第8章多元函数积分学 8.1二重积分的概念与性质 8.2二重积分的计算
8.1 二重积分的概念与性质 8.2 二重积分的计算 第8章 多元函数积分学 结束
81二重积分的概念与性质 811二重积分的概念 引例1曲顶柱体的体积 若有一个柱体,它的底是Oxy平面上的闭区域D 它的侧面是以D的边界曲线为准 z=f(x, y) 线,且母线平行于轴的柱面, 它的顶是曲面z=f(xy) 设八(x)≥0为D上的连续函数 我们称这个柱体为曲顶柱体 现在来求这个曲顶柱体的体积 前页后页结束
前页 后页 结束 若有一个柱体，它的底是Oxy平面上的闭区域D， 它的侧面是以D 的边界曲线为准 线，且母线平行于z轴的柱面， 它的顶是曲面z=f(x,y)， 设 f(x,y)≥0为D上的连续函数. 我们称这个柱体为曲顶柱体. 引例1 曲顶柱体的体积. z f x y = ( , ) 8.1.1 二重积分的概念 8.1 二重积分的概念与性质 现在来求这个曲顶柱体的体积. D
解(1)分割用两组曲线把区域D任意分割成n个小块 △ 其中△概表示第小块,也表示第个小块的面积 (2近似记为的径 f∫(x, 即表示启任意两点间距 离的最大值),在△中任取 点(5,以亮师底 为△的平顶柱体体积为 (5,7) f(5;,n)△ 此为小曲顶柱体体积的近似值 Ao 前页后页结束
前页 后页 结束 其中 既表示第i个小块，也表示第i个小块的面积. i (2)近似 记 为 的直径 (即 表示 中任意两点间距 离的最大值)，在 中任取一 点 ,以 为高而底 为 的平顶柱体体积为 i i i i i ( , ) i i ( , ) i i f i ( , ) . i i i f 解(1)分割 用两组曲线把区域D任意分割成n个小块: 1 2 , , , , n z f x y = ( , ) ( , ) i i 此为小曲顶柱体体积的近似值 Δσi
(3)求和把所有小平顶柱体的体积加起来得到曲 顶柱体体积的近似值为 ∑f(5,n)△ (4)取极限记λ=max{1,2,…,n},若极限 im∑f(5,m)△ A-0 存在,则它即为所求曲顶柱体的体积 前页后页结束
前页 后页 结束 (4) 取极限 记 = max{ , , , } 1 2 n ,若极限 0 1 lim ( , ) n i i i i f → = 存在,则它即为所求曲顶柱体的体积. (3) 求和 把所有小平顶柱体的体积加起来,得到曲 顶柱体体积的近似值为 1 ( , ) . n i i i i f =
1.二重积分的定义 定义设(xy)是定义在闭区域D上的有界函数 把区域D任意分割成n个小区域:△a,△2,…,△O,其 中△表示第个小区域(i=1,2…,n也表示其面积在每个小 区域△上任取一点(5,m)作和∑f(5,n)a 若伪的直径,记=max{4极限n} im∑f(5,m)△ 存在则称为函数f(在区域D上的定积分记f(x,ylo 即』∫(x,y)o=lm∑/(5,m△o 前页后页结束
前页 后页 结束 1．二重积分的定义 定义 设f (x,y)是定义在闭区域D上的有界函数. 把区域 D 任意分割成n个小区域: 其 中 表示第i个小区域(i=1,2,...,n),也表示其面积.在每个小 区域 i 上任取一点 ,作和 i 1 2 , , , n ， 1 ( , ) n i i i i f = 若 为 的直径，记 = max{ , , , } , 1 2 若极限 n 0 1 lim ( , ) n i i i i f → = i i ( , ) i i 存在,则称为函数 f x y ( , ) 在区域D上的定积分,记 ( , ) D f x y d 即 0 1 lim ( , ) n i i i i f → = ( , ) = D f x y d
其中(x)称为被积函数,f(x,y)do称为被积表达式,da 称为面积元素,x和y称为积分变量,∑∫(5,n)a称为积 分和 由以上定义知曲页柱体的体积V=(x,y)da 注:(1)和式极限存在是指当所有小区域的最大直径A→0时 积分和有惟一确定的极限极限值与D的分法和(服 法无关 (2)二重积分的值是个常数其大小仅与被积函数和积分 区城有关而和积分变量无关 前页后页结束
