大学数学实验 人们常见的模型 ~实物模型 Experiments in Mathematics 玩具、照片、火箭模型… 水箱中的舰艇、风洞中的飞机…~物理模型 司机(方向盘)、钳工(工件)“~思维模型 实验1数学建模初步 地图、电路图、分子结构图… 符号模型 模型是为了一定目的,对客观事物的一部分进行 简缩、抽象、提炼出来的原型的管代物 半大歇教導科系 模型集中反映了原型中人们需要的那一部分特征 (大学费学实验 你敬到过的教些模 航行问题建立数学模型的基本步骤 航行问题” ·作出简化假设(船遠、水速为常数); 甲乙两地相距750公里,船从甲到乙顺水航行需30小时, ·用符号表示有关量(x-船速,y水速); 从乙到甲逆水航行需50小时,问船的速度是多少 ·用物理定律(匀速运动的距高等于速度乘以 用x表示船速,y表示水速,列出方程 时间)列出数学式子(二元一次方程 (x+y)×30=750 ·求解,得到数学解答(x=20,=5); ·回答原问题(船速每小时20千米) 求解得到x=20,y=5 答:船速每小时20千米 (大学静学实 (大学数学实验) 数学模型( Mathematical Model)和 数学建模实例与数学实验方法 数学建模( Mathematical Modeling) 数学模型:对于一个现实对象,为了一个特定目的, @例1汽车刹车距离 作出必要的简化假设,根据对象的内在规律 运用适当的数学工具,得到的一个数学结构。 问题:汽车行驶前方出现突发事件→紧急刹车; 车速越快,刹车距离越长 数学建模 象的信息 表述 数学模型 刹车距离与车速之间是什么关系?(线性、…) 的全过程 求解(演绎) 刹车距高:从司机决定刹车到车完全停止 这段时间内汽车行驶的距高 现实对象的解答解舞学型的解答
1 大学数学实验 Experiments in Mathematics 实验1 数学建模初步 清华大学数学科学系 什么是数学建模 人们常见的模型： 玩具、照片、火箭模型… ~ 实物模型 水箱中的舰艇、风洞中的飞机… ~ 物理模型 地图、电路图、分子结构图… ~ 符号模型 模型是为了一定目的，对客观事物的一部分进行 简缩、抽象、提炼出来的原型的替代物。 模型集中反映了原型中人们需要的那一部分特征。 司机（方向盘）、钳工（工件）… ~ 思维模型 你碰到过的数学模型 ——“航行问题” 用 x 表示船速，y 表示水速，列出方程： ( ) 50 750 ( ) 30 750 − × = + × = x y x y 求解得到 x=20, y=5. 答：船速每小时20千米 甲乙两地相距750公里，船从甲到乙顺水航行需30小时, 从乙到甲逆水航行需50小时，问船的速度是多少。 航行问题建立数学模型的基本步骤 • 作出简化假设（船速、水速为常数）； • 用符号表示有关量（x~船速, y~水速）； • 用物理定律（匀速运动的距离等于速度乘以 时间）列出数学式子（二元一次方程）； • 求解, 得到数学解答（x=20, y=5）； • 回答原问题（船速每小时20千米）。 数学模型 (Mathematical Model) 和 数学建模（Mathematical Modeling) 数学模型: 对于一个现实对象，为了一个特定目的, 作出必要的简化假设，根据对象的内在规律， 运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。 现实对象的信息 数学模型 现实对象的解答 数学模型的解答 表述 求解 解释 验证 (归纳) (演绎) 数学建模 的全过程 数学建模实例与数学实验方法 例1 汽车刹车距离 问题：汽车行驶前方出现突发事件→紧急刹车； 车速越快，刹车距离越长； 刹车距离与车速之间是什么关系 ？(线性、…) 刹车距离：从司机决定刹车到车完全停止 这段时间内汽车行驶的距离
