§42T函数 一定义:在数学分析中函数定义为 T(x) ∫e d,x>0(1) 将x换成z r()=eb.Re>0() 这积分又成为第二类欧拉(Eer)积分
§4.2 Γ函数 这积分又成为第二类欧 拉 积分 将 换成 一 定义 在数学分析中 函数定义为 ( ) ( ) , Re 0(2) ( ) , 0(1) . : 0 1 0 1 Euler z e t dt z x z x e t dt x t z t x ò ò ¥ - - ¥ - - G = > G = > G
二基本性质 1.T(1)=13) 2.T(z+1)=2r(24) 3.rn+1)=nlN=0.125) 4. T(zT(Z+1)=T/sin z T(6) 5.r(12)=v(7)
二.基本性质 5. (1/2) π (7) 4. (z) (z 1) π/ sin π(6) 3. (n 1) n! N 0,1,2 ..(5) 2. (z 1) 2 (z)(4) 1. (1) 1(3) G = G G + = G + = = ¼ G + = G G = z
6(2)=22r(2)r(2+1/2 证:由()r()je 由(2):T(x2+1)=et,Re -e t lo+e"=ldt=2T(=), Re :>0(4 取z=n反复应用(3) r(n+1)=nI(n)=n(n-1)(n (n-1)(n-2)…[n-(n-1)r(1) m!(5)
!(5) ( 1)( 2) [ ( 1)] (1) ( 1) ( ) ( 1) ( 1) (3) | 2 ( ), Re 0(4) (2) : ( 1) , Re 1 : (1) : (1) 1 | 1 6. (2 ) 2 π (2) (2 1 / 2) 0 1 0 0 0 0 2 1 -1/2 n n n n n n n n n n n n z n e t z e t dt z z z e t dt z e dt e z t z t z t z t t z = = - - × × × - - G G + = G = - G - = = - + = G > G + = > - G = = - = G = G G + ò ò ò ¥ - ¥ - - ¥ - - ¥ ¥ - - 取 反复应用 由 证 由
当0<x<1 由0)r(x(1-x)=| e't""sds 3=t+们 +n 令5=+n=→1n 1+1 则2:0→∞,0:0→∞ 又 1(525m)a5 05,m)ts)2高(+m
2 1 s η t η s ξ t ς -1 0 0 ( ) 0 0 1 (1 ) | | | (t,s) ( , ) | | ( , ) (t,s) | ξ : 0 ;η:0 η) 1 η η ξ t η 1 η t ξ t t/η ξ ,η / 1 ( / ) (1): ( ) (1 ) 1 0 1 h x h x x h + = = ¶ ¶ = ¶ ¶ ®¥ ®¥ ï ï î ï ï í ì + × = + = × = + = + = Þ = G G - = < < - ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¥ ¥ - + ¥ - - ¥ - - òò ò ò 又 则 令 由 当 t s t s dsdt t e t s x x e t dt e s ds x t s x t x s x o
由换元公式 r(-n2+51nd dnds (1+n)n mdn ds + n Snx兀
p p h h h x h x h h h h x xh x h h h x x x x e d d e d d x x e d d x x x sin 1 (1 ) 1 | ( , ) (t, s) | 1 ( ) (1 ) : 0 0 1 0 0 0 0 = + = + = ¶ ¶ × + G G - = ò ò ò ò ò ò ¥ ¥ - - ¥ ¥ - ¥ ¥ - 由换元公式
2°当0<Rez<1 f1(z)=I(=)r(1-z)解析 f2(=)= 解析 sin2丌 而在0<x<1: f1(z)=T(x)(1-x) 丌 f2(=)= Sinx丌 f1(z)=f2( 有唯一性定理 r()r(1-2)=x -,0<Rez<1 slnx丌 在(6)中取z=1/2 则r(1/2)r(1/1)=→I(1/1)=√π
p p p p p p p p G × G = Þ G = = G G - = < < \ = = = G G - < < = = G G - < < (1 / 2 ) (1 / 1) (1 / 1) ( 6 ) 1 / 2 ,0 Re 1 sin ( ) (1 ) ( ) ( ) sin ( ) ( ) ( ) (1 ) 0 1 : sin ( ) ( ) ( ) (1 ) 2 . 0 Re 1 : 1 2 2 1 2 1 则 在 中取 有唯一性定理 而在 解析 解析 当 z z x z z f z f z x f z f z x x x z f z f z z z z o
r((+12)el」es (t+s(ts 6)2.t 2dt ds, Re z>0 令t=52,=n2,0<=0<m< dt=2ds, ds=2dn 则rr(+12157)54 同样以和n交换 r(r(2+12)14(2tmy
( ) ( ) 0 0 ( ) 2 1 0 0 ( ) 2 1 (0 ,0 ) 2 2 0 0 ( ) 0 0 1 ( ) ( 1 / 2) 4 ( ) ( ) ( 1 / 2) 4 ( ) 2 , 2 , , ( ) , Re 0 ( ) ( 1 / 2) 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 Ñ D ò ò ò ò ò ò ò ò ¥ ¥ - + - ¥ ¥ - + - G G + = xh h x h x h xh x x h x h x h x h x h x h z z e d d z z e d d dt d ds d t s e ts t dtds z z z e t dt e s ds z z z t s z t z s 同样以 和 交换 则 令
将。[(△)+(V)可得 r(+211(+hn 可令a=2+n2,B=25n 则 0<β<0<0 r((+12)=2c)2=m 00
òò òò ¥ ¥ - + - - ¥ ¥ - + - G G + = × < < < ¥ = + = G G + = × + D + Ñ 0 0 1 2 1 2 2 2 0 0 ( ) 2 1 2 2 2 2 ( ) ( 1/ 2) 2 ( ) 0 , 2 ( ) ( 1/ 2) 2 ( ) ( ) [( ) ( )] 2 1 a b a b a b a b x h b a a x h b xh xh x h x h d d z z z z e z z e d d 则 可令 将 可得
e d db le Je(2)2s ds.erdr r(2z)I(1/2) 2-(2z)√ 于是得证
于是得证 p b b a b b a b a b a = G × = G G = × = - - - - ¥ ¥ - - - ¥ ¥ - - - - ò ò ò ò 2 ( 2 ) 2 ( 2 ) (1 / 2 ) ( ) ( ) ( 2 1 ) ( 2 1 ) 0 0 2 1 2 0 0 2 1 2 2 2 z z e e e z z r z z dr r e d d d
三P函数是半纯函数 1定义:在有限区域中除极点外别无其它奇点的函 数称为半纯函数 2.T函数可延拓到除z=0-12.,n外的全平面 3.T函数是半纯函数 4利用函数关系可进行解析延拓(见下页) 5.函数的性质在全平面除z=0-1,2.外均成立
三. Γ函数是半纯函数 1.定义:在有限区域中除极点外别无其它奇点的函 数称为半纯函数. 2. Γ函数可延拓到除z=0,-1,-2…,n外的全平面. 3. Γ函数是半纯函数 4.利用函数关系可进行解析延拓.(见下页) 5. Γ函数的性质在全平面除z=0,-1,-2…外均成立
