文登学校 2005年数学一试题分析、详解和评注 、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上) (1)曲线y2x+1 的斜渐近线方程为y=x 【分析】本题属基本题型,直接用斜渐近线方程公式进行计算即可 【详解】因为a=lmnf(x)=imn b= lim [(x)-ax]=lim o (2x+1) 于是所求斜渐近线方程为y=x 【评注】如何求垂直渐近线、水平渐近线和斜渐近线,是基本要求,应熟练掌握。这 里应注意两点:1)当存在水平渐近线时,不需要再求斜渐近线;2)若当x→>∞时,极限 a=lmn(x)不存在,则应进一步讨论x→+或x→一的情形,即在右或左侧是否存 在斜渐近线 完全类似例题见《数学复习指南》(理工类)P192【例732】 (2)微分方程xy'+2y=xhx满足y(1)=-的解为y=xhx9 【分析】直接套用一阶线性微分方程y+P(x)y=Q(x)的通解公式: 再由初始条件确定任意常数即可 【详解】原方程等价为 ln 于是通解为y=“hx2+C]=订x2hxd+ 由y(1)=一得C=0,故所求解为y=xhx1 【评注】本题虽属基本题型,但在用相关公式时应注意先化为标准型.另外,本题也 可如下求解:原方程可化为 x2y+2xy=x2hx,即[x2y=x2hx,两边积分得
文登学校 1 2005 年数学一试题分析、详解和评注 一、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 把答案填在题中横线上） （1）曲线 2 1 2 + = x x y 的斜渐近线方程为 . 4 1 2 1 y = x − 【分析】 本题属基本题型，直接用斜渐近线方程公式进行计算即可. 【详解】 因为 a= 2 1 2 lim ( ) lim 2 2 = + = → → x x x x f x x x ， 4 1 2(2 1) lim ( ) lim = − + − = − = → → x x b f x ax x x ， 于是所求斜渐近线方程为 . 4 1 2 1 y = x − 【评注】 如何求垂直渐近线、水平渐近线和斜渐近线，是基本要求，应熟练掌握。这 里应注意两点：1）当存在水平渐近线时，不需要再求斜渐近线；2）若当 x → 时，极限 x f x a x ( ) lim → = 不存在，则应进一步讨论 x → + 或 x →− 的情形，即在右或左侧是否存 在斜渐近线。 完全类似例题见《数学复习指南》（理工类）P.192【例 7.32】 （2） 微分方程 xy + 2y = x ln x 满足 9 1 y(1) = − 的解为 . 9 1 ln 3 1 y = x x − x . 【分析】直接套用一阶线性微分方程 y + P(x) y = Q(x) 的通解公式： + = − [ ( ) ] ( ) ( ) y e Q x e dx C P x dx P x dx ， 再由初始条件确定任意常数即可. 【详解】 原方程等价为 y x x y ln 2 + = ， 于是通解为 + = + = − [ ln ] 1 [ ln ] 2 2 2 2 x xdx C x y e x e dx C dx x dx x = 2 1 9 1 ln 3 1 x x x − x + C ， 由 9 1 y(1) = − 得 C=0，故所求解为 . 9 1 ln 3 1 y = x x − x 【评注】 本题虽属基本题型，但在用相关公式时应注意先化为标准型. 另外，本题也 可如下求解：原方程可化为 x y 2xy x ln x 2 2 + = ，即 [x y] x ln x 2 2 = ，两边积分得
文登学校 In xdx o 1 再代入初始条件即可得所求,\1x1 完全类似公式见《数学复习指南》(理工类)P154 (3)设函数l(x,y,z)=1+ 单位向量n=一(111,则 【分析】函数uxy2沿单位向量n={cosa,cosB,cosy}的方向导数为: coS a+coS B+cosy on 因此,本题直接用上述公式即可 【详解】因为如=x,a=y,a_三 3a6’a=9,是所求方向导数为 o 23)3√33333√33 【评注】本题若n={m,n,l}非单位向量,则应先将其单位化,从而得方向余弦为: cosa= cos B +n2+l m2+n2+ m+n 完全类似例题见《数学复习指南》(理工类)P330【例1230】 (4)设2是由锥面z=√x2+y2与半球面z=√R2-x2-y2围成的空间区域,∑是 g2的整个边界的外侧,则xdhz+yta+dtcd=2m(1-)R 【分析】本题∑是封闭曲面且取外侧,自然想到用高斯公式转化为三重积分,再用球 面(或柱面)坐标进行计算即可 【详解】』「xdd+yd+h=dh =adel sin odo de=27(-)R
