1.2三类数理方程的导出 弦的横振动: 1、物理模型:细长柔软弦,紧绷于A、B 之间,做微小横振动,求运动规律 lC,t) 2、分析: C (1)研究何问题: u(x,t弦位移 取如图所示坐标系 即平衡位置 xx+△x
§1.2 三类数理方程的导出 一、弦的横振动： 1、物理模型：细长柔软弦，紧绷于A、B 之间，做微小横振动，求运动规律 2、分析： T 1 T 2 a 1 a 2 x x + D x (1)研究何问题： 为弦位移， 取如图所示坐标系 即平衡位置 u(x ， t)
2)已知: 线密度p(x,t)=p(t) aCt) 重量不计 C C 张力r(x,1).切线方向 u= 是小量,2=0 dx (3)研究方法: xx+△x 连续介质、微积分思想、任意性
(2)已知： 重量不计 线密度 r ( x, t) = r (t)， 张力T (x, t)为切线方向 , 0 2 = ¶ ¶ x = x u x u u 是小量 T 1 T 2 a 1 a 2 (3)研究方法： x x + D x 连续介质、微积分思想、任意性
3、研究建立方程: (1)任意段△x受力 T x T, sind 单位长度所受外力 yI2 sin a2 (+nx)·Ax(0≤m1≤1)
3、研究建立方程： (1) 任意段Dx受力： î í ì- 2 2 1 1 cos cos a a T T x： ï î ï í ì + D × D £ £ - ) (0 1) sin sin 1 1 2 2 1 1 h h a a xt x T T y （ ： 单位长度所受外力
按照牛顿运动定律: T2 cosa2-T cosa=0, x: T2 sina2-TSina + F(x+yAxt)Ar =n(x+y2△x1)p,Ax2 (3)化简,整理: +△x M, M2- ds=j 1+u.2ax=△x 由胡克定律可得: T(x,D)=(x,p()=p
(2) 按照牛顿运动定律： ï î ï í ì = + D × × D - + + D × D - = u x y x t x T T F x y xt x T T x tt r a a a a ( ) sin sin ( ) cos cos 0 2 1 2 2 1 1 1 2 2 1 1 ： ⑴ ⑵ (3)化简，整理： M M ds u dx x x x x x x x x = = + = D ò ò +D +D 2 1 2 1 = r = r \ T (x ,t) T(x)， (t) 由胡克定律可得：
又Simr=~lgx 1+tg'x1+u +218001 代入T=T,=T 代入 Tlu,(x+Ax, t-u(x, t)]+ F(x+n, Ax, t)Ax =l1(x+12△xD)P△x
x x x u u u tg x tgx x = + = + = 2 2 1 1 又 sin cos 1 1 cos 1 cos 2 1 2 \ x = + ux = 即 x = x = T1 = T2 = T T u x x t u x t F x x t x [ x ( + D 1 ) - x ( ， )]+ ( +h2D 1 )D u x x t x = tt ( +h2D 1 )r ×D 代入 代入
TF △x→0:2u-+2=L,(杆纵振动) p 即Ln=a2ln+f(弦振动方程) T .cms 其中a2=-,量纲: C g/cm 上式若f=0,则为弦的自由振动方程 可见,弦的横振动为一维波动方程,类 似的还有杆纵振动和理想传输线的电报 方程
， ： xx utt （杆纵振动） F u T x x D ® + = rD r r 0 1 即 utt = a 2 uxx + f （弦振动方程） 2 2 2 / / 其中 ，量纲： （ ） s cm g cm T g cm s a = × = r 可见，弦的横振动为一维波动方程，类 似的还有杆纵振动和理想传输线的电报 方程。 上式若 f = 0 ，则为弦的自由振动方程
二、热传导方程: 1、物理模型: 截面积为A的均匀细杆,侧面绝热, 沿杆长方向有温差,求热量的流动。 首先,我们来复习一下关热量的几个 概念: 设:Q-热量,S-面积,V-体积,t-时间, p-密度,7-温度
二、热传导方程： 1、物理模型： 截面积为A的均匀细杆，侧面绝热， 沿杆长方向有温差，求热量的流动。 首先，我们来复习一下关热量的几个 概念： 密度， 温度 设： 热量， 面积， 体积， 时间， - - - - - - T Q S V t r
(1)比热:单位物质,温度升高一度所需热量 (pV)7 (2)热流密度:单位时间流过单位面积的热量 q Kk-导热率 S on (3)热源强度:单位时间,单位体积放出热量 F t
V T Q C (r ) = (1)比热：单位物质，温度升高一度所需热量 (2)热流密度：单位时间流过单位面积的热量 - 导热率 ¶ ¶ = = - k n u K tS Q q 则： (3)热源强度：单位时间，单位体积放出热量 tV Q F =
2、分析: (1)研究的问题: [热量流动,是由温差造成]设u为温度 (2)已知: C、p、k是常数 l=l(x,t是一维问题 (3)方法: 与上面的方法相同
2、分析： (1)研究的问题： [热量流动，是由温差造成]设u为温度 (2)已知： ， 是一维问题 、 、 是常数 u u(x t) C k \ = Q r (3)方法： 与上面的方法相同
3、研究、建立方程: (1)考虑任一Δx段在Δ时间热量情况: 流入x面:Q1=-k A△t ax du 流出x+Ax面:Q2=-k A△t 热源产生:设有热源其密度为f(x,D Q3=F△t(AAx) 升温所需:设杆比热为C,体密度为p Q=C·(p4△x)l(x,t+△)-l(x,t
3、研究、建立方程： (1)考虑任一 Dx段在Dt时间热量情况： A t x u x Q k x × D ¶ ¶ = - | 流入 面： 1 A t x u x x Q k x x × D ¶ ¶ + D = - +D | 流出 面： 2 Q3 = F ×Dt（ADx） 升温所需：设杆比热为C，体密度为r Q = C ×(rADx)u(x,t + Dt) - u(x,t) 热源产生：设有热源其密度为 f(x，t)
