§5.3 Fub in i定理 我们定义 Lebesgue积分的初衷之一是求函数下方图形G(/,E)(以非负函数 为例)的测度,然而到目前为止,我们只定义了可测函数的积分,是否有下方图 形G,B是可测集,因本身不是可测函数的f而未定义积分值呢?下述截面定理 将让我们打消此顾虑。为此,我们先引入截面概念。 定义5.3.1设E是R中一点集,x0∈RP,yo∈R,则将{y|y∈R", (x°,y)∈E}sR",{x|x∈R",(x,y0)∈E}sR",分别称为E关于x0的截 面和E关于y的截面。并分别用E,E记之。 容易验证:截面具有下列简单性质: (1)如果AsA2,则(A)xS(A2)x (2)如果A∩A2=中,则(A)x∩(A2)x=中 (3)(UA)x=U(A)x,则(∩A)x=∩(A)x (4)(A1-A2)=(A1)一(A2) 定理5.3.1(截面定理)设E是R中一可测点集,则 (1)对于RP中几乎所有点x,E,是R中可测集 (2)mE,作为x的函数,是在R上几乎处处有定义的可测函数 me dx 证明(-)当E为有界可测集时
§５.3 Fubini 定理 我们定义 Lebesgue积分的初衷之一是求函数下方图形 G ( f , E) (以非负函数 为例)的测度，然而到目前为止，我们只定义了可测函数的积分，是否有下方图 形 G ( f ,E) 是可测集，因本身不是可测函数的 f 而未定义积分值呢？下述截面定理 将让我们打消此顾虑。为此，我们先引入截面概念。 定义５.3.１ 设 E 是 R p+q 中一点集，x 0∈R p ，y 0∈R q ， 则将｛y｜y∈R q ， (x 0 ,y)∈E｝⊆ R q ，｛x｜x∈R p ，(x,y 0 )∈E｝⊆ R p ，分别称为 E 关于 x 0的截 面和 E 关于 y 0的截面。并分别用 E 0 x ，E 0 y 记之。 容易验证：截面具有下列简单性质： (1) 如果 A1 ⊆ A 2 ，则(A1 ) x ⊆ (A 2 ) x (2) 如果 A1∩A 2 ＝φ，则(A1 ) x ∩(A 2 ) x ＝φ (3) (∪A i ) x ＝∪(A i ) x ，则(∩A i ) x ＝∩(A i ) x (4) (A1－A 2 ) x ＝(A1 ) x －(A 2 ) x 定理５.3.１(截面定理)设E是R p+q 中一可测点集，则 (1) 对于 R p 中几乎所有点 x，E x 是 R q 中可测集； (2) mE x 作为 x 的函数，是在 R p 上几乎处处有定义的可测函数； (3) mE＝∫ n R mE x dx 证明 (一)当 E 为有界可测集时
(1)E为R中左开右闭(开、闭)区间的情形:设E=△1×△2,其中△1, △2分别为R",R”中相应的左开右闭(开、闭)区间,则 E A2x∈△ ,xg△1 ,故E,是R"中可测集:亚,0.xgA1 故m,是R"上定义的简单函数:且m=1△1|×|△2|=m,dx (2)设E为开集的情形:设E=∪I,其中I是R中互不相交的左开右 闭区间,则E,=∪(1)x,由(1)知(1)x是R中可测集,所以E也可测。 又因(I),互不相交,所以m,=∑m(I)x。由(1)知各m(I),是R上的可 测函数,所以m,也是R"上的可测函数,且m=∑m=2』。m(1),x m(ii).dx= (3)E为G集的情形:设E=∩G,其中G是R”中的开集,且可要求 G13G23,…,3Gn3,…(若不然,令0=∩G即可),则E=∩(G)x, 由(2)知(G)是R中可测集,所以E,也可测。又因为mG1)<+∞,且 (G1),(G2) 由内极限定理知mE= limm(gm),。由 (2)知各m(G")是R"上的可测函数,所以皿E也是R上的可测函数。且 (由内极限定理)