文登学校 2 x y = x xdx = x x − x + C 2 2 3 3 9 1 ln 3 1 ln ， 再代入初始条件即可得所求解为 . 9 1 ln 3 1 y = x x − x 完全类似公式见《数学复习指南》（理工类）P.154 （ 3 ） 设函数 6 12 18 ( , , ) 1 2 2 2 x y z u x y z = + + + ， 单 位 向 量 {1,1,1} 3 1 n = ， 则 n (1,2,3) u = 3 3 . 【分析】 函数 u(x,y,z)沿单位向量 n = {cos,cos ,cos }的方向导数为： cos cos cos z u y u x u n u + + = 因此，本题直接用上述公式即可. 【详解】 因为 3 x x u = ， 6 y y u = ， 9 z z u = ，于是所求方向导数为 n (1,2,3) u = . 3 3 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 + + = 【评注】 本题若 n ={m,n,l} 非单位向量，则应先将其单位化，从而得方向余弦为： cos , 2 2 2 m n l m + + = cos , 2 2 2 m n l n + + = 2 2 2 cos m n l l + + = . 完全类似例题见《数学复习指南》（理工类）P.330【例 12.30】 （4）设 是由锥面 2 2 z = x + y 与半球面 2 2 2 z = R − x − y 围成的空间区域， 是 的整个边界的外侧，则 xdydz + ydzdx + zdxdy = 3 ) 2 2 2 (1− R . 【分析】本题 是封闭曲面且取外侧，自然想到用高斯公式转化为三重积分，再用球 面（或柱面）坐标进行计算即可. 【详解】 xdydz + ydzdx + zdxdy = 3dxdydz = ) . 2 2 3 sin 2 (1 3 2 0 0 4 0 2 d d d R R = −
文登学校 【评注】本题属基本题型,不论是用球面坐标还是用柱面坐标进行计算,均应特别注 意计算的准确性,主要考查基本的计算能力 完全类似例题见《数学复习指南》(理工类)P325【例1222】 (5)设a1,a2a3均为3维列向量,记矩阵 A=(a12a2a3),B=(a1+a2+a3,a1+2a2+4a3,a1+3a2+9a3), 如果A=1,那么B=_2 【分析】将B写成用A右乘另一矩阵的形式,再用方阵相乘的行列式性质进行计算即 可 【详解】由题设,有 B=(a1+a2+a3,a1+2a2+4a3,a1+3a2+9a3) (a1,az2,a3) 于是有B=4123=1×2=2 【评注】本题相当于矩阵B的列向量组可由矩阵A的列向量组线性表示,关键是将其 转化为用矩阵乘积形式表示。一般地,若 B1=a1a1+a12a2+…+a1nn B2=a2a1+a2C2+…+a2na B 则有 RB2…B]=[a…a1:a3 完全类似例题见《数学复习指南》(理工类)P356【例15】 (6)从数1,2,3,4中任取一个数,记为X,再从1,2,…,X中任取一个数,记为Y,则 P{Y=2}=13
文登学校 3 【评注】 本题属基本题型，不论是用球面坐标还是用柱面坐标进行计算，均应特别注 意计算的准确性，主要考查基本的计算能力. 完全类似例题见《数学复习指南》（理工类）P.325【例 12.22】 （5）设 1 2 3 , , 均为 3 维列向量，记矩阵 ( , , ) A = 1 2 3 ， ( , 2 4 , 3 9 ) B = 1 + 2 + 3 1 + 2 + 3 1 + 2 + 3 ， 如果 A = 1 ，那么 B = 2 . 【分析】 将 B 写成用 A 右乘另一矩阵的形式，再用方阵相乘的行列式性质进行计算即 可. 【详解】 由题设，有 ( , 2 4 , 3 9 ) B = 1 + 2 + 3 1 + 2 + 3 1 + 2 + 3 = 1 4 9 1 2 3 1 1 1 ( , , ) 1 2 3 ， 于是有 1 2 2. 1 4 9 1 2 3 1 1 1 B = A = = 【评注】 本题相当于矩阵 B 的列向量组可由矩阵 A 的列向量组线性表示，关键是将其 转化为用矩阵乘积形式表示。一般地，若 1 = a111 + a12 2 ++ a1n n ， 2 = a211 + a22 2 ++ a2n n ， m = am11 + am2 2 ++ amn n ， 则有 , , , . 1 2 12 22 2 11 21 1 1 2 1 2 = n n mn m m m n a a a a a a a a a 完全类似例题见《数学复习指南》（理工类）P.356【例 1.5】 （6）从数 1,2,3,4 中任取一个数，记为 X, 再从 1,2, , X 中任取一个数，记为 Y, 则 P{Y = 2} = 48 13
