《实变函数》课程教学资源（教案讲义）第五章积分理论（5.4）微分与不定积分

本节先介绍单调函数、有界变差函数的定义、相互联系、基本性质:然后引入了绝对连续概念,讨论了绝对连续函数与单调函数、有界变差函数的关系最后研究了牛顿莱布尼兹公式成立的充要条件是f(x)绝对连续。

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§54微分与不定积分本节先介绍单调函数、有界变差函数的定义、相互联系、基本性质:然后引入了绝对连续概念,讨论了绝对连续函数与单调函数、有界变差函数的关系最后研究了牛顿莱布尼兹公式成立的充要条件是f(x)绝对连续。 §5.41单调函数与有界变差函数定理5.4.1.1设F(x)是[a,b]上定义的单调函数,则 (1)f在[a,b]上间断点至多可数,从而F在[a,b]上(R)可积, 2)F在[a,b]上几乎处处可微 3)fF在b上)可积,并有[fx-F≤F() F(a)(对x∈[ab]) 证明(1)不妨假定f(x)在[a,b]上单调增,由数学分析知:f(x)只有第类间断点。令S(x)=f(x*)-f(x)并称之为f在x处的跃度,则对任意>0, 满足En={x|S(x)≥}为有限集。(事实上,E≤n[F(b)-F(a)]),从而间断点全体E=∪En至多可数,由(R)可积的充分必要条件知f在a,b]上(可 (2)关于F(x)几乎处处可微的证明,涉及维他利覆盖和导出数概念,已超出本教材范围,故此处省去其严格的证明过程,但附录予本教材末供读者自学。 (3)为了叙述方便,我们补充规定:当x为b时,F(x)≡b。此时,F(x)在 [a,+∞)几乎处处可微,所以对于任意极限为0的数列{hn},有分[F(t+hn)-F(t) F(t)a.e于[a,b]

§5.4 微分与不定积分本节先介绍单调函数、有界变差函数的定义、相互联系、基本性质；然后引入了绝对连续概念，讨论了绝对连续函数与单调函数、有界变差函数的关系；最后研究了牛顿莱布尼兹公式成立的充要条件是 f(x)绝对连续。 §5.4.1 单调函数与有界变差函数定理 5.4.１.1 设 F(x)是[a,b]上定义的单调函数，则 (1) f 在[a,b]上间断点至多可数，从而 F 在[a,b]上(R)可积， (2) F 在[a,b]上几乎处处可微. (3) f=F'在[a,b]上(L)可积，并有∫[ ] a,x fdx= ∫[ ] a,x F'dt≤F(x)－ F(a) (对∀x ∈[ ] a,b ) 证明 (1)不妨假定 f(x)在[a,b]上单调增，由数学分析知：f(x)只有第一类间断点。令 S(x)＝f(x + )－f(x − )并称之为f在x 处的跃度，则对任意 n 1 ＞0，满足 E n ＝{x|S(x)≥ n 1 }为有限集。（事实上， En ≤n[F(b)－F(a)]），从而间断点全体 E＝U ∞ n=1 E n 至多可数，由(R)可积的充分必要条件知 f 在[a,b]上(R)可积。 (2)关于 F(x)几乎处处可微的证明，涉及维他利覆盖和导出数概念，已超出本教材范围，故此处省去其严格的证明过程，但附录予本教材末供读者自学。 (3)为了叙述方便，我们补充规定：当 x>b 时，F(x)≡b。此时，F(x)在 [a，+∞)几乎处处可微，所以对于任意极限为 0 的数列{h n }，有 hn 1 [F(t+h n )－F(t)]─→F'(t) a.e 于[a,b]