例1汽车刹车距离 例1汽车刹车距离 实验数据:车速v(km/h)与刹车距高d( 问题分析刹车距离:反应距离+制动距离 2040608010120140 反应距高:“司机决定刹车到制动器开始起作用”的距离 d6.517833.657.183.41180153.5 制动距离:“制动器开始起作用到汽车完全停止”的距离 反应h反应时间{司机状况制动系统灵活性 距离口车速 常数 d与v不是 线性关系 制动 器作用力最大制动力与车质量成正比, 距高 使汽车作匀减速运动 道路、气候 常数 例1汽车刹车距离 1o例1汽车刹车距离 假设与建模 模型d=k+k2v2 刹车距高d=反应距高d1+制动距高d2 用实验数据对k1,k2作拟合:k=0.652,k2=0.0853 ·反应距高d1与车速v成正比:d=k1νk1反应时间 v(kmh)20406080100120140 际距离6517833657183411801535 ·刹车使用最大制动力F,F作功等于汽车动能的改变 d(m) 4 Fd=main dd,=k,v2 计算距离62617.7834.5656618392116.49154.33 F与车的质量m成正比:F=m1k2=1/2a 反应时间为k1≈0.5刹车时的减速度a=1/2k2≈m/s2 d=kv+k2V 学酸学实 (大学数学实验) 例2市场经济中的蛛网模型 x第时段商品数量,第时段商品价格 现供大于求口价格下降口减少产量 消费者的需求关系~需求函数从=f(x)减函数 介数量与价格在振荡 生产者的供应关系~供应函数x4+1=h(y4)增函数 增加产量价格上涨白供不应求 简化:∫与g线性 问·建立一个简化的敷学模型描述这种现象 ∫与g的交点Pxm,y)~平衡点 题·商品敷量与价格的振荡在什么条件下趋向稳定 当不稳定时政府能采取什么干预手段使之稳定 xk+1=x0,yk+1=yo,…
2 20 40 60 80 100 120 140 0 50 100 150 200 20 40 60 80 100 120 140 0 50 100 150 200 d 6.5 17.8 33.6 57.1 83.4 118.0 153.5 v 20 40 60 80 100 120 140 实验数据：车速v (km/h)与刹车距离d (m) 例1 汽车刹车距离 d 与v不是 线性关系 问题分析 最大制动力与车质量成正比, 使汽车作匀减速运动 常数 刹车距离: 反应距离 + 制动距离 常数 例1 汽车刹车距离 反应距离: “司机决定刹车到制动器开始起作用”的距离 制动 距离 反应 距离 反应时间 车速 司机状况 制动系统灵活性 制动器作用力 车重、车速 道路、气候… 制动距离: “制动器开始起作用到汽车完全停止”的距离 假设与建模 • 刹车距离 d =反应距离 d1 + 制动距离 d2 • 反应距离 d1与车速 v 成正比：d1= k1 v • 刹车使用最大制动力F，F作功等于汽车动能的改变 2 1 2 d = k v + k v k1~反应时间 • F与车的质量 m 成正比： F = ma F d2= m v2/2 k a d k v 1 / 2 , 2 2 2 2 = = 例1 汽车刹车距离 参数估计 用实验数据对k1 , k2 作拟合: k1=0.6522，k2=0.0853 计算距离 6.26 17.78 34.56 56.61 83.92 116.49 154.33 d (m) 实际距离 6.5 17.8 33.6 57.1 83.4 118.0 153.5 d (m) v (km/h) 20 40 60 80 100 120 140 例1 汽车刹车距离 反应时间为k1≈0.65s 刹车时的减速度a=1/2k2 ≈6m/s2 2 1 2 模型 d = k v + k v 例2 市场经济中的蛛网模型 问 题 现 供大于求 象 • 商品数量与价格的振荡在什么条件下趋向稳定 • 当不稳定时政府能采取什么干预手段使之稳定 价格下降 减少产量 增加产量 价格上涨 供不应求 数量与价格在振荡 • 建立一个简化的数学模型描述这种现象 蛛网模型 y0 x0 P0 xk~第k时段商品数量；yk~第k时段商品价格 消费者的需求关系 ~ 需求函数 ( ) k k y = f x 生产者的供应关系 ~ 供应函数 减函数 xk +1 = h( yk ) 增函数 f 与g 的交点 P0(x0, y0) ~ 平衡点 一旦 xk= x0，则 yk= y0， xk+1= x0， yk+1=y0, …… f x y 0 g ( ) k = k +1 简化： f 与 g 线性 y g x