文登学校 【分析】本题涉及到两次随机试验,想到用全概率公式,且第一次试验的各种两两互 不相容的结果即为完备事件组或样本空间的划分 【详解】P{=2}=P{X=P{Y=2X=1}+P{X=2P(Y=2X=2 +P{X=3P{Y=2X=3+P{X=4P{Y=2X=4} ×(0+++元)= 234 【评注】全概率公式综合考查了加法公式、乘法公式和条件概率,这类题型一直都是 考查的重点 完全类似例题见《数学复习指南》(理工类)P492【例1.32】 二、选择题(本题共8小题,每小题4分,满分32分.每小题给出的四个选项中,只有 项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (7)设函数f(x)=lm《1+”,则f(x)在(-m+∞)内 (A)处处可导 (B)恰有一个不可导点 (C)恰有两个不可导点 (D)至少有三个不可导点 c 【分析】先求出f(x)的表达式,再讨论其可导情形 【详解】当1时,f(x)=lmx(B+1)=x 即f(x)={1,-1≤x≤1,可见fx)在x=±1时不可导,故应选C) x>1 【评注】本题综合考查了数列极限和导数概念两个知识点 完全类似例题见《数学复习指南》(理工类)P56【例2.20】 么入8)设Fx)是连续函数1x的一个原函数,"M台N表示“M的充分必要条件是N, (A)F(x)是偶函数fx)是奇函数 (B)F(x)是奇函数分→x)是偶函数 (C)F(x)是周期函数→f(x)是周期函数 (D)F(x)是单调函数→f(x)是单调函数 【分析】本题可直接推证,但最简便的方法还是通过反例用排除法找到答案 详解】方法一:任一原函数可表示为F(x)=D(M+C,且F(x)=f(x) 当F(x)为偶函数时,有F(-x)=F(x),于是F(-x)(-1)=F'(x),即-f(-x)=f(x)
文登学校 4 【分析】 本题涉及到两次随机试验，想到用全概率公式, 且第一次试验的各种两两互 不相容的结果即为完备事件组或样本空间的划分. 【详解】 P{Y = 2}= P{X =1}P{Y = 2 X =1} + P{X = 2}P{Y = 2 X = 2} + P{X = 3}P{Y = 2 X = 3} + P{X = 4}P{Y = 2 X = 4} = . 48 13 ) 4 1 3 1 2 1 (0 4 1 + + + = 【评注】 全概率公式综合考查了加法公式、乘法公式和条件概率，这类题型一直都是 考查的重点. 完全类似例题见《数学复习指南》（理工类）P.492【例 1.32】 二、选择题（本题共 8 小题，每小题 4 分，满分 32 分. 每小题给出的四个选项中，只有一 项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内） （7）设函数 n n n f x x 3 ( ) = lim 1+ → ，则 f(x)在 (−,+) 内 (A) 处处可导. (B) 恰有一个不可导点. (C) 恰有两个不可导点. (D) 至少有三个不可导点. [ C ] 【分析】 先求出 f(x)的表达式，再讨论其可导情形. 【详解】 当 x 1 时， ( ) lim 1 1 3 = + = → n n n f x x ； 当 x =1 时， ( ) = lim 1+1 =1 → n n f x ； 当 x 1 时， 1) . 1 ( ) lim ( 3 1 3 3 x x f x x n n n = + = → 即 1. 1 1, 1, , 1, , ( ) 3 3 − − − = x x x x x f x 可见 f(x)仅在 x= 1 时不可导，故应选(C). 【评注】 本题综合考查了数列极限和导数概念两个知识点. 完全类似例题见《数学复习指南》（理工类）P.56【例 2.20】 （8）设 F(x)是连续函数 f(x)的一个原函数， "M N" 表示“M 的充分必要条件是 N”， 则必有 (A) F(x)是偶函数 f(x)是奇函数. （B） F(x)是奇函数 f(x)是偶函数. (C) F(x)是周期函数 f(x)是周期函数. (D) F(x)是单调函数 f(x)是单调函数. [ A ] 【分析】 本题可直接推证，但最简便的方法还是通过反例用排除法找到答案. 【详解】 方法一：任一原函数可表示为 = + x F x f t dt C 0 ( ) ( ) ，且 F(x) = f (x). 当 F(x)为偶函数时，有 F(−x) = F(x) ，于是 F(−x)(−1) = F(x) ，即 − f (−x) = f (x)
