§3.2非齐次方程一纯强迫振动 定解问题 我们来考虑有界弦(或杆)的纯强迫振动 u,=au+f(x, t) 2=0=0 2> t=0 000 3
§3.2 非齐次方程—纯强迫振动 一、定解问题 我们来考虑有界弦（或杆）的纯强迫振动 ï ï ï î ï ï ï í ì = = = = = + = = = = | 0 | 0 | 0 | 0 ( , ) 0 0 0 2 t t t x l x tt xx u u u u u a u f x t
二、求解思路 思路④对于n=an+f(x) t=0 =0 我们可以先由冲量定理求解: 三C ==0 v,le=f(r, t) v(x,t;r)可由达朗贝尔公式求出
二、求解思路 思路① :对于 ï î ï í ì = = = + = = | 0 | 0 ( , ) 0 0 2 t t t tt xx u u u a u f x t 我们可以先由冲量定理求解： ï î ï í ì = = = = = | ( , ) | 0 2 t t t v f x v v a v t t t tt xx v(x,t;t )可由达朗贝尔公式求出
而(x1)=vx,t;r)dr 所以我们可以想到,对于: u=afu+f(r, t) 1=0=0 l1==0 l10=0 4=0=0 也可以先用冲量原理求解
ò = t u x t v x t d 0 而 ( , ) ( , ;t ) t 所以我们可以想到，对于： ï ï ï î ï ï ï í ì = = = = = + = = = = | 0 | 0 | 0 | 0 ( , ) 0 0 0 2 t t t x l x tt xx u u u u u a u f x t 也可以先用冲量原理求解
根据冲量原理,先求解: -a v x=0 000 t=T 0 其中v(x,1;)可由有界弦自由振动公式求出 这时(x,)=[v:r
ï ï ï î ï ï ï í ì = = = = = = = = = | 0 | 0 | 0 | 0 0 2 t t t t t x l x tt xx v v v v v a v 根据冲量原理，先求解： 其中v(x,t;t )可由有界弦自由振动公式求出 ò = t u x t v x t d 0 这时 ( , ) ( , ;t ) t
思路②: 我们考虑二阶非齐次的常微分方程的求解: 对于y(x)+p(x)y+Q(x)y=f(x)(*) 我们可采取常数变易法求解,即: 先求解对应的齐次方程: y(x)+p(xy+o(xy=0
思路②： 我们考虑二阶非齐次的常微分方程的求解： 对于 y ¢¢(x) + p(x) y ¢ + Q(x) y = f (x) (*) 我们可采取常数变易法求解，即： 先求解对应的齐次方程： y ¢¢(x) + p(x) y ¢ + Q(x) y = 0
若它有通解: yo(x)=cy(x)+C2y2(x) 则可令对应的齐次方程(*)有通解: y2(x)=C1(x)y(x)+C2(x)y2(x) 将y2(x)代入()并附加一个条件,即可求出 C(xC2(x从而求出y 则对于定解问题,我们也可先 考虑对应的齐次问题:
若它有通解： ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 y x C y x C y x g = + 则可令对应的齐次方程（*）有通解： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 y x C x y x C x y x g = + s g C x C x y y x 、 从而求出 将 代入 并附加一个条件，即可求出 ( ) ( ) ( ) (*) 1 2 则对于定解问题~，我们也可先 考虑对应的齐次问题：
[这一问题用分离变量法是易于求 =0=0 40=0得X(x)本征值问题 再采用类似于常数变量法类似的方法求对 应的非齐次问题的特解。 求解 u =a 1、对应的齐次条件1=0 =0=0
ï î ï í ì = = = = = | 0 | 0 0 0 2 t t t tt xx u u u a u 再采用类似于常数变量法类似的方法求对 应的非齐次问题的特解。 三、求解： 1、对应的齐次条件 ï î ï í ì = = = = = | 0 | 0 0 0 2 t t t tt xx u u u a u [这一问题用分离变量法是易于求 得 X (x) 本征值问题]
令l(x,t)=X(x)T(t) X uX=0 XX (0)=0 ()=0 解得:=7m=12 X, (x)=cn x
ï î ï í ì = = ¢¢ - = ( ) 0 (0) 0 0 X l X X mX 解得： l n x X x C n l n n n p p m ( ) sin ( ) , 1,2,... 2 = = - = 令 u ( x, t) = X ( x )T (t)
2、求解r()的方程 仿照常数变易法,令: (x,)=∑r(sim no 4 n=1 将之代入式得: 2I (1+(u)'T(Isin"=f(r, t) 由傅里叶级数的系数公式有:
仿照常数变易法，令： å ¥ = = 1 ( ) ( )sin n n l n x u x t T t p ， 将之代入式得： [ ( ) ( ) ( )]sin ( , ) 1 2 f x t l n x T t l an T t n n + n = ² å ¥ = p p 由傅里叶级数的系数公式有： 2、求解T n (t)的方程
)I,(t=fn(t) 5 +2-1 其中:f()=f(a,1)sin"da代入初始条件<3,得: ∑0) SIn =0 ∑7 SIn
( ) ( ) ( ) ( ) 2 T t f t l an T t n + n = n ² p 其中： a pa a d l n f t l f t l n ò = 0 ( , )sin 2 ( ) 再将式代入初始条件，得： ï ï î ï ï í ì = ¢ = å å ¥ = ¥ = 1 1 (0)sin 0 (0)sin 0 n n n n l n x T l n x T p p