「蛛网模型V=f(x)x4n=(y)分y4=g(x-) 方覆教型 设x1偏高x0x+y+x2→y2…xk→>x,y4→y =f(x)dy-y=-(x-x)(a>0) →B→B→…×B x41=h(y)日x4-x=BU-10)(B>0) P是稳定平衡点 P是不稳定平衡点 x-x,=-aB(x-x)4x -x=(aB)(x, -x) Pyg aB1即a>1Bx一0P不稳定 与蛛网模型KK 对比 K,>K2→不稳定1B=Kg 例平衡状态;x-10,01=10,x=10 术释 考察aB的含义 k-=0(x-x),a~商品数量减少1单位价格上涨幅度 +=A-马),B-价格上涨1单位下时段供应的增量 a~消賣者对需求的敏感程度a小,有利于经济稳定 B~生产者对价格的敏感程度B小有利于经济稳定 a<1经济稳定 (学静学实鉴 经济不穗定时政府的干预办法 例3汽车厂生产计划 1.使a尽量小,如a=0 汽车厂生产三种类型的汽车,已知各类型每辆车对钢 d需求曲线变为水平 材、劳动时间的需求,利润及工厂每月的现有量 以行政手段控制商品价格不变 小型中型大型现有量 钢材(吨) 2使B尽量小,如B=0 劳动时间(小时)280250 d供应曲线变为竖直 利润(万元) 制订月生产计划,使工厂的利润最大。 靠经济实力控制商品敷量不变 如果生产某一类型汽车,则至少要生产80辆 那么最优的生产计划应作何改变?
3 x1 x2 P2 y1 P1 y2 P3 P4 x3 y3 K f K g 方程模型 ( ) k k y = f x ( ) k 1 k x = h y + ( ) 1 0 0 x x x x k + − = −αβ k − αβ 1 即α 1/β P0稳定 P0不稳定 0 x x k → xk →∞ α = K f β = Kg 1/ ( ) ( 0) yk − y0 = −α xk − x0 α > ( ) ( 0) xk+1 −x0 = β yk − y0 β > ( ) ( ) 1 0 1 0 x x x x k k+ − = −αβ − 与蛛网模型 对比 K f Kg ⇒ 不稳定 平衡状态：x0=100，y0=10 ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 95 100 105 110 k x(k) α=0.1, β=5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 9 9.5 10 10.5 k y(k) α=0.1, β=5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 50 100 150 k x(k) α=0.24, β=5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 5 10 15 20 25 k y(k) α=0.24, β=5 例 x1=110 考察α, β 的含义 α ~消费者对需求的敏感程度 β ~生产者对价格的敏感程度 α 小, 有利于经济稳定 β 小, 有利于经济稳定 ⇒ αβ < 1 经济稳定 结果解释 yk −y0 =−α(xk −x0), α~ 商品数量减少1单位,价格上涨幅度 xk+1−x0 =β(yk −y0), β~价格上涨1单位,(下时段)供应的增量 经济不稳定时政府的干预办法 1. 使α 尽量小，如α =0 以行政手段控制商品价格不变 2. 使β 尽量小，如β =0 靠经济实力控制商品数量不变 需求曲线变为水平 供应曲线变为竖直 x y 0 y0 g f x y 0 x0 g f 例3 汽车厂生产计划 • 如果生产某一类型汽车，则至少要生产80辆， 那么最优的生产计划应作何改变？ 汽车厂生产三种类型的汽车，已知各类型每辆车对钢 材、劳动时间的需求，利润及工厂每月的现有量 ： 小型 中型 大型 现有量 钢材（吨） 1.5 3 5 600 劳动时间（小时） 280 250 400 60000 利润（万元） 2 3 4 • 制订月生产计划，使工厂的利润最大