文登学校 也即f(-x)=-f(x),可见fx为奇函数:反过来,若f(x为奇函数,则[f(1)dt为偶函 数,从而F(x)=f()dm+C为偶函数,可见(A)为正确选项 方法二:令f(x)=1,则取F(x)=x+1,排除(B)、(C),令f(x)=x,则取F(x)=x2,排除(D) 故应选(A) 【评注】函数f(x)与其原函数F(x)的奇偶性、周期性和单调性已多次考查过.请读者思 考fx)与其原函数F(x)的有界性之间有何关系? 完全类似例题见《数学复习指南》(理工类)P10【例1.5-17】 (9)设函数(x,y)=0(x+y)+0x-y)+u()m,其中函数q具有二阶导数 y具有一阶导数,则必有 (A) au au a2(B)a_02u ax2 au a andy ax 【分析】先分别求出9a2ua2u,再比较答案即可 andy 【详解】因为x='(x+y)+p(x-y)+v(x+y)-y(x-y) ovsp'(x+y)-o'(x-y)+u(x+y)+u(x-y 于是 =φ"(x+y)+q(x-y)+v'(x+y)-v(x-y), a-u ardy(x+)-(x-y)+y'(x+y)+y'(x-y) a2=o"(x+y)+q"(x-y)+y(x+y)-v'(x-y) 可见有 ,应选(B 【评注】本题综合考查了复合函数求偏导和隐函数求偏导以及高阶偏导的计算。作为 做题技巧,也可取()=t2,y(m)=1,则l(x,y)=2x2+2y2+2y,容易验算只有
文登学校 5 也即 f (−x) = − f (x) ，可见 f(x)为奇函数；反过来，若 f(x)为奇函数，则 x f t dt 0 ( ) 为偶函 数，从而 = + x F x f t dt C 0 ( ) ( ) 为偶函数，可见(A)为正确选项. 方法二：令 f(x)=1, 则取 F(x)=x+1, 排除(B)、(C); 令 f(x)=x, 则取 F(x)= 2 2 1 x , 排除(D); 故应选(A). 【评注】 函数 f(x)与其原函数 F(x)的奇偶性、周期性和单调性已多次考查过. 请读者思 考 f(x)与其原函数 F(x)的有界性之间有何关系？ 完全类似例题见《数学复习指南》（理工类）P.10【例 1.5~1.7】 （9）设函数 + − = + + − + x y x y u(x, y) (x y) (x y) (t)dt , 其中函数 具有二阶导数， 具有一阶导数，则必有 (A) 2 2 2 2 y u x u = − . （B） 2 2 2 2 y u x u = . (C) 2 2 2 y u x y u = . (D) 2 2 2 x u x y u = . [ B ] 【分析】 先分别求出 2 2 x u 、 2 2 y u 、 x y u 2 ，再比较答案即可. 【详解】 因为 (x y) (x y) (x y) (x y) x u = + + − + + − − ， (x y) (x y) (x y) (x y) y u = + − − + + + − ， 于是 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 x y x y x y x y x u = + + − + + − − ， ( ) ( ) ( ) ( ) 2 x y x y x y x y x y u = + − − + + + − ， ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 x y x y x y x y y u = + + − + + − − ， 可见有 2 2 2 2 y u x u = ，应选(B). 【评注】 本题综合考查了复合函数求偏导和隐函数求偏导以及高阶偏导的计算。作为 做题技巧，也可取 ( ) , ( ) 1 2 t = t t = ，则 u(x, y) 2x 2y 2y 2 2 = + + ，容易验算只有
