积”概念推广到较为一 般的集合上去，这就产生了 Lebesgue 测度理论。 定义３.１.１ 对任意集合 E，称 m* E＝inf｛|G|｜G 开，且 G ⊇E｝为 E 的 Lebesgue 外测度。 此定义的基本思想是：对较为规则的集合如区间、开集就规定其“体积”为 外测度(此事实将在定理３.１.１的 4)和推论３.２.３中得到严格论证)，对于 不规则的集合 E，试图用盖住 E 的开集 G 的“体积”取而代之。然而盖住 E 的开 集 G 多种多样，其体积也大小不一，但不应比 E 的“体积”小。取哪一个最好 呢？ 当然是最小者较为合理。由于对无限个数而言，最小值不一定可达，于是 取下确界最安全。 定理３.１.１ 任意集合的外测度均满足： 1)非负性 m* E≥0 2)单调性 若 A ⊃ B，则 m* A≥m* B 3)次可加性 m* U ∞ i=1 E i ≤∑ ∞ i=1 m* E i 4)若 d(A,B)＞0，则 m* (A∪B)＝m* A＋m* B 5)区间 I 的外测度满足 m* I＝|I|
证明:1)非负性、2)单调性显然。 3)证次可加性,对任意>0及i存在开集GE,|G|≤m'E+E, 而显然6UE,mUE≤∑16≤∑mE+e,由t的任意性 知结论成立。 4)只须证当d(A,B)>0时,mA+m`B≤m(A∪B)。事实上,彐开集G→(AUB) 满足|G|≤m(AUB)+ε,由推论2.3.3知:彐开集U,U2满足U∩U2=中, 且AcU,BcU2,令G=G∩U,G2=G∩U2,则G1∩G2=。又因为mA+ mB≤|G+|G2|≤|G|≤m(AUB)+ε,由ε的任意性知 mA+mB≤m(AUB) 证mI=|I 无论I是开区间、闭区间,任意开集GI,定有I≤|G|,故I≤mI。另 方面,对任意ε>0存在开区间G=II,满足|I≤|I+ε,故mI≤|I, 从而mI=|I
证明:1)非负性、2)单调性显然。 3)证次可加性，对任意 ε＞0 及 i 存在开集 G i ⊃ E i ，|G i |≤m* E i ＋ i 2 ε ， 而显然U ∞ i=1 G i ⊃ U ∞ i=1 E i ， m* U ∞ i=1 E i ≤∑ ∞ i=1 |G i |≤∑ ∞ i=1 m* E i ＋ε，由 ε 的任意性。 知结论成立。 4)只须证当 d(A,B)＞0 时，m* A＋m* B≤m* (A∪B)。事实上，ョ开集 G ⊃ (A∪B) 满足|G|≤m* (A∪B)＋ε，由推论２.３.３知：ョ开集 U1，U 2 满足 U1∩U 2 ＝ф， 且 A⊂ U1，B⊂ U 2 ，令 G1＝G∩U1，G 2 ＝G∩U 2 ，则 G1∩G 2 ＝ф。又因为 m* A＋ m* B≤|G1 |＋|G 2 |≤|G|≤m* (A∪B)＋ε，由 ε 的任意性知： m* A＋m* B≤m* (A∪B) 5)证 m* I＝|I| 无论 I 是开区间、闭区间，任意开集 G ⊃ I，定有|I|≤|G|，故|I|≤m* I。 另 一方面，对任意 ε＞0 存在开区间 G＝I ε ⊃ I，满足|I ε |≤|I|＋ε，故 m* I≤|I|， 从而 m* I＝|I|