(1) E 为 R p+q 中左开右闭(开、闭)区间的情形：设 E＝△1×△2 ，其中△1， △2 分别为 R p ，R q 中相应的左开右闭(开、闭)区间，则 E x ＝ Φ ∉ ∆ ∆ ∈ ∆ 1 2 1 , , x x ，故 E x 是 R q 中可测集；mE x ＝ ∉ ∆ ∆ ∈ ∆ 1 2 1 0, , x x 故 mE x 是 R p 上定义的简单函数；且 mE＝|△1 |×|△2 |＝∫ n R mE x dx。 (2) 设 E 为开集的情形：设 E＝U ∞ i=1 I i ，其中 I i 是 R p+q 中互不相交的左开右 闭区间，则 E x ＝U ∞ i=1 (I i ) x ，由(1)知(I i ) x 是 R q 中可测集，所以 E x 也可测。 又因(I i ) x 互不相交，所以 mE x ＝∑ ∞ i=1 m(I i ) x 。由(1)知各 m(I i ) x 是 R p 上的可 测函数，所以 mE x 也是 R p 上的可测函数，且 mE＝∑ ∞ i=1 mI i ＝∑ ∞ i=1 ∫ n R m(I i ) x dx ＝∫ n R ∑ ∞ i=1 m(I i ) x dx＝∫ n R mE x dx。 (3) E 为 Gδ 集的情形：设 E＝I ∞ i=1 G i ，其中 G i 是 R p+q 中的开集，且可要求 G1 ⊃ G 2 ⊃ ,..., ⊃ G n ⊃ ,... (若不然，令 O n ＝I n i=1 G i 即可),则 E x ＝I ∞ i=1 (G i ) x ， 由(2)知(G i ) x 是 R q 中可测集，所以 E x 也可测。又因为 m(G1 ) x ＜＋∞，且 (G1 ) x ⊃ (G 2 ) x ⊃ ,..., ⊃ (G n ) x ⊃ ,...由内极限定理知 mE x ＝n→∞ lim m(G n ) x 。由 (2)知各 m(G n ) x 是 R p 上的可测函数，所以 mE x 也是 R p 上的可测函数。且 mE＝n→∞ lim mG n (由内极限定理)
=imm(G),dx(由(2) =1m(G"),dx(由控制收敛定理 m:dx。(由内极限定理) (4)E为零测度情形:设E是R中零测度集,彐G6型集GE满足mE=mG 0,由(3)知0 mG,dx,据积分唯一性定理得mG,=0a.e于R",又 G=E,从而更有mEn=0a.e于R",所以m在R"上可测,且mE=[mEdx。 (5)E为一般有界可测集的情形:设E=G一N,其中G为G。型集,N为零测 度集(可测集的构造定理)。由于E2=Gx-N2。所以由(4)得m:=mGx-mN mG。a.e于R°,从而m,在R”上可测,且m=mG=「mG,dx (二)当E为无界可测集时 设E=∪E,其中mE<+∞,且E彼此互不相交,则E2=UE 由(一)知(E)是R中可测集,所以E,也可测。又因E)互不相交,所以m =∑m(E),。由(-)知各m(E)是R"上的可测函数,所以m,也是R上的 可测函数,且=∑m=∑「。m(E),d=。∑mE)2=「 证毕. 推论5.3.1设f是定义在E上的非负函数,且下方图形G(f,E)是可测集, 则f在E上可测。 证明显然m(G(,E),=f(x),由定理5.3.12)知结论成立。证毕