文登学校 q3=4成立,同样可找到正确选项(B) lL 完全类似例题见《数学复习指南》(理工类)P.267【例10.16】及习题十(第1l题) (10)设有三元方程xy-hy+e=1,根据隐函数存在定理,存在点(Q1,1)的一个 邻域,在此邻域内该方程 (A)只能确定一个具有连续偏导数的隐函数z=z(xy) (B)可确定两个具有连续偏导数的隐函数x=x(y,z)和z=(x (C)可确定两个具有连续偏导数的隐函数y=y(x,2)和z=2(xy) (D)可确定两个具有连续偏导数的隐函数x=x(y,2)和y=y(x,z 【分析】本题考查隐函数存在定理,只需令F(xyz)=xy-zhy+e-1,分别求出 三个偏导数F,Fx,F,,再考虑在点(011)处哪个偏导数不为0,则可确定相应的隐函数 【详解】令F(xy,z)=xy-hy+e-1,则 Fr In y+ 且F'(O,1,1)=2,Fy(0,11)=-1,F2(011)=0.由此可确定相应的隐函数x=x(yz)和 y=y(x,z).故应选(D) 【评注】隐函数存在定理是首次直接考查,有部分考生感到较生疏.实际上本题也可从 隐函数求偏导公式着手分析:若偏导表达式有意义,相应偏导数也就存在 定理公式见《数学复习指南》(理工类)P270 (11)设入,2是矩阵A的两个不同的特征值,对应的特征向量分别为a1,a2,则a1, A(a1+a2)线性无关的充分必要条件是 (A)A1≠0.(B)A2≠0.(C)A1=0.(D)A=0 B 【分析】讨论一组抽象向量的线性无关性,可用定义或转化为求其秩即可 【详解】方法一:令ka1+k24(a1+a2)=0,则 ka1+k241a1+k22a2=0,(k1+k2A1)1+k22a2=0 由于ax1,a2线性无关,于是有 k+k2=0 k2l2=0
文登学校 6 2 2 2 2 y u x u = 成立，同样可找到正确选项(B). 完全类似例题见《数学复习指南》（理工类）P.267【例 10.16】及习题十（第 11 题） （10）设有三元方程 − ln + =1 xz xy z y e ，根据隐函数存在定理，存在点(0,1,1)的一个 邻域，在此邻域内该方程 (A) 只能确定一个具有连续偏导数的隐函数 z=z(x,y). (B) 可确定两个具有连续偏导数的隐函数 x=x(y,z)和 z=z(x,y). (C) 可确定两个具有连续偏导数的隐函数 y=y(x,z)和 z=z(x,y). (D) 可确定两个具有连续偏导数的隐函数 x=x(y,z)和 y=y(x,z). [ D ] 【分析】 本题考查隐函数存在定理，只需令 F(x,y,z)= − ln + −1 xz xy z y e , 分别求出 三个偏导数 Fz Fx Fy , , ，再考虑在点(0,1,1)处哪个偏导数不为 0，则可确定相应的隐函数. 【详解】 令 F(x,y,z)= − ln + −1 xz xy z y e , 则 F y e z xz x = + ， y z F x y = − ， F y e x xz z = −ln + ， 且 Fx (0,1,1) = 2， Fy (0,1,1) = −1， F z (0,1,1) = 0 . 由此可确定相应的隐函数 x=x(y,z)和 y=y(x,z). 故应选(D). 【评注】隐函数存在定理是首次直接考查，有部分考生感到较生疏. 实际上本题也可从 隐函数求偏导公式着手分析：若偏导表达式有意义，相应偏导数也就存在. 定理公式见《数学复习指南》（理工类）P.270 （11）设 1 2 , 是矩阵 A 的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为 1 2 , ，则 1， ( ) A 1 +2 线性无关的充分必要条件是 (A) 1 0 . (B) 2 0 . (C) 1 = 0 . (D) 2 = 0 . [ B ] 【分析】 讨论一组抽象向量的线性无关性，可用定义或转化为求其秩即可. 【详解】 方法一：令 k11 + k2A(1 +2 ) = 0 ，则 k11 + k211 + k222 = 0， (k1 + k21 )1 + k222 = 0 . 由于 1 2 , 线性无关，于是有 = + = 0. 0, 2 2 1 2 1 k k k
文登学校 当入2≠0时,显然有k1=0,k2=0,此时a1,A(a1+a2)线性无关;反过来, 若a1,A(a1+a2)线性无关,则必然有2≠0(否则,a1与Aa1+a2)=1a1线性相关, 故应选(B) 方法二:由于[a1,A(a1+a2)=[a141a1+a2]=[a1a2 02 可见a1,a1+a2)线性无关的充要条件是3/ /2≠0.故应选(B) 【评注】本题综合考查了特征值、特征向量和线性相关与线性无关的概念 完全类似例题见《数学复习指南》(理工类)P407【例317】 (12)设A为n(n≥2)阶可逆矩阵,交换A的第1行与第2行得矩阵B,A,B分 别为AB的伴随矩阵,则 (A)交换A的第1列与第2列得B’.