前页 后页 结束 其中f (x,y) 称为被积函数, 称为被积表达式, 称为面积元素, x 和y 称为积分变量, 称为积 分和. 由以上定义知,曲顶柱体的体积 f x y ( , )d 注:(1)和式极限存在是指当所有小区域的最大直径 时 积分和有惟一确定的极限,极限值与D的分法和 的取 法无关. 区域有关而和积分变量无关. (2)二重积分的值是个常数,其大小仅与被积函数和积分 d 1 ( , ) n i i i i f = →0 ( , ) i i ( , )d D V f x y =
二重积分的存在定理 若fxy)在有界闭区域D上连续,则f(x)在D上必可积 3.二重积分的几何意义: (1)若在D上x)20,则(x,y)示以区域D为底, 以fxυ)为曲顶的曲顶柱体的体积 2)若在D上fx3)≤0,则上述曲顶柱体在Oxy面的下方 二重积分的值是负的,其绝对值为该曲顶柱体的体积 (3若fx)在D的某些子区域上为正的,在D的另一些子区 城上为负的,则二重积分表示在这些子区域上曲顶柱 体体积的代数和即在Oxy平面之上的曲顶柱体体积减 去Ox平面之下的曲顶柱体的体积 前页后页结束
前页 后页 结束 2.二重积分的存在定理 若f(x,y)在有界闭区域D上连续，则f(x,y)在D上必可积. 3.二重积分的几何意义： (1) 若在D上f(x,y)≥0，则 表示以区域D为底， 以f(x,y)为曲顶的曲顶柱体的体积. ( , )d D f x y (2) 若在D上 f(x,y)≤0，则上述曲顶柱体在Oxy面的下方 二重积分的值是负的，其绝对值为该曲顶柱体的体积. (3)若f(x,y)在D的某些子区域上为正的，在D的另一些子区 域上为负的，则二重积分表示在这些子区域上曲顶柱 体体积的代数和(即在Oxy平面之上的曲顶 柱体体积减 去Oxy平面之下的曲顶柱体的体积)
812二重积分的性质 二重积分有与定积分类似的性质假设下面各性质中 所涉及的函数八xy),g(xy)在区域D上都是可积的 性质1被积函数中的常数因子可以提到积分号前面,即 ∫0(,yda=∫f(x,yda D D 性质2有限个可积函数的代数和必定可积,且函数代 数和的积分等于各函数积分的代数和,即 f(x,y)±g(x,y)da=(x,y)da±‖g(x,y)da D 前页后页结束
前页 后页 结束 8.1.2 二重积分的性质 二重积分有与定积分类似的性质.假设下面各性质中 所涉及的函数f(x,y)，g(x,y)在区域 D上都是可积的. 性质2 有限个可积函数的代数和必定可积，且函数代 数和的积分等于各函数积分的代数和，即 [ ( , ) ( , )]d ( , )d ( , )d . D D D f x y g x y f x y g x y = 性质1 被积函数中的常数因子可以提到积分号前面，即 ( , )d ( ) , d D D kf x y k f x y =
性质3若D可以分为两个区域D1,D2,则 f(, y)do=lf(, y)do+llf(, y)do. D DI 性质4若在D上处处有/(x)≤g(x),则有 f(x,y)do sg(x,y)do 性质5着在积分区域D上有f(xy)=1,则 ∫do=a(a表示D的面积 D 前页后页结束
前页 后页 结束 1 2 ( , )d ( , )d ( , )d . D D D f x y f x y f x y = + 性质3 若D 可以分为两个区域D1，D2，则 d ( D = 性质5 若在积分区域D上有f(x,y)=1，则 性质4 若在D上处处有f(x,y)≤g(x,y)，则有 ( , )d ( , )d . D D f x y g x y 表示D的面积) D1 D2
性质6(估值定理)若在D上处处有m≤八(x)≤M,则 ms‖f(x,y) do< Mo(o表示D的面积 性质7(二重积分中值定理)设/(x)在有界闭区域D 上连续,则在D上存在点(4,n)使 (x,y)da=f(5,n)o(o表示D的面积) D 上式的等号右边的式子称为函数f(xy)在D上平均值 前页后页结束
前页 后页 结束 性质7(二重积分中值定理) 设f(x,y)在有界闭区域D 上连续，则在D上存在点 ( , ) ，使 ( , )d ( , ) . D f x y f = 性质6(估值定理) 若在D上处处有m≤f(x,y)≤M，则 ( , )d D m f x y M （ 表示D的面积) （ 表示D的面积) 上式的等号右边的式子称为函数f(x,y)在D上平均值