基本模型 小型中型大型现有量 模型求解 第一种办法 设每月生产小、中、大型 铜材153 x,马,高为非负整数x,x2,x为非负实数 汽车的数量分别为x;x写消2 280250400 整数线性规划(LLP)日线性规划(LP) 决策变量 MATLAB 2,x2=167.74, Max ==2x,+3x,+4x 目标函数 LINDO/LINGO .1.5x1+3x2+5x3≤600 为了得到x,x2,x的整数解,在实数解附近试探 0x+250x2+400x3s60000约束条件 x1=65,x2=167,x 168,x=0 x1,x2,x3为非负整数 在满足约束条件前提下,计算并比较目标函数的大小 整数线性规划模型(ILP) 结果:x1=64,x2=168,x=0;z=632 模型求解 第二种办法 进一步研究的问题 ·若生产某类汽车,则至少生产80辆,求生产计划 利用直接求解整数线性规划的软件 Max ==2x+ 3x2+4x3 0,x2=0,x3≥80 (如: LINDO/LINGO) s1.15x+3x2+5x3≤600 x1=0,x2≥80,x3=0 280x1+250x2+400x1≤60000x=0.,x2≥80,x1280x 结果与上面相同 0或280x280 求解整数线性规划的复杂程度比线性规划大得多 方法1:分解为8个LP子模型x1≥80,x2≥80,x2=0 其中3个子模型应去掉,然后x≥80,x=0,x280 用普通软件能求解的整数线性规划的规模受到限制 逐一求解,比较目标函数值,x280x2280x≥80 再加上整数约束,得最优解 x=80,x2=150,x3=0,最优值=610 的法2引入0变量,化为整数规划y学 向4人口报 x=0或280日≤M1,280y1,M∈0BM为大的正 背景 世界人口增长概况 x2=0或280日x≤M2,x≥80,y2∈0B数,如100 x3=0或2809x≤My,x280y,y3∈{O1 年162518301930196019741987 人口(亿)5 方法3:化为非线性规划(NLP) x:=0或280日x(x1-80)20x20 中国人口增长概况 x2=0或≥80日x(x2-80)≥0x20 年1908 x3=0或280日x1(x-8020x20 人口(亿)3.0 NLP可用 LINGO, MATLAB求解,其结果常依赖 于初值的选择,且不能保证得到全局最优解 研究人口变化规律 控制人口过快增长
4 2 1 3 2 4 3 Max z = x + x + x . . 1.5 3 5 600 s t x1 + x2 + x3 ≤ 280 250 400 60000 x1 + x2 + x3 ≤ x1, x2 , x3为非负整数 基本模型 小型 中型 大型 现有量 钢材 1.5 3 5 600 时间 280 250 400 60000 利润 2 3 4 整数线性规划模型（ILP） 设每月生产小、中、大型 汽车的数量分别为x1, x2, x3 决策变量 约束条件 目标函数 模型求解 第一种办法 x1, x2 , x3 为非负整数 整数线性规划（ILP） x1, x2 , x3 为非负实数 松弛 线性规划（LP） MATLAB LINDO/LINGO 为了得到 x1, x2, x3的整数解，在实数解附近试探： x1=64.52, x2=167.74, x3=0, z=632.26 x1=65, x2=167, x3=0; 在满足约束条件前提下，计算并比较目标函数的大小 x1=64，x2=168, x3=0; … 结果: x1=64, x2=168, x3=0; z=632 模型求解 第二种办法 利用直接求解整数线性规划的软件 （如：LINDO/LINGO） 求解整数线性规划的复杂程度比线性规划大得多 结果与上面相同 用普通软件能求解的整数线性规划的规模受到限制 进一步研究的问题 其中3个子模型应去掉，然后 逐一求解，比较目标函数值， 再加上整数约束，得最优解： 0, 0, 80 x1 = x2 = x3 ≥ x1 = 0, x2 ≥ 80, x3 = 0 x1 = 0, x2 ≥ 80, x3 ≥ 80 80, 0, 0 x1 ≥ x2 = x3 = x1 ≥ 80, x2 ≥ 80, x3 = 0 x1 ≥ 80, x2 = 0, x3 ≥ 80 x1 ≥ 80, x2 ≥ 80, x3 ≥ 80 x 1 , x 2 , x 3 = 0 方法1：分解为8个LP子模型 • 若生产某类汽车，则至少生产80辆，求生产计划。 1 2 3 Max z = 2x + 3x + 4x . . 1.5 3 5 600 s t x1 + x2 + x3 ≤ 280x1 + 250x2 + 400x3 ≤ 60000 x1,x2,, x3=0 或 ≥80 × × × x1=80，x2= 150，x3=0，最优值z=610 方法2：引入0-1变量，化为整数规划(LP) M为大的正 数，如1000 x1=0 或 ≥80 x2=0 或 ≥80 x3=0 或 ≥80 , 80 , {0,1} x1 ≤ My1 x1 ≥ y1 y1 ∈ , 80 , {0,1} x2 ≤ My2 x2 ≥ y2 y2 ∈ , 80 , {0,1} x3 ≤ My3 x3 ≥ y3 y3 ∈ NLP可用LINGO, MATLAB求解，其结果常依赖 于初值的选择，且不能保证得到全局最优解。 方法3：化为非线性规划（ NLP） x1=0 或 ≥80 ( 80) 0 0 x1 x1 − ≥ ，x1 ≥ x2=0 或 ≥80 x3=0 或 ≥80 ( 80) 0 0 x2 x2 − ≥ ，x2 ≥ x3(x3 −80) ≥ 0，x3 ≥ 0 例4 人口预报 背景 年 1625 1830 1930 1960 1974 1987 1999 人口(亿) 5 10 20 30 40 50 60 世界人口增长概况 中国人口增长概况 研究人口变化规律 控制人口过快增长 年 1908 1933 1953 1964 1982 1990 1995 2000 人口(亿) 3.0 4.7 6.0 7.2 10.3 11.3 12.0 13.0
常用的计算公式今年人口x年增长学) 大学酸学实 k年后人口x4=x0(1+r) 指数增长模型x()=xge 参数估计(r,x)专家估计;利用实际数据作拟合 指数增长模型(马尔萨斯1798年提出) y=lnx,a=lnx→y=nt+a线性最小二乘法 基本假设:人口(相对)增长率r是常数 x(0时刻的人口x(+4)-x(=N 美国1790年至1900年数据美国1790年至000年数据 =0.2743/10年 rx,x(0)=xo x(=xe x=4.1884 x()=x(e)≈x(l+r) 随着时间增加,人口按指数规律无限增长 (大学酸学实验 指数增长模型结果分析 阻滞增长模型( Logistic模型) ·能描述十九世纪以前美国人口的增长 人口增长到一定数量后,增长率下降的原因 与19世纪以前欧洲一些地区人口统计数据吻合 资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用 适用于19世纪后迁往加拿大的欧洲移民后代 且阻滞作用随人口数量增加而变大口t是x的减函数 可用于短期人口增长预测 假设r(x)=r-sx(r,s>0)r-固有增长率(x很小时) 不符合19世纪后美国及其它地区人口增长规律 不能预测较长期的人口增长过程 xm人口容量(资源、环境能容纳的最大数量) 人口增长到一定敷量后,增长率r逐渐下降 曰r(xn)=0s=r(x)=r1-x (学静学实鉴 (大学数学实验) 阻滞增长模型( Logistic模型) 阻滞增长模型参数估计(,xn) =r(x)x=rx(1--) )9 dx/dr 美国1790年至1990年数据线性最小二乘法 r=02557/10年 x(1)= x()S形曲线, (-1)e 增加先快后慢