(B)交换A'的第1行与第2行得B (C)交换A^的第1列与第2列得一B.(D)交换A的第1行与第2行得-B 【分析】本题考査初等变换的概念与初等矩阵的性质,只需利用初等变换与初等矩阵 的关系以及伴随矩阵的性质进行分析即可 【详解】由题设,存在初等矩阵E12(交换n阶单位矩阵的第1行与第2行所得),使 得E2A=B,于是B'=(E14)=AEn=AE2E12=-AE2,即 AE ,可见应选(C 【评注】注意伴随矩阵的运算性质: AA=AA=4E,当A可逆时,了=4A (AB)=B A 完全类似例题及性质见《数学复习指南》(理工类)P381【例214,例2.29】 (13)设二维随机变量(X,Y)的概率分布为 0.4 已知随机事件{X=0}与{X+Y=1}相互独立,则 (A)a=0.2,b=0.3 (B)a=0.4,b=0.1 7
文登学校 7 当 2 0 时，显然有 k1 = 0,k2 = 0 ，此时 1， ( ) A 1 +2 线性无关；反过来， 若 1， ( ) A 1 +2 线性无关，则必然有 2 0 (,否则， 1 与 ( ) A 1 +2 = 11 线性相关)， 故应选(B). 方法二： 由于 + = + = 2 1 1 1 2 1 1 1 2 2 1 2 0 1 [ , ( )] [ , ] [ , ] A ， 可见 1， ( ) A 1 +2 线性无关的充要条件是 0. 0 1 2 2 1 = 故应选(B). 【评注】 本题综合考查了特征值、特征向量和线性相关与线性无关的概念. 完全类似例题见《数学复习指南》（理工类）P.407【例 3.17】 （12）设 A 为 n（ n 2 ）阶可逆矩阵，交换 A 的第 1 行与第 2 行得矩阵 B, * * A ,B 分 别为 A,B 的伴随矩阵，则 (A) 交换 * A 的第 1 列与第 2 列得 * B . (B) 交换 * A 的第 1 行与第 2 行得 * B . (C) 交换 * A 的第 1 列与第 2 列得 * − B . (D) 交换 * A 的第 1 行与第 2 行得 * − B . [ C ] 【分析】 本题考查初等变换的概念与初等矩阵的性质，只需利用初等变换与初等矩阵 的关系以及伴随矩阵的性质进行分析即可. 【详解】 由题设，存在初等矩阵 E12 （交换 n 阶单位矩阵的第 1 行与第 2 行所得），使 得 E12A = B ，于是 12 1 * 12 12 * 12 * * * 12 * B = (E A) = A E = A E E = −A E − ，即 * 12 * A E = −B ,可见应选(C). 【评注】 注意伴随矩阵的运算性质： AA = A A = AE * * ，当 A 可逆时， , * −1 A = A A * * * (AB) = B A . 完全类似例题及性质见《数学复习指南》（理工类）P.381【例 2.14，例 2.29】 （13）设二维随机变量(X,Y) 的概率分布为 X Y 0 1 0 0.4 a 1 b 0.1 已知随机事件 {X = 0} 与 {X + Y = 1} 相互独立，则 (A) a=0.2, b=0.3 (B) a=0.4, b=0.1
学校 (C)a=0.3,b=0.2 B 【分析】首先所有概率求和为1,可得a+b=05,其次,利用事件的独立性又可得一等 式,由此可确定ab的取值 【详解】由题设,知a+b=0.5 又事件{X=0}与{X+Y=1}相互独立,于是有 P{X=0,X+Y=1}=P{X=0}P{X+Y=1} 即a=(0.4+a)(a+b),由此可解得a=0.4,b=0.1,故应选(B 【评注】本题考査二维随机变量分布律的性质和独立随机事件的概念,均为大纲要求 的基本内容 完全类似例题见《数学复习指南》(理工类)P528【习题二,1.(9)】 (14)设X1,x2…,Xn(n≥2)为来自总体N(0,1)的简单随机样本,X为样本均值, 为样本方差,则 nS2-x(n) 1)X t(n-1)(D) F(,n-1) S 【分析】利用正态总体抽样分布的性质和x2分布、t分布及F分布的定义进行讨论即 X 【详解】由正态总体抽样分布的性质知, =√nx~N01),可排除(A 0 t(n-1),可排除(C;,而 (n-1)S2 n-1)S2~x2(n-1),不能 n 断定(B)是正确选项 因为 1∑X2~x2(m-1),且x2~x2()与∑X2~x2(n-1)相互 立,于是 (m-1)x2 (1,n-1).故应选(D X 【评注】正态总体X~N(2)的三个抽样分布 |~N(0,1)