则LF(t)≤mLF(tn)-F(1(atou引理) = [F(t+h)-F(t)]dt(海涅极限定理) F(tdt F(t)dt](R积分的变量替换) x I F(t)dt+[, F(t)dt-[, F(t)dt h→0 F(t)dt F(t)] h-o hJx, x+h ≤lim1[F(x+h)×h-F(a)×h(由F(x)的单调性及R积分的性质得,这里h>O) h→0 =F(x)一F(a),证毕。定义5.4.1.1f在[a,b]上有定义,对任意分划T:a=x0<x1<x2 ≤,…,x=b,称(,T)=∑|f(x)-f(x)为f关于分划T的变差,称 (f)=TV(f,T)为f在[a,b]上的全变差,若V(f)<+∞,则称f是[a,b] 上的有界变差函数。显然,有界变差函数是有界函数。事实上,f(x)-f(a)≤(f),对任意 x∈[a,b]有f(x)|≤(f)+|f(a)|=M<+∞ 根据全变差定义求全变差较麻烦,对于单调函数而言确相当简单例5.4.1.1[a,b]上定义的任一单调函数f(x)都是有界变差函数,且 (f)=|f(b)-f(a)

则∫[ ] a,x F'(t)dt≤n→∞ lim hn 1 ∫[ ] a,x [F(t+h n )－F(t)]dt (Fatou 引理) ＝ 0 lim h→ h 1 ∫[ ] a,x [F(t+h)－F(t)]dt (海涅极限定理) ＝ 0 lim h→ h 1 [ ∫[ ] a+h,x+h F(t)dt－∫[ ] a,x F(t)dt] (R 积分的变量替换) ＝ 0 lim h→ h 1 [ ∫[ ] a+h,x F(t)dt+ ∫[ ] x,x+h F(t)dt－∫[ ] a,x F(t)dt] ＝ 0 lim h→ h 1 [ ∫[ ] x,x+h F(t)dt－∫[ ] a,a+h F(t)dt] ≤ 0 lim h→ h 1 [F(x+h)×h－F(a)×h] (由 F(x)的单调性及 R 积分的性质得,这里 h>0) ＝F(x)－F(a) ，证毕。定义 5.4.１.1 f 在[a,b]上有定义，对任意分划 T:a＝x 0＜x1＜x 2 ＜,...,x n ＝b，称 b a V (f,T)＝∑= n i 1 |f(x i )－f(x i−1 )|为 f 关于分划 T 的变差，称 b a V (f)＝ T sup b a V (f,T)为 f 在[a,b]上的全变差，若 b a V (f)＜＋∞，则称 f 是[a,b] 上的有界变差函数。显然，有界变差函数是有界函数。事实上，|f(x)－f(a)|≤ b a V (f)，对任意 x∈[a,b]有 |f(x)|≤ b a V (f)＋|f(a)|＝M＜＋∞ 根据全变差定义求全变差较麻烦，对于单调函数而言确相当简单。例 5.4.１.1 [a,b]上定义的任一单调函数 f(x)都是有界变差函数，且 b a V (f)＝｜f(b) －f(a)|

证明不妨假定f单调增,因为对任意的分划T:a=x00,存在分划T:a=x0v(f)-e 故丿(f)+V(f)≥V(f) 反过来,对任意ε>0,存在分划T:a=x0<x1<x2<,,xm=c T2:C=x0<xl<x2<,,x"2=b满足 i(f,T)=∑|f(x)-f(x)|≥p()-5 r(f,T2)=∑|f(y)-f(y=)|≥(f)

证明不妨假定 f 单调增，因为对任意的分划 T:a＝x 0＜x1＜x 2 ＜,...,x n ＝b 有 b a V (f,T)＝∑= n i 1 |f(x i )－f(x i−1 )|＝f(b)－f(a)，故 b a V (f)＝f(b)－f(a)＜＋∞，即 f(x)是有界变差函数。证毕。既然对于单调函数而言求全变差是如此简单，那么是否对于较复杂的函数可以分成若干个单调区间各个击破呢？答案是肯定的，有下述定理作为保证。定理 5.4.1.２若 f 是[a,b]上的有界变差函数，则对任意 c∈(a,b)有 b a V (f)＝ c a V (f)＋ b c V (f) 证明对任意 ε＞0，存在分划 T:a＝x 0＜x1＜x 2 ＜,...,x n ＝b 满足 b a V (f,T)＝∑= n i 1 |f(x i )－f(x i−1 )|≥ b a V (f)-ε，如果此分划中没有分点 c 就添上它，因始终假定有分点 c，从而存在 n1，n 2 满足 T1 :a＝x 0＜x1＜x 2 ＜,...,x 1 n ＝c，T 2 :c＝x 0＜x1＜x 2 ＜,...,x 2 n ＝b b a V (f,T)＝ c a V (f,T1 )＋ b c V (f,T 2 )≥ b a V (f)-ε，故 c a V (f)＋ b c V (f)≥ b a V (f) (1) 反过来，对任意 ε＞0，存在分划 T1 :a＝x 0＜x1＜x 2 ＜,...,x 1 n ＝c， T 2 :c＝x 0＜x1＜x 2 ＜,...,x 2 n ＝b 满足 c a V (f,T1 )＝∑= 1 1 n i |f(x i )－f(x i−1 )|≥ c a V (f)- 2 ε b c V (f,T 2 )＝∑= 2 1 n i |f(y i )－f(y i−1 )|≥ b c V (f)- 2 ε

