实验数据处理方法 第三部分:统计学方法 第十二章最大似然法 (Maximum Likelihood method)
实验数据处理方法 第三部分：统计学方法 第十二章 最大似然法 (Maximum Likelihood method)
第十二章最大似然法 (Maximum Likelihood Method) 点估计的方法之一,是参数估计中常用的方法,具有以下的特点: 1.在一定的条件下,ML估计式满足一致性、无偏性、有效 性等要求; 2.当样本容量n→∞时,ML估计式满足正态分布→方差容易 计算 3.用MI方法可较容易地得到参数的估计式; 本章内容: 1.最大似然原理; 2.用ML方法求解参数估计问题的步骤; 3.ML估计式的特性; 4.如何计算ML估计值的方差; 5.利用似然函数进行区间估计
第十二章 最大似然法 (Maximum Likelihood Method) 点估计的方法之一，是参数估计中常用的方法，具有以下的特点： 1. 在一定的条件下，ML估计式满足一致性、无偏性、有效 性等要求； 2. 当样本容量n→时，ML估计式满足正态分布➔方差容易 计算； 3. 用ML方法可较容易地得到参数的估计式； 本章内容： 1. 最大似然原理； 2. 用ML方法求解参数估计问题的步骤； 3. ML估计式的特性； 4. 如何计算ML估计值的方差； 5. 利用似然函数进行区间估计
第十二章最大似然法 (Maximum Likelyhood Method 121最大似然原理
第十二章 最大似然法 (Maximum Likelyhood Method) 12.1 最大似然原理
12,1最大似然原理 (-)似然函数的定义 p.d.f: f(x0) 测量量:x={x1,x2,…,xn} L(x10)=I(x, 10) L(x Odx=l (〓)最大似然原理 未知参数0的最佳估计值应满足如下的条件 i.O位于θ的允许取值范围; i.对于给定的一组测量值,C使L取极大值 L(x|6)≥L(x|6)
12.1 最大似然原理 (一) 似然函数的定义 p.d.f：f(x|) 测量量：x = {x1, x2, …, xn } ( | ) 1 ( | ) ( | ) 1 = = = L x d x L x f x n i i (二) 最大似然原理 未知参数的最佳估计值 ˆ 应满足如下的条件： ) ( | ) ˆ L(x | L x i. 位于的允许取值范围； ii. 对于给定的一组测量值， 使L取极大值： ˆ ˆ
121最大似然原理 (三)估计值求法 似然方程:=0ix,)=0 极大值条件:m00 因为lnI是L的单调上升函数,InL和L具有相同的极大值点, 所以,L→nL,求和运算比乘积运算容易处理 似然方程:a0=0 In f(, 0)=0 极大值条件:。<0 如果有k个位置参数,旦={01,02,…,1 少k阶似然方程 o4=0∑h(x,=0=12…,k 估计值:a=(0,02…0
12.1 最大似然原理 (三)估计值 的求法 似然方程： ( , ) 0 ( | ) 1 = = = n i i f x L x 极大值条件： 0 ( | ) ˆ 2 2 = L x 因为lnL是L的单调上升函数，lnL和L具有相同的极大值点， 所以，L→lnL， 求和运算比乘积运算容易处理 似然方程： 极大值条件： 0 ln ( | ) ˆ 2 2 = L x ln ( , ) 0 ln ( | ) 1 = = = n i i f x L x 如果有k个位置参数， = {1 , 2 , …, k } ➔k阶似然方程 f x j k L x n i i j j ln ( , ) 0 1,2, , ln ( | ) 1 = = = = 估计值： } ˆ , , ˆ , ˆ { ˆ = 1 2 k ˆ
121最大似然原理 极大值条件:二次矩阵U(O是负定的( Negative definite OIn(x 0600
12.1 最大似然原理 极大值条件：二次矩阵 ) 是负定的(Negative definite) ˆ U( ˆ 2 | ln ( | ) ) ˆ ( = = i j i j L x U
第十二章最大似然法 (Maximum Likelyhood Method 122用ML方法进行参数估计的步骤
第十二章 最大似然法 (Maximum Likelyhood Method) 12.2 用ML方法进行参数估计的步骤
122用ML方法进行参数估计的步骤 1)构造概率密度函数 2)构造似然函数 3)求似然函数的极大值
12.2 用ML方法进行参数估计的步骤 1) 构造概率密度函数； 2) 构造似然函数； 3) 求似然函数的极大值
122用ML方法进行参数估计的步骤 (一)构造概率密度函数 物理系统的特性:某些量的理论概率分布函数 实验的条件:分辨率、探测效率 →ML方法中所需的pdf 例:不变质量谱分析:eeJ∧y→yk+K 通过测量K+K的动量,可得到KK的不变质量 分布,对该分布进行统计分析,可得到衰变过程 中产生的共振态的信息; ·描述不变质量m的分布的pdf应包含对该分布有 贡献的物理过程
12.2 用ML方法进行参数估计的步骤 （一）构造概率密度函数 物理系统的特性：某些量的理论概率分布函数 实验的条件：分辨率、探测效率 ➔ML方法中所需的p.d.f 例：不变质量谱分析：e +e -→J/→K+K- • 通过测量K+K-的动量，可得到K+K-的不变质量 分布，对该分布进行统计分析，可得到衰变过程 中产生的共振态的信息； • 描述不变质量m的分布的p.d.f应包含对该分布有 贡献的物理过程
122用ML方法进行参数估计的步骤 信号事例: →>yx KIK 在不变质量为m处出现共振态X的弹性散射振幅可用 breit- wigner公式描述 Bw m-mo+ir/2 r:Ⅹ的宽度,m:X的静质量,m:K+K-的不变质量 (1)如果r较小 Bw (m-m0)2+r2/4 实验结果包含质量分辨率σ和探测效率的影响,I~σ,故 必须对理论公式进行修正 B2→」BHm(m)Rm)omr
12.2 用ML方法进行参数估计的步骤 1. 信号事例： + − → K K J X 在不变质量为m0处出现共振态X的弹性散射振幅可用BreitWigner公式描述： − 0 + 2 = m m i BW ：X的宽度，m0：X的静质量，m：K+K-的不变质量 （1）如果较小 ( ) 4 2 2 0 2 − + = m m BW 实验结果包含质量分辨率和探测效率的影响， ~ ，故 必须对理论公式进行修正 BW → BW (m)R(m,m )dm 2 2