文登学校 8 (C) a=0.3, b=0.2 (D) a=0.1, b=0.4 [ B ] 【分析】 首先所有概率求和为 1，可得 a+b=0.5, 其次，利用事件的独立性又可得一等 式，由此可确定 a,b 的取值. 【详解】 由题设，知 a+b=0.5 又事件 {X = 0} 与 {X + Y = 1} 相互独立，于是有 P{X = 0, X + Y = 1} = P{X = 0}P{X + Y = 1}， 即 a= (0.4 + a)(a + b), 由此可解得 a=0.4, b=0.1, 故应选(B). 【评注】 本题考查二维随机变量分布律的性质和独立随机事件的概念，均为大纲要求 的基本内容. 完全类似例题见《数学复习指南》（理工类）P.528【习题二，1.（9）】 （14）设 , , , ( 2) X1 X2 Xn n 为来自总体 N(0,1)的简单随机样本， X 为样本均值， 2 S 为样本方差，则 (A) nX ~ N(0,1) (B) ~ ( ). 2 2 nS n (C) ~ ( 1) ( 1) − − t n S n X (D) ~ (1, 1). ( 1) 2 2 2 1 − − = F n X n X n i i [ D ] 【分析】 利用正态总体抽样分布的性质和 2 分布、t 分布及 F 分布的定义进行讨论即 可. 【详解】 由正态总体抽样分布的性质知， ~ (0,1) 1 0 nX N n X = − ，可排除(A); 又 ~ ( 1) 0 = − − t n S nX n S X ，可排除(C); 而 ( 1) ~ ( 1) 1 ( 1) 2 2 2 2 = − − − n S n n S ，不能 断定(B)是正确选项. 因为 = − n i X Xi n 2 2 2 2 2 1 ~ (1), ~ ( 1) ，且 = − n i X Xi n 2 2 2 2 2 1 ~ (1)与 ~ ( 1) 相互独 立，于是 ~ (1, 1). ( 1) 1 1 2 2 2 1 2 2 2 1 − − = − = = F n X n X n X X n i i n i i 故应选(D). 【 评 注 】 正态总体 ~ ( , ) 2 X N 的三个抽样分布： ~ N(0,1) n X −
学校 x-~1(n-1) (n-1)S x2(n-1)是常考知识点,应当牢记 完全类似例题见《数学复习指南》(理工类)P75【习题五,2.(3)】 三、解谷题(本题共9小题,满分94分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) (15)(本题满分11分) 设D=(xy)2+y2≤2,x≥0y≥0,+x2+y]表示不超过1+x2+y2的最 大整数计算二重积分x1+x2+y]h 【分析】首先应设法去掉取整函数符号,为此将积分区域分为两部分即可 【详解】令D1={(x,y0≤x2+y21时,原级数发散,因此原级数的收敛半径为1,收敛区间为(-1,1) ,x∈(-1,1)
文登学校 9 ~ ( −1) − t n n S X 、 ~ ( 1) ( 1) 2 2 2 − − n n S 是常考知识点，应当牢记. 完全类似例题见《数学复习指南》（理工类）P.575【习题五，2.(3)】 三 、解答题（本题共 9 小题，满分 94 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） （15）（本题满分 11 分） 设 {( , ) 2, 0, 0} 2 2 D = x y x + y x y ，[1 ] 2 2 + x + y 表示不超过 2 2 1+ x + y 的最 大整数. 计算二重积分 + + D xy[1 x y ]dxdy. 2 2 【分析】 首先应设法去掉取整函数符号，为此将积分区域分为两部分即可. 【详解】 令 {( , ) 0 1, 0, 0} 2 2 D1 = x y x + y x y ， {( , ) 1 2, 0, 0} 2 2 D2 = x y x + y x y . 则 + + D xy[1 x y ]dxdy 2 2 = + 1 2 2 D D xydxdy xydxdy d r dr d r dr = + 2 0 2 1 3 1 0 3 2 0 sin cos 2 sin cos = . 8 7 4 3 8 1 + = 【评注】 对于二重积分（或三重积分）的计算问题，当被积函数为分段函数时应利用 积分的可加性分区域积分. 而实际考题中，被积函数经常为隐含的分段函数，如取绝对值函 数 f (x, y) 、取极值函数 max{ f (x, y, g(x, y)} 以及取整函数 [ f (x, y] 等等. 