§3.3非齐次边界条件的处理 定解条件 L.-a2u=0<1 =0 g() ==h(t 2 l=0=0(x) l=0=v(x)(〈3
§3.3 非齐次边界条件的处理 一、定解条件 ï ï ï î ï ï ï í ì = = = = - = = = = = | ( ) | ( ) | ( ) | ( ) 0 0 0 0 2 u x u x u h t u g t u a u t t t x l x tt xx y j
二、解题思路 若令(x,1)=X(x)7(t) 则!:X(0)7)=8() X()7(t)=h() 可得: ∫X(0)=g()/7( X()=h(t)/7(t) 无法确定其值 所以,我们要使边界齐次化:
二、解题思路 则： î í ì = = ( ) ( ) ( ) (0) ( ) ( ) X l T t h t X T t g t 可得： î í ì = = ( ) ( )/ ( ) (0) ( )/ ( ) X l h t T t X g t T t 无法确定其值 若令 u(x，t) = X (x)T(t) 所以，我们要使边界齐次化：
边界条件的处理 1、边界条件齐次化 首先,我们引入新的未知函数v(x,) 和辅助函数(x,1) u(x, t=v(x, t)+w(x, 只要找到(x,1),使它具有性质: 0=|-0=8(1) whr=wl=h(t) 5〉
u(x,t) = v(x,t) + w(x,t) １、边界条件齐次化 三、边界条件的处理 令 î í ì = = = = = = = = | | ( ) | | ( ) 0 0 w w h t w u g t x l x l x x 首先，我们引入新的未知函数 和辅助函数 v(x,t) w(x,t) 只要找到 w(x,t) ,使它具有性质：
1=0=0 则可使 2、辅助函数w(x,t)的选取: 满足式的即过x-W平面 和两点的曲线,此处我们选择直线。 令:(x,)=A(x+B(t) 则由式<5可得: ∫4(0+B()=8() A(1)+B(10=h(t)
则可使 î í ì = = = = | 0 | 0 0 x l x v v 令：w(x,t) = A(t)x + B(t) 则由式可得： î í ì × + = × + = ( ) ( 0 ( ) ( ) 0 ( ) ( ) A t l B t h t A t B t g t ２、辅助函数 w( x, t) 的选取： x - w ( 0 ， g ( t ) ) 满足式的即过 平面 和两点的曲线，此处我们选择直线。 ( l ， h ( t ) ) x - w
从而求得:「B(O)=8() A(口)=[h(0)-g()/7 W(x,)=[h(1)-g()]x/+g() l==0 8> =0=0(x)-(x,0) ",=v(x)-(x,0)49 而上式正是上节所学的带有齐次边界条件的非齐 方程的定解问题,可用本征函数法求解
从而求得： î í ì = - = A t h t g t l B t g t ( ) [ ( ) ( )]/ ( ) ( ) 则定解问题-可化为； \ w(x,t) = [h(t) - g(t)]x / l + g(t) ï ï ï î ï ï ï í ì = - = - = = - = - - = = = = | ( ) ( ,0) | ( ) ( ,0) | 0 | 0 ( ) 0 0 0 2 2 v x w x v x w x v v v a v w a w t t t t x l x tt xx tt xx y j 而上式正是上节所学的带有齐次边界条件的非齐次 方程的定解问题，可用本征函数法求解
四、例题 1、研究一端固定,一端作周期运动 sin ot 的弦运动。 解:其定解问题为: u=au=0,0<x< u(0, t)=0, u(l, t)=sin at (x,1)=,(x,0)=0,0≤x≤1
四、例题 解：其定解问题为： ï î ï í ì = = £ £ = = - = < < u x t u u x x l u t u l t t u a u x l t tt xx ( , ) , ( ,0) 0 , 0 (0, ) 0 , ( , ) sin 0 , 0 2 w 1、研究一端固定，一端作周期运动 的弦运动。 sinwt
:(x01x+(x0 由式-<9》变为: vut vrr=oxsin at /l v(0,)=v(l,t)=0 x0)=0,(x0)=-x0/ 又令 x1)=y(x,1)+y(x,1)
令：u(x,t) = v(x,t) + w(x,t) 由式我们选择： t l x x l t w x t w w 0 sin sin ( , ) = + = 则-变为： ï î ï í ì = = - = = - = v x v x x l v t v l t v a v x t l t tt xx ( ,0) 0 , ( ,0) / (0, ) ( , ) 0 sin / 2 2 w w w v(x,t) v (x,t) v (x,t) I II = + 又令：
其中:v2n-ayx=0 v(0,t)=y(l,t)=0 (x,0)=0,y2(x,0)=-x/l I,_av opsin ot /l v"(0,1)=y(21)=0 v(x:0)=y1(x0)=0 解之得: V(x,1=Eery"tot sin"z a(n丌 SIn
其中： ï î ï í ì = = - = = - = v x v x x l v t v l t v a v t I I I I xx I tt I ( ,0) 0 , ( ,0) / (0, ) ( , ) 0 0 2 w ï î ï í ì = = = = - = ( ,0) ( ,0) 0 (0, ) ( , ) 0 sin / 2 2 v x v x v t v l t v a v x t l t II II II II xx II tt II w w 解之得： l n x at l n a n l v x t n I n p p p w sin sin ( ) 2 ( , ) ( 1) 1 2 × = å - ¥ =
v(x,t)= m n+l @t sin at +sin @. ∑(-1 a(nm)20+0, sina t - ot nu sin 0-0 其中: 故可求得此问题的解u(x,t)。 五、小结 1、以上介绍的方法也适用于带有其他非齐 次边界条件的定解问题
l t t n x t t a n t v x t n n n n I n n p w w w w w w w w p w ]sin sin sin sin sin [ ( ) ( , ) ( 1) 1 2 2 1 - - - + + = å - ¥ = + 其中： l n a n p w = 故可求得此问题的解u(x,t)。 五、小结 １、以上介绍的方法也适用于带有其他非齐 次边界条件的定解问题
其基本做法是: (1)作变换令(x,)=v(x,1)+(x,1) (2)适当选取v(x,1)使关于v(x,t)的边界条件 (有时甚至连方程均齐次化)通常选W(x,1)为x的一次 式,即w(x,t)=A(t)x+B(1)但当两端边界条件都是第二 类时,需选为x的二次式: (x,)=A()x2+B(t)x 否则系数无法确定 (3)解关于v(x,t)的定解问题,从而最后求得: (x,2)=v(x,)+(x,)
其基本做法是： (1) 作变换令 u(x,t) = v(x,t) + w(x,t) (2) 适当选取w(x,t) 使关于v(x,t) 的边界条件 （有时甚至连方程均齐次化）通常选 为 的一次 式，即 但当两端边界条件都是第二 类时，需选 为 的二次式： w(x,t) w(x,t) = A(t)x + B(t) x w x w(x,t) A(t)x B(t)x 2 = + 否则系数无法确定。 u(x,t) = v(x,t) + w(x,t) (3) 解关于v(x,t) 的定解问题，从而最后求得：