取T与T2的“合并” T: a 则P(f,T)=i(f,r)+P(,T2)≥(f)+P(f)-g,故 (f)≥V(f)+V(f 综合(1)、(2)即得V(f)=V(f)+(f)。证毕例5.4.1.2f(x) xsin-,x∈ 不是[0,1]上的有界变差函数,但 0.x=0. g(x)={xsnx∈( 是[0,1]上的有界变差函数。 0.x=0. 事实上,f(x)、g(x)的局部极大值、极小值点交替为—1 2 2x+-3 丌+ ()≥r()=|sinl-xz|+∑|-1-+ +∞,故 f(x)=/、x20不是[0,1上的有界变差函数。 0,x=0

取 T1与 T 2 的“合并” T:a＝x 0＜x1＜x 2 ＜,...,x 1 n ＝c=y 0＜y1＜y 2 ＜,...,y 2 n ＝b，则 b a V (f,T)＝ c a V (f,T1 )＋ b c V (f,T 2 )≥ c a V (f)＋ b c V (f)-ε,故 b a V (f)≥ c a V (f)＋ b c V (f) (2) 综合(1)、(2)即得 b a V (f)＝ c a V (f)＋ b c V (f)。证毕例 5.4.1.２ f(x)＝ ( ]      = ∈ 0, 0. , 0,1 , 1 sin x x x x 不是[0,1]上的有界变差函数，但 g(x)＝ ( ]      = ∈ 0, 0. , 0,1 , 1 sin 2 x x x x 是[0,1]上的有界变差函数。事实上，f(x)、g(x)的局部极大值、极小值点交替为 2 1 π π + ， 2 2 1 π π + , 2 3 1 π π + ，...， 2 1 π nπ + ，...，... 1 0 V (f)≥ 1 2 1 π nπ + V (f) ＝|sin1－ 2 π |＋∑= n i 1 | 2 1 π iπ + ＋ ( ) 2 1 1 π i − π + | n → ∞→＋∞，故 f(x)＝ ( ]      = ∈ 0, 0. , 0,1 , 1 sin x x x x 不是[0,1]上的有界变差函数

1 0 V (g)＝|sin1－( 2 π ) 2 |＋∑ ∞ i=1 | 2 2 1             + π iπ － ( ) 2 2 1 1             − + π i π |＜＋∞, 故 g(x)＝ ( ]      = ∈ 0, 0. , 0,1 , 1 sin 2 x x x x 是[0,1]上的有界变差函数。证毕。注：将 g(x)中 x 2 处换为 x α (α＞1)同样可证是[0,1]上的有界变差函数。定理 5.4.1.３设 f(x)，g(x)是[a,b]上的有界变差函数，则 f(x)±g(x)、 f(x)g(x)是[a,b]上的有界变差函数；如果存在 δ＞0 满足|g(x)|≥δ， ( ) g( ) x f x 也是[a,b]上的有界变差函数。证明对任意的分划划 T:a＝x 0＜x1＜x 2 ＜,...,x n ＝b,x n ＝b 有 b a V [(f±g),T]＝∑= n i 1 |[f(x i )±g(x i )]－[f(x i−1 )±g(x i−1 )]| ≤∑= n i 1 |[f(x i )－[f(x i−1 )|＋∑= n i 1 |g(x i )－g(x i−1 )| ≤ b a V (f,T)＋ b a V(g,T)≤ b a V (f)＋ b a V (g)，故 b a V [(f±g),T]≤ b a V (f,T)＋ b a V (g,T) ＜＋∞ 即 f(x)±g(x)是[a,b]上的有界变差函数。 b a V [(fg),T]＝∑= n i 1 |[f(x i )g(x i )]－[f(x i−1 )g(x i−1 )]| ≤∑= n i 1 |[f(x i )－f(x i−1 )]g(x i )|＋∑= n i 1 |[g(x i )－g(x i−1 )]f(x i−1 )|