完全类似例题见《数学复习指南》（理工类）P.295【例 11.18~19】 （16）（本题满分 12 分） 求幂级数 = − − − + 1 1 2 ) (2 1) 1 ( 1) (1 n n n x n n 的收敛区间与和函数 f(x). 【分析】 先求收敛半径，进而可确定收敛区间. 而和函数可利用逐项求导得到. 【详解】 因为 ( 1)(2 1) 1 (2 1) lim 1 n ( 1)(2 1) (2 1) 1 n n n n → n n n n + + + − = + + − + ，所以当 2 x 1 时，原级数绝 对收敛，当 2 x 1 时，原级数发散，因此原级数的收敛半径为 1，收敛区间为（－1,1） 记 1 2 1 ( 1) ( ) , ( 1,1) 2 (2 1) n n n S x x x n n − = − = − − ， 则 1 2 1 1 ( 1) ( ) , ( 1,1) 2 1 n n n S x x x n − − = − = − −
学校 S(x)=∑(-1) ,x∈(-1,1) 由于S(0)=0,S(0)=0, 所以S(x)=s"(n)dt dt=arctan x S(x)=L s(tdt= arctan tdt=xarctanx--In(1+x) 又 ∈(-,1) 从而f(x)=2S(x) ,x∈(-1,1) 1+x 【评注】本题求收敛区间是基本题型,应注意收敛区间一般只开区间.而幂级数求和 尽量将其转化为形如∑或∑mx幂级数,再通过逐项求导或逐项积分求出其和函数 完全类似例题见《数学复习指南》(理工类)P225【例8.26】 (17)(本题满分11分) 如图,曲线C的方程为y=x),点(32)是它的一个拐点,直线l与l2分别是曲线C在 点(0,0)与(3,2)处的切线,其交点为(2,4).设函数f(x)具有三阶连续导数,计算定积分 【分析】题设图形相当于已知fx)在x=0的函数值与导数值,在x=3处的函数值及 阶、二阶导数值 【详解】由题设图形知,f(0)=0,f(0)=2;f(3)=2,f(3)=-2,∫"(3)=0 由分部积分,知 f(x)(2x+1)d =16+2[f(3)-f(0=20 【评注】本题f(x)在两个端点的函数值及导数值通过几何图形给出,题型比较新颖
文登学校 10 1 2 2 2 1 1 ( ) ( 1) , ( 1,1) 1 n n n S x x x x − − = = − = − + . 由于 S S (0) 0, (0) 0, = = 所以 2 0 0 1 ( ) ( ) arctan , 1 x x S x S t dt dt x t = = = + 2 0 0 1 ( ) ( ) arctan arctan ln(1 ). 2 x x S x S t dt tdt x x x = = = − + 又 2 1 2 2 1 ( 1) , ( 1,1), 1 n n n x x x x − = − = − + 从而 2 2 ( ) 2 ( ) 1 x f x S x x = + + 2 2 2 2 arctan ln(1 ) , ( 1,1). 1 x x x x x x = − + + − + 【评注】 本题求收敛区间是基本题型，应注意收敛区间一般只开区间. 而幂级数求和 尽量将其转化为形如 n=1 n n x 或 = − 1 1 n n nx 幂级数，再通过逐项求导或逐项积分求出其和函数. 完全类似例题见《数学复习指南》（理工类）P.225【例 8.26】 （17）（本题满分 11 分） 如图，曲线 C 的方程为 y=f(x)，点(3,2)是它的一个拐点，直线 1 l 与 2 l 分别是曲线 C 在 点(0,0)与(3,2)处的切线，其交点为(2,4). 设函数 f(x)具有三阶连续导数，计算定积分 + 3 0 2 (x x) f (x)dx. 【分析】 题设图形相当于已知 f(x)在 x=0 的函数值与导数值，在 x=3 处的函数值及一 阶、二阶导数值. 【详解】 由题设图形知，f(0)=0, f (0) = 2 ; f(3)=2, f (3) = −2, f (3) = 0. 由分部积分，知 + = + = + − + 3 0 3 0 3 0 2 2 3 0 2 (x x) f (x)dx (x x)df (x) (x x) f (x) f (x)(2x 1)dx = x df x x f x f x dx − + = − + + 3 0 3 0 3 0 (2 1) ( ) (2 1) ( ) 2 ( ) =16 + 2[ f (3) − f (0)] = 20. 【评注】 本题 f(x) 在两个端点的函数值及导数值通过几何图形给出，题型比较新颖