＝n→∞ lim ∫ n R m(G n ) x dx (由(2)) ＝∫ n R n→∞ lim m(G n ) x dx (由控制收敛定理) ＝∫ n R mE x dx。 (由内极限定理) (4) E 为零测度情形：设E是R p+q 中零测度集，ョ Gδ 型集 G ⊃ E 满足 mE＝mG ＝0，由(3)知 0＝mG＝∫ n R mG x dx，据积分唯一性定理得 mG x ＝0 a.e 于 R p ，又 G x ⊃ E x 从而更有 mE x ＝0 a.e 于 R p ，所以 mE x 在 R p 上可测，且 mE＝∫ n R mE x dx。 (5) E 为一般有界可测集的情形：设 E＝G－N，其中G为G δ 型集，N 为零测 度集(可测集的构造定理)。由于 E x ＝G x －N x 。所以由(4)得 mE x ＝mG x －mN x ＝ mG x a.e 于 R p ，从而 mE x 在 R p 上可测，且 mE＝mG＝ ∫ n R mG x dx＝∫ n R mE x dx (二) 当 E 为无界可测集时 设 E＝U ∞ i=1 E i ，其中 mE i ＜＋∞，且 E i 彼此互不相交，则 E x ＝U ∞ i=1 (E i ) x ， 由(一)知(E i ) x 是 R q 中可测集，所以 E x 也可测。又因(E i ) x 互不相交，所以 mE x ＝∑ ∞ i=1 m(E i ) x 。由(一)知各 m(E i ) x 是 R p 上的可测函数，所以 mE x 也是 R p 上的 可测函数，且 mE＝∑ ∞ i=1 mE i ＝∑ ∞ i=1 ∫ n R m(E i ) x dx＝ ∫ n R ∑ ∞ i=1 m(E i ) x ＝ ∫ n R mE x dx。 证毕. 推论５.3.１ 设 f 是定义在 E 上的非负函数，且下方图形 G ( ) f , E 是可测集， 则f在E 上可测。 证明 显然 m(G ( ) f , E ) x ＝f(x)，由定理５.3.１ 2)知结论成立。证毕
对(R)积分而言重积分可以化为累次积分来计算,对()重积分可以化为累次 积分来计算吗? Fubini不仅对此作出了肯定的回答,而且还去掉了许多繁琐的 条件限制。 定理5.3.2( Fubini)(1)设f(P)=f(x,y)为A×BcRq(其中A∈RP, BcR且均为可测集)上的非负可测函数,则对几乎所有的x∈A,f(x,y)作为y 的函数在B上可测,J。f(x,y)dy作为x的函数在A上可测,且Jf(p)dp= dx f(x, y)dy (2)设f(P)=f(x,y)为AXB<R(其中AcR",BcR"且均为可测集)上 的可积函数,则对几乎所有的x∈A,f(x,y)作为y的函数在B上可积, f(x,y)dy作为x的函数在A上可积,且Jf(p)dp=J,dxJf(,y) 证明(1)由第四章定理知:G(f,AxB)是RP中的可测集,则几乎对所 有的x,(G(,AxB)为可测集,函数m(G(,AxB)是a.e于A×B有定 义的非负可测函数,又由积分值定义得 mG(,A×B)=∫f(d (积分定义) 「nm0G(,4×B)2dx(由定理5.4.1知 ∫()peB0≤:<(xy x∈A 由于R(G(,AxB)x=d,xA, ,所以对于 x∈A,这截面实际上是将x固定后,f(x,y)看成是y的函数时在B上的下方图 形,即f(x,y)=m(am)xy,于是这截面可测,且由前述定理5.4.1有:m (G,AxB):=。f(x,ydy,故 f(p)d dx。f(x,y) (2)设f(p)在A×B上可积,则f(p)、f(p)均在A×B上可积,且
对(R)积分而言重积分可以化为累次积分来计算，对(L)重积分可以化为累次 积分来计算吗？Fubini 不仅对此作出了肯定的回答，而且还去掉了许多繁琐的 条件限制。 定理５.3.