≤MP(,T)+Mx(g,T)≤MP()+MB(g) 故T(fg)≤M′V(f)+M(g)0满足|g(x)|≥8,V( g kSk)8cM,甲(2)≤g<+,即1也是 g(x,)g(x g g(x nb上的有界变差函数,从而(也是a,b上的有界变差函数。证毕。 g(x 定理5.4.1.4f(x)是[a,b]上的有界变差函数的充分必要条件是f可以表成两个单调函数之差。证明“=〉”事实上,f(x)=V(f)-[V(f)-f(x)],其中V(f)显然是单调增函数,g(x)=[I(f)-f(x)]也可以证明是单调增函数。事实上,当x<x2 时,g(x2)-g(x)=|1(r)-f(x2)|-|7(f)-f(x)|=P(f)-[f(x2) f(x1)]≥0,故g(x)是单调增函数 “<=”设f(x)=f1(x)-f2(x),其中f1(x)与f2(x)都是单调增函数。从而f1(x)与f2(x)都是有界变差函数,故f(x)是有界变差函数。证毕 §5.4.2绝对连续函数

≤M f b a V (f,T)＋M g b a V (g,T)≤M f b a V (f)＋M g b a V (g)，故 b a V (fg)≤M f b a V (f)＋M g b a V (g)＜＋∞,其中 M f ，M g 分别为函数 f,g 在[a,b]上的界，即 f(x)g(x)是[a,b]上的有界变差函数。如果存在 δ＞0 满足|g(x)|≥δ， b a V ( g 1 )＝ ( ) ( ) ∑= − − n i i i 1 g x g x 1 1 1 ≤ ( ) ( ) ∑= − − n i i i g x g x 1 2 1 δ ，即 b a V ( g 1 )≤ ( ) 2 δ V g b a ＜＋∞，即 g( ) x 1 也是 [a,b]上的有界变差函数，从而 ( ) g( ) x f x 也是[a,b]上的有界变差函数。证毕。定理 5.4.1.４ f(x)是[a,b]上的有界变差函数的充分必要条件是 f 可以表成两个单调函数之差。证明 “＝>”事实上，f(x)＝ x a V (f)－[ x a V (f)－f(x)]，其中 x a V (f)显然是单调增函数，g(x)＝[ x a V (f)－f(x)]也可以证明是单调增函数。事实上，当 x1＜x 2 时,g(x 2 )－g(x1 )＝│ 2 x a V (f)－f(x 2 )│－│ 1x a V (f)－f(x1 )│＝ 2 1 x x V (f)－[f(x 2 ) － f(x1 )]≥0，故 g(x)是单调增函数。 “<＝” 设 f(x)＝f1 (x)－f 2 (x)，其中 f1 (x)与 f 2 (x)都是单调增函数。从而 f1 (x)与 f 2 (x)都是有界变差函数，故 f(x)是有界变差函数。证毕。 §5.4.２绝对连续函数

定义5.4.2.1f在[a,b]上有定义,对任意ε>0,彐6>0,对任意有限数 ,当互不相交区间(a,B)满足:>|B-a|0,38>0,对n=1,当|B-a|0,38>0,取a=x00,彐8>0,对任意有限数n,当互不相交区间(a,B)满足:∑|B-a|<8时, r(B)(a)|<5,∑|g(B)g(a)|<

