§3.2幂级数 定义:∑a(=-b)=a0+a(=-=b)+a2(=-b) a3(z-b)+…为以b为中心的幂函数 和b是常数 收敛性有类似实幂级数的able定理 1Abe定理:若∑aA(-b)在==收敛 则它在-b<=0-b内绝对收敛 b<=0 在=b≤p(p<|0-b)上 b≤p 致收敛
§3.2幂级数 ( ) ( ) ( ) 2 0 1 2 0 : a z b a a z b a z b k k å k - = + - + - ¥ = 定义 ... ( ) ... 为以 b为中心的幂函数 3 + + a3 z - b + a k (k = 0,1,2,...)和 b是常数 一、收敛性:有类似实幂级数的able定理 定理 若 ( ) 在 0收敛 0 1 .Able : a z b z z k k å k - = ¥ = 则它在 z - b < z 0 - b 内绝对收敛 在 z - b £ r (r < z 0 - b )上一致收敛
2推论 若∑a(=-b)在2==发散 k=0 则它在-bR它发散 当z-b=R它不定 R称为∑aA(=-b)的收敛半径 k=0
2.推论 若 ( ) 在 1发散 0 a z b z z k k å k - = ¥ = 则它在 z - b R它发散 当 z - b = R它不定 称为 å ( ) 的收敛半径 ¥ = - k 0 k R a k z b
收敛和发散区域不可能相间 2收敛半径公式 R=lin k+1 由达氏判别法,对于∑f <1绝对收敛 当lmn|k+=1 k→∞ 1发散 对于∑a(=-b) k=0
收敛和发散区域不可能相间 2.收敛半径公式 1 lim + ® ¥ = k k k a a R å ¥ k = 0 k 由达氏判别法，对于 f î í ì > < = + ® ¥ 发散 绝对收敛 当 1 1 lim 1 l f f k k k ( ) : 0 å ¥ = \ - k k 对于 a k z b
<1绝对收敛 当li (-b) k+1 k→0a 1发散 < lim 绝对收敛 → 故当(2-b k 发散 故R=2=lim k+1
( ) ( ) ( ) î í ì > < - + ® ¥ + ® ¥ 发散 绝对收敛 故当 1 1 lim lim k k k k k k a a a a z b 1 lim 1 + ® ¥ = = k k k a a l 故 R
例:求∑=的收敛半径并证∑:=1 k=0 k=0 显然R=1im k→\ak+1 1故当<1时∑=—致收敛 k=0 等比NS01-4 a1-ang a-q q n当2<1 又∑:=m∑ m n→ k=0 注意:以上求半径公式对于幂级数缺项的 情况不能简单套用
z z z k k k k - å å = ¥ = ¥ = 1 1 , 0 0 例：求 的收敛半径 并证 显然 故当 时 å 一致收敛 ¥ + = ® ¥ = = < 1 0 lim 1 1 k k k k k z z a a R ( ) q a q q a a q a n n n k k - - = - - å = = 1 1 1 1 1 0 Q 等比数列 z z z z z n z n n k k n n k k - = - - = = < ® ¥ = ® ¥ = å å 1 1 1 1 lim lim 1 0 0 当 又 注意 :以上求半径公式对于幂级数缺项的 情况不能简单套用
例:求∑ 1的收敛半径 n=0 由达氏判别法 2(n+1 2(n+1 m lim n+2 n→0 2n n→00 2n 111(22发散
例：求 å 的收敛半径 ¥ = 0 2 2 2 1 n n n z 由达氏判别法 ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 lim 2 1 2 1 lim z z z n n n n n n n n = × + ® ¥ + + ® ¥ î í ì > < 发散 绝对收敛 所以 2 2 2 2 2 z
2绝对收敛 2发散 故R=2 n 若简单的用R=lim lim 4就会错 n→0 +1 2(n+1 原因在于比值中出现的不再是|zb|一次方而是 二次方。 P612(1) k"a Im R →(k+1)a1 1+
î í ì > < 发散 绝对收敛 2 2 z 故R=2 ( ) 若简单的用 4就会错 2 1 2 1 lim lim 2 1 2 1 = = = + ® ¥ + ® ¥ n n n n n n a a R 原因在于比值中出现的不再是│z-b│一次方而是 二次方。 P61.2(1): ( ) R a a k k a k a k k n k k n k n k × = ÷ ø ö ç è æ + = + + ® ¥ + ® ¥ 1 1 1 1 1 lim 1 lim
三、性质 总的来说:幂级数具有绝对收敛和一致收 敛级数具有的一切性质,如 1和函数∑a(=-b)在-b<R内解析 k=0 且(=∑1(=-by=∑k1(-b) k=0 f((=)=∑a1k(=-b)2R=R数=R 2可逐项相乘
三、性质 总的来说：幂级数具有绝对收敛和一致收 敛级数具有的一切性质，如： 和函数 a (z b ) 在 z b R内解析 k k å k - - < ¥ = 0 1 . ( ) å ( ) å ( ) ò ò ¥ = + ¥ = - + = - = 0 1 0 k 1 k k k l k k z b k a 且 f z dz a z b dz ( )( ) å ( ) ¥ = - = - 0 1 k k k k f z a k z b R积 = R微 = R 2.可逐项相乘
既然幂级数在收敛园内其和函数是一解析函 数,我们自然想知道任意的解析函数f(z是否 定可展开为幂级数?下—节 Taylor)展开定理将回答 我们的问题
既然幂级数在收敛园内其和函数是一解析函 数，我们自然想知道任意的解析函数 是否一 定可展开为幂级数?下一节Taylor展开定理将回答 我们的问题。 f (z)