5 指数增长模型（马尔萨斯1798年提出） 常用的计算公式 k k x x (1 r) = 0 + x(t) ~时刻t的人口 基本假设 : 人口(相对)增长率 r 是常数 r t x t x t t x t = ∆ + ∆ − ( ) ( ) ( ) 今年人口 x0, 年增长率 r k年后人口 0 rx, x(0) x dt dx = = rt x t x e0 ( ) = r t x(t) x (e ) = 0 t x (1 r) ≈ 0 + 随着时间增加，人口按指数规律无限增长 指数增长模型 参数估计(r, x0) rt x t x e0 ( ) = 专家估计；利用实际数据作拟合 y = x a = x → y = rt + a 0 ln , ln 0 2 4 6 8 10 12 0 20 40 60 80 100 r =0.2743/10年 x0 =4.1884 美国1790年至1900年数据 0 5 10 15 20 25 0 100 200 300 400 500 r =0.2022/10年 x0 =6.0450 美国1790年至2000年数据 线性最小二乘法 • 与19世纪以前欧洲一些地区人口统计数据吻合 • 适用于19世纪后迁往加拿大的欧洲移民后代 • 可用于短期人口增长预测 • 不符合19世纪后美国及其它地区人口增长规律 • 不能预测较长期的人口增长过程 人口增长到一定数量后，增长率r 逐渐下降 指数增长模型结果分析 • 能描述十九世纪以前美国人口的增长 阻滞增长模型(Logistic模型) 人口增长到一定数量后，增长率下降的原因： 资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用 且阻滞作用随人口数量增加而变大 假设 r(x)=r−sx (r,s>0) r ~固有增长率(x很小时) xm~人口容量（资源、环境能容纳的最大数量） ( ) (1 ) m x x r x = r − r是x的减函数 m x r ( ) = 0 s = m r x rx dt dx = ( ) (1 ) mx x r x x rx dt dx = = − xm x t x x x e m m rt ( ) ( ) = + − − 1 1 0 t x 0 x(t)~S形曲线, x增加先快后慢 x0 xm/2 阻滞增长模型(Logistic模型) dx/dt x 0 xm/2 xm 阻滞增长模型参数估计(r, xm) ( ) (1 ) mx x r x x rx dt dx = = − 0 5 10 15 20 0 50 100 150 200 250 300 r=0.2557/10年 xm =392.0886 美国1790年至1990年数据 线性最小二乘法 mx r r sx s x dx dt = − , = /
大学静学实 模型检验 棋的基本方法 模型计算2000年美国人口,与实际数据比较 x2000=x0199)△x=x0990)+mx(19901-x(990/x4 机理分析根据对客观事物特性的认识,找出反映 内部机理的数量规律 日x(2000=274.5实际为281.4(百万 测试分析将对象看作“黑箱”,通过对量测数据的 模型应用—预报美国2010年的人口 统计分析,找出与数据拟合最好的模型 加入2000年人口数据后重新估计模型参数 二者結合用机理分析建立模型结构用测试分析 定模型参数 日r02490,xm=434.0x2010)=3060 机理分析没有一的方法,主要通过实例听究 Logistic模型在经济领域中的应用(如耐用消费品的售量 ( Case studies)来学习。