§35单值函数的孤立奇点 1函数的奇点 孤立奇点若|=-b<8内除b外 f(x)别无其他奇点则z=b是/(=)孤立奇点 e8f(=) z=0→孤立奇点∵当<时仅有奇点z=0 z=1→孤立奇点当-1<时仅有奇点=1
§3.5单值函数的孤立奇点 1.函数的奇点 ( )别无其他奇点则 是 ( )的孤立奇点 孤立奇点：若 内除 外 f x z b f z z b b = - < e ( ) ( 1) 1 . . - = z z e g f z z = 0 ® 孤立奇点 Q当 z < 1时仅有奇点 z = 0 z = 1 ® 孤立奇点 Q当 z - 1 < 1时仅有奇点 z = 1
非孤立奇点:E>0在0<2-b<8内 都还有除b外的奇点则z=b是非孤立奇点 egf()=-1;z=0→奇点 SIn (n=0,±1,±2,地是奇点 n丌 且当n→∞时z 1 →)0 0是非孤立奇点
都还有除 外的奇点则 是非孤立奇点 非孤立奇点： 在 内 b z b z b = "e > 0 0 < - < e ( ) = ; = 0 ® 奇点 1 sin 1 . . z z e g f z ,( 0, 1, 2,...)也是奇点 1 = n = ± ± n z p 且当 时 0 0是非孤立奇点 1 ® ¥ = ® \ z = n n z p
2孤立奇点的分类 若z=b→f(x)孤立奇点 则()=∑CA(=-b)0<-bk<R 1)可去奇点 若/(=)=∑CA(=-b)0<2-b<R k=0 则z=b→f()可去奇点(无负幂) e8,f(=) 2=0f(不定,z=0→奇点
2.孤立奇点的分类 若z = b ® f (x )的孤立奇点 f ( )z C (z b ) z b R k k = å k - < - < ¥ = -¥ 则 0 (1).可去奇点： f ( )z C (z b ) z b R k k = å k - < - < ¥ = ,0 0 若 则z = b ® f (z)的可去奇点 (无负幂 ) ( ) = , = 0 ( )不定 , = 0 ® 奇点 sin . . z f z z z z e g f z
sin= 1F(12 0f(=)=∑C(=-b)i>lm(=)=有限
( ) ( ) ( ) = ( - ) Û > ( ) = 有限 ® ¥ = -¥ i f z å C z b ii f z z b k k k lim
ⅲ>f(在b充分小邻域内有界 只要论证由→论>→i→诊即可 imnf()=imn∑CA(=-b) 而由极限性质可知总彐8,当0=-b<6有 f( -Cok<6, Bpf()=f(=)-Co+Co 人 f( -C+Co<+Co=M 再考虑的主部 +, + b(2-b)
Û iii > f (z)在b充分小邻域内有界 只要论证由i>→ii>→iii>→i>即可 ( ) ( ) 0 0 lim f z lim C z b C k k k z b z b = å - = ¥ = ® ® Q 而由极限性质可知,总 $d ,当0 < z - b < d有 ( ) ( ) ( ) 0 0 0 f z - C < e ,即 f z = f z - C + C f (z ) C C C M 令 £ 0 - 0 + 0 < e + 0 = 再考虑f(z)的主部 ( ) ( ) K + K - + + - + - - - - n n z b C z b C z b C 2 1 2
f() 2TiI-b 而又含于0<=b<内的圆-b=可充分小 1 M M 于是由 ds |2i 2兀 n1+1 n 即当n=-1,-2,时Cn=0 由此可不必将函数展开而判断b是否为可去奇点 cOS 2 eg∴:lim lim 1有限) 2→ 0
( ) ( ) ( 1, 2 ,... ) 2 1 1 = - - - = ò + d n b f i C l n n x x x p 而l又含于 0 < z-b < d内的圆 x - b = z可充分小 ( ) ( ) n n l n n M M d b f i C z pz p z x x x p £ × × = - = ò + + 2 2 1 2 1 于是由 1 1 = -1,- 2,... = 0 C n 即当 n 时 由此,可不必将函数展开而判断b是否为可去奇点 1(有限 ) 1 cos lim sin . . lim 0 0 = = ® ® z z z e g z z Q
z=0→可去奇点 ③可去奇点常不作奇点看 f(=)z≠b ∵若令F(z) lim f() 则F(在=b可导,在-b<R中解析 F()=∑C(=-b),2-b<R F(() k!
\ z = 0 ® 可去奇点 ③可去奇点常不作奇点看 ∵若令F(z)= f (z ) z ¹ b f (z ) z b z b = ® lim 则 F (z )在 z = b可导 , 在 z - b < R中解析 ( ) ( ) ( ) ( ) ! , , k F z F z C z b z b R C k k k k = å k - - < = ¥ = -¥
(2)极点 若(=)=∑C(=-b),0<2-b<R m21Cm≠0有限项负幂 则二=b→()的m阶极点阶极点又称为单极点。 e.g.( ∑:2,0<2 z=0→二阶极点 而f(z) z2(=-1)2-1(2-1)+
³ 1, ¹ 0(有限项负幂 ) m C- m f ( )z C (z b ) ,0 z b R, k k = å k - < - < ¥ = -¥ 若 则z=b→f(z)的m阶极点,1阶极点又称为单极点。 ( ) ( ) ,0 1 1 1 1 1 1 1 . . 0 2 2 2 < < - = - - = × - = å ¥ = z z z z z z z e g f z k k ∴z=0→二阶极点 1 ( ) ( ) ( ) = - + × - = - = 1 1 1 1 1 1 1 2 z z z z 而 f z (2).极点
12 (z-1)∑()(=-1 注意:①定义指的是奇点的去心邻域。 如当12>1,()= ∑ 无法用极点定义和可去奇点定义判断它是什么 奇 b为极点的充要条件 lim f()
å [ ( )] å ( ) ( ) ¥ = ¥ = - - - - - = 0 0 1 1 1 1 1 n n n k k z z z 注意： ①定义指的是奇点的去心邻域。 ( ) å ¥ = + = - = × - > = × 0 2 3 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1, k k z z z z z 如当 z f z 无法用极点定义和可去奇点定义判断它是什么 奇点。 b为极点的充要条件: ( ) = ¥ ® f z z b lim
由此可判断b是否为极点,但不能判断是 几阶(不必展开 e!,f(=) 有极点z=n兀 Im 2→ n/ sin z ②b为m阶极点的充要条件 f()=∑c(-byf()= (=) b)
由此可判断b是否为极点，但不能判断是 几阶(不必展开)。 ( ) z np z z e g f z = 有极点 = 2 sin . . = ¥ ® z z z n 2 sin lim p Q ②b为m阶极点的充要条件 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) m k m k k z b z f z C z b f z - = å - Û = ¥ = - j