[f(B)±g(B)]-[f(aa)±g(a)]|0满足|g(x)|≥8”?) 定理5.4.2.3设f(x)是定义在[a,b]上的 Lipschtz函数,则f是绝对连续函数证明因为f(x)是定义在[a,b]上的 Lipschtz函数,所以,存在M>0,对任意x,x∈[a,b]有f(x)-f(x2)|≤M|x-x2|,故对任意ε>0,38= M,对任意有限数n,当互不相交区间(a,B4)满足 ∑|B-a410,3δ>0,当Ac[a,b],mA< 6时∫,fdt≤J,ft<e,于是对任意有限数n,当互不相交区间(a,B) 满足:令A={」[ ∑|F(B)F(a)|=∑ dt≤.|fldt<

∑= n i 1 |[f(βi )±g(βi )]－[f(αi−1 )±g(αi−1 )]|＜ε，故 f(x)±g(x)是[a,b] 上的绝对连续函数。其余证明留给读者。 (思考为什么此处未明文要求“存在 δ＞0 满足|g(x)|≥δ”？) 定理 5.4.２.３设 f(x)是定义在[a,b]上的 Lipschtz 函数，则 f 是绝对连续函数。证明因为 f(x)是定义在[a,b]上的 Lipschtz 函数，所以，存在 M＞0，对任意 x1，x 2 ∈[a,b]有|f(x1 )－f(x 2 )|≤M|x1－x 2 |，故对任意 ε＞0,ョ δ＝ M ε ，对任意有限数 n，当互不相交区间(αi ,βi )满足： ∑= n i 1 |βi -αi |＜δ 时，∑= n i 1 |f(βi )-f(αi )|＜M M ε × ＝ε 即 f 是绝对连续函数。定理 5.4.２.４设 f(x)是定义在[a,b]上 Lebesgue 可积函数，则 f(x)的不定积分 F(x)＝∫[ ] a,x fdt 是绝对连续函数。证明由积分绝对连续性知:对任意 ε＞0,ョ δ＞0，当 A⊂ [a,b]，mA＜ δ 时| ∫A fdt|≤∫A |f|dt＜ε，于是对任意有限数 n，当互不相交区间(αi ,βi ) 满足：令 A＝U n i=1 [αi ,βi ]，则 mA＝∑= n i 1 |βi -αi |＜δ 时，有 ∑= n i 1 |F(βi )-F(αi )|＝∑= n i 1 | ∫[ ] α i β i , fdt| ≤∑= n i 1 ∫[ ] α i β i , |f|dt≤∫A |f|dt＜ε

故F(x) fdt是绝对连续函数。证毕。 §5.4.3微分与积分引理5.4.3.1若f(x)是定义在[a,b]上 Lebesgue可积函数,且 F(x)=[,fdt=0,则f(x)=0a.e于[a,b]。证明1)对任意开区间(a,B)c[a,b]有 fdt= fdt 2)对任意开集6=U(a,B)cab有ft=∑ fdt=0。 3)对任意闭集Fc[ab],则G=anb]-F开,故ft=[ft-ft 0 4)若f(x)=0a.e于[a,b]不真,不妨假定m[f>0]>0,则存在n满足 mEf>11=6>0,由可测集的性质知:存在闭集 FOCElf>1]满足m0>6/2, 故[。fd≥-mF0>0,矛盾定理54.3.1若f(x)是定义在[a,b]上的 Lebesgue可积函数,且 F(x) fdt,则F'(x)=f(x)a.e于[a,b]。证明(分三步证明之) (1)设f是有界函数,即|(x)|≤K,x∈[a,b],令F(x)=htdt