以下建模主要指机理分析 (大学酸学实验 教些建桃的一盘步 孜学建模的一步 機型准备模型假设」模型构成 模针对问题特点和建模目的 作出合理的、简化的假设 模型检验模型分析}模型求解 设在合理与简化之间作出折中 模型应用 用敷学的语言、符号描述问题 解实际背录明确建模目的形成一个 发挥想象力使用类比法 比较清晰 模型构成 备」披集有关信息掌握对象特征的问题 尽量采用简单的数学工具 (学静学实鉴 (大学数学实验) 数建棋的一般步 教单建模的量觉义 求解各种数学方法、软件和计算机技术 数学建模越来越受到人们的重视: 电子计算机的出现及飞速发展; 模型如结果的误羞分析、統计分析、 ·数学以空前的广度和深度向一切领域渗透 分析模型对敷据的稳定性分析 1.在一般工程技术领城敖学建模仍然大有用武之地; 模型与实际现象、敷据比較 2.在高新技术领城教学建模几乎是必不可少的工具; 检验模型的合理性、适用性 3.数学进入一些新领城,为数学建模开辟了许多处女地 横型应用
6 模型检验 用模型计算2000年美国人口，与实际数据比较 (2000) (1990) (1990) (1990)[1 (1990) / ] m x = x + ∆x = x + rx − x x x(2000) = 274.5 实际为 281.4 (百万) 模型应用——预报美国2010年的人口 加入2000年人口数据后重新估计模型参数 Logistic 模型在经济领域中的应用(如耐用消费品的售量) r=0.2490, xm=434.0 x(2010)=306.0 数学建模的基本方法 • 机理分析 • 测试分析 根据对客观事物特性的认识，找出反映 内部机理的数量规律。 将对象看作“黑箱”,通过对量测数据的 统计分析，找出与数据拟合最好的模型。 机理分析没有统一的方法，主要通过实例研究 (Case Studies)来学习。以下建模主要指机理分析。 • 二者结合 用机理分析建立模型结构, 用测试分析 确定模型参数。 2 2 tgα1 = tgα 2 = 数学建模的一般步骤 模型准备 模型假设 模型构成 模型检验 模型分析 模型求解 模型应用 模 型 准 备 了解实际背景 明确建模目的 搜集有关信息 掌握对象特征 形成一个 比较清晰 的‘问题’ 模 型 假 设 针对问题特点和建模目的 作出合理的、简化的假设 在合理与简化之间作出折中 模 型 构 成 用数学的语言、符号描述问题 发挥想象力 使用类比法 尽量采用简单的数学工具 数学建模的一般步骤 数学建模的一般步骤 模型 求解 各种数学方法、软件和计算机技术 如结果的误差分析、统计分析、 模型对数据的稳定性分析 模型 分析 模型 检验 与实际现象、数据比较， 检验模型的合理性、适用性 模型应用 数学建模的重要意义 • 电子计算机的出现及飞速发展； • 数学以空前的广度和深度向一切领域渗透。 数学建模越来越受到人们的重视： 1. 在一般工程技术领域数学建模仍然大有用武之地； 2. 在高新技术领域数学建模几乎是必不可少的工具； 3. 数学进入一些新领域，为数学建模开辟了许多处女地
气禅学习数学建 分析与设计 预报与决 数学建模与其说是一门技术,不如说是一门艺术 技术大致有章可循艺术无法归纳成普遗适用的准则 控制与优化 规划与管理 想象力 洞察力 判断力 数学建模 如虎添翼 学习、分析、评价、改进别人作过的模型 知识经济 ·亲自动手,认真作几个实际题目 实验练习 实验目的通过解决简化的实际问题,学习初步 的数学建模方法,培养建模意识。 实验内容·老师课上布置 同学通过“清华网络学堂”提交作业 网址Ihttp://learn.tsinghuaedu.cn
7 数学建模的重要意义 • 分析与设计 • 预报与决策 • 控制与优化 • 规划与管理 数学建模 知识经济 如虎添翼 计算机技术 怎样学习数学建模 数学建模与其说是一门技术，不如说是一门艺术 技术大致有章可循 艺术无法归纳成普遍适用的准则 想象力 洞察力 判断力 • 学习、分析、评价、改进别人作过的模型 • 亲自动手，认真作几个实际题目 实验练习 实验目的 通过解决简化的实际问题，学习初步 的数学建模方法，培养建模意识。 实验内容 • 老师课上布置 • 同学通过“清华网络学堂”提交作业 • 网址：http://learn.tsinghua.edu.cn