２ (Fubini) (1)设 f(P)＝f(x,y)为 A×B⊂ R p+q (其中 A⊂ R p ， B⊂ R q 且均为可测集)上的非负可测函数，则对几乎所有的 x∈A，f(x,y)作为 y 的函数在 B 上可测，∫B f(x,y)dy 作为 x 的函数在 A 上可测，且∫A×B f(p)dp＝ ∫A dx ∫B f(x,y)dy (2) 设 f(P)＝f(x,y)为 A×B⊂ R p+q (其中 A⊂ R p ，B⊂ R q 且均为可测集)上 的可积函数，则对几乎所有的 x∈A，f(x,y)作为 y 的函数在 B 上可积， ∫B f(x,y)dy 作为 x 的函数在 A 上可积，且∫A×B f(p)dp＝∫A dx ∫B f(x,y)dy 证明 (1) 由第四章定理知：G ( f , A× B) 是 R p+q+1 中的可测集，则几乎对所 有的 x，（G ( ) f , A× B ） x 为可测集，函数 m（G ( f , A× B)） x 是 a.e 于 A×B 有定 义的非负可测函数， 又由积分值定义得 mG ( ) f , A× B ＝∫A×B f(p)dp (积分定义) ＝∫ p R mG ( ) f , A× B x dx (由定理５.４.１知) 由于 R q+1 ⊃ （G ( ) f , A× B ） x ＝ {( ) ( )} Φ ∉ ∈ ≤ < ∈ , , , ,0 , , x A y z y B z f x y x A ,所以对于 x∈A，这截面实际上是将 x 固定后，f(x,y)看成是 y 的函数时在 B 上的下方图 形,即 f(x,y) ＝m (f,B) ( , ) (G ) x y = ，于是这截面可测，且由前述定理５.４.１有：m （G ( ) f , A× B ） x ＝ ∫B f(x,y)dy，故 ∫A×B f(p)d p ＝∫A dx ∫B f(x,y)dy。 (2) 设 f(p)在 A×B 上可积，则 f + (p)、f − (p)均在 A×B 上可积，且
「。f()d=∫。fp)dp-Jfm)中(积分定义) =J,dr(xy)-「,dnf(x,ydy(由(1)得) 「,dxf(x,ydy-r(xyy(积分的线性) dx f(x, y)dy (积分定义),证毕 注531同理∫。f()d=。dJ,f(x,y成立,当然定理叙述及 证明过程中某些字母要作相应的对调,此处不赘述 注5.3.2从 Fubini定理可以看出,只要重积分有限,则两个累次积分应 相等,这是否定可积性的一个重要方法 例5.3.1设f(x,y)=rx-y2 定义在E=(0,1)×(0,1),则 y dx f(x, y)dy dx dy 11-2dx=r .,9=0+y 故f(x,y)在E上不可积
∫A×B f(p)dp＝∫A×B f + (p)dp－∫A×B f − (p)dp (积分定义) ＝∫A dx ∫B f + (x,y)dy－ ∫A dx ∫B f − (x,y)dy (由(1)得) ＝∫A dx[ ∫B f + (x,y)dy－ ∫B f − (x,y)dy] (积分的线性) ＝∫A dx ∫B f(x,y)dy。 (积分定义),证毕. 注５.3.１ 同理∫A×B f(p)dp＝∫B dy ∫A f(x,y)dx 成立，当然定理叙述及 证明过程中某些字母要作相应的对调，此处不赘述。 注５.3.２ 从 Fubini 定理可以看出，只要重积分有限， 则两个累次积分应 相等，这是否定可积性的一个重要方法。 例５.3.１ 设 f(x,y)＝ [ ]2 2 2 2 2 x y x y + − 定义在 E＝(0,1)×(0,1)，则 ∫A dx ∫B f(x,y)dy＝∫[ ] 0,1 dx ∫[ ] 0,1 [ ]2 2 2 2 2 x y x y + − dy ＝∫[ ] 0,1 2 1 1 + x dx＝ 4 π ∫B dy ∫A f(x,y)dx＝∫[ ] 0,1 dy ∫[ ] 0,1 [ ]2 2 2 2 2 x y x y + − dx ＝∫[ ] 0,1 2 1 1 + y − dy＝- 4 π 故 f(x,y)在 E 上不可积