故 F(x)＝∫[ ] a,x fdt 是绝对连续函数。证毕。 §5.4.３微分与积分引理 5.4.３.１若 f(x)是定义在[a,b]上 Lebesgue 可积函数，且 F(x)＝∫[ ] a,x fdt＝0，则 f(x)＝0 a.e 于[a,b]。证明 1)对任意开区间(α，β)⊂ [a,b]有 ∫( ) α ,β fdt＝∫[a,β ) fdt－∫[ ] a,α fdt ＝0。 2) 对任意开集 G＝U i (αi ，βi )⊂ [a,b]有∫G fdt＝∑ i ∫( ) α i β i , fdt＝0。 3) 对任意闭集 F⊂ [a,b]，则 G＝[a,b]－F 开，故∫F fdt＝∫[ ] a,b fdt－∫G fdt ＝0。 4) 若 f(x)＝0 a.e 于[a,b]不真，不妨假定 mE[f＞0]＞0，则存在 n 满足 mE[f＞ n 1 ]＝δ＞0，由可测集的性质知：存在闭集 F 0 ⊂ E[f＞ n 1 ]满足 mF 0＞δ/2，故∫ 0 F fd t ≥ n 1 mF 0＞0，矛盾。定理 5.4.３.１若 f(x)是定义在[a,b]上的 Lebesgue 可积函数，且 F(x)＝∫[ ] a,x fdt，则 F'(x)＝f(x) a.e 于[a,b]。证明 (分三步证明之) (1) 设 f 是有界函数，即|f(x)|≤K，x∈[a,b]，令 F(x)＝∫[ ] a,x fdt

若h≠0,则有[F(x+)-F(x)]|=1.ft≤,因为G(x)绝对连续, 几乎处处可微,所以对于任意极限为0的数列伍hn},有 [F(x+h)-F(x)]一→F’(x)a.e于[a,b], F(tft= lim [F(t+h)-F(t)jdt(有界控制收敛定理) hAj [F(t+h-F(t]dt (海涅极限定理 F(tdt F(t)dt](R积分的变量替换) h→0 lath,r+h F(tdt F(tdt h→0 a,a+h lim{F[x+1(h)h×h-F[a+02(h)h×h}(0<1(h)<1,0<02(h)<1) h→0 =F(x)一F(a)=F(x)(因为F连续,且F(a)=0) 即[,(F-f)dt=0,由引理5.43.1知F=fa.e于[0,1 (2)设f是非负可积函数,则存在有界非负简单函数列满足 fn(t)≤fn(t)≤f(t),f,(t)→f(t)(n→+∞),于是 Ln1,t,则F,(x)=fn()a.e于a,b. F(x=L1f,t+Lr(t)-n(t)lt,其中[r(-f,()]t 关于x单调增,几乎处处存在非负导数,所以F(x)≥f,(x),令n→+∞得

若 h≠0，则有 h 1 [F(x+h)－F(x)]│＝│ h 1 ∫[ ] x,x+h fdt│≤K，因为 G(x)绝对连续，几乎处处可微，所以对于任意极限为 0 的数列{h n }，有 hn 1 [F(x+h n )－F(x)]─→F'(x) a.e 于[a,b]，则 ∫[ ] a,x F'(t)fdt＝n→∞ lim hn 1 ∫[ ] a,x [F(t+h n )－F(t)]dt (有界控制收敛定理) ＝ 0 lim h→ h 1 ∫[ ] a,x [F(t+h)－F(t)]dt (海涅极限定理) ＝ 0 lim h→ h 1 [ ∫[ ] a+h,x+h F(t)dt－∫[ ] a,x F(t)dt] ( R 积分的变量替换) ＝ 0 lim h→ h 1 [ ∫[ ] x,x+h F(t)dt－∫[ ] a,a+h F(t)dt] ＝ 0 lim h→ h 1 {F[x+θ1 (h)h]×h－F[a+θ2 (h)h]× h} (0<θ1 (h)<1,0<θ2 (h)<1) ＝F(x)－F(a) ＝F(x) (因为 F 连续，且 F（a）＝0) 即∫[ ] a,x (F’-f)dt＝０,由引理 5.4.3.1 知 F’=f a.e 于[0，1] (2) 设 f 是非负可积函数，则存在有界非负简单函数列满足 f n (t)≤f n+1 (t)≤f(t)，f n (t)→f(t) (n→＋∞)，于是 F n (x)＝∫[ ] a,x f n dt，则 F' n (x)＝f n (x) a.e 于[a,b]。 F(x)＝∫[ ] a,x f n dt＋∫[ ] a,x [f(t)－f n (t)]dt ，其中∫[ ] a,x [f(t)－f n (t) ]dt 关于 x 单调增，几乎处处存在非负导数，所以 F'(x)≥f n (x)，令 n→＋∞得

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