湖南司法警官职业学院《高等数学下》期末试卷(A) 适用区队:05信管301 命题人:张建贵时量:100min 队: 姓名: 学号 题号 得分 干日十十 五六总分 单项选择题(每小题3分,共30分) 1.y"-2y+y=(x+1)e2的特解形式可设为(A) (A)x(ax+b)e: B)x(ax+b)e: (C)(ax+be: D)(ax+b)x 2.下列方程中,通解为y=Ce+C2xe的微分方程是(A). (A)y”-2y+y=0;(B)y"+2y’+y=1:(C)y+y=0;(D)y’=y 3.当a与b满足(D)时,有+b=l+b (Aa⊥b;(B)a=b(λ为常数);(C)a∥b;(D)ab=al|b 4.在空间直角坐标系中,方程z=1-x2-2y2所表示的曲面是(B (A)椭球面;(B)椭圆抛物面;(C)椭圆柱面;(D)单叶双曲面 5.直线x-1y_2+1 与平面x-y+z=1的位置关系是(B) (A)垂直:(B)平行; (C)夹角为;(D)夹角为 6.已知f(x+yx-=2-y2,则+可。(c) (A)2x+2y;(B)x-y:(C)2x-2y(D)x+y 7.函数z=x3+y3-3xy的驻点为(B); (A)(0,0)和(-1,0);(B)(0,0)和(1,1);(C)(0.0)和(2,2);(D)(0,1)和(1) 8.根据二重积分的几何意义,下列不等式中正确的是(B) 第1页(共4页)
第1页（共 4 页） 湖南司法警官职业学院《高等数学下》期末试卷（A） 适用区队：05 信管 301 命题人：张建贵 时量：100min 区队： 姓名： 学号： 题号 一 二 三 四 五 六 总分 得分 一、单项选择题（每小题 3 分，共 30 分） 1. 2 ( 1)ex y y y x − + = + 的特解形式可设为（ A ）； (A) 2 ( )ex x ax b + ； (B) ( )ex x ax b + ； (C) ( )ex ax b + ； (D) 2 (ax + b)x ． 2. 下列方程中，通解为 1 2 e e x x y C C x = + 的微分方程是（ A ）． (A) y − 2y + y = 0 ； (B) y + 2y + y = 1 ； (C) y + y = 0 ； (D) y = y ． 3. 当 a 与 b 满足（ D ）时，有 a + b = a + b ； (A)a b ⊥ ； (B) a b = ( 为常数)； (C) a ∥ b ； (D) a b a b = ． 4. 在空间直角坐标系中，方程 2 2 z = 1− x − 2y 所表示的曲面是( B )； (A) 椭球面； (B) 椭圆抛物面； (C) 椭圆柱面； (D) 单叶双曲面． 5. 直线 1 1 2 1 1 − + = = x − y z 与平面 x − y + z = 1 的位置关系是( B )． (A) 垂直； (B) 平行； (C) 夹角为 π 4 ； (D) 夹角为 π 4 − ． 6. 已知 2 2 f (x + y, x − y) = x − y ，则 x f = + y f （ C ）； (A) 2x + 2y ； (B) x − y ； (C) 2x − 2y (D) x + y ． 7. 函数 z x y 3xy 3 3 = + − 的驻点为（ B ）； (A) (0,0) 和 (−1,0) ； (B) (0,0) 和 (1,1) ； (C) (0,0) 和 (2,2) ； (D) (0,1) 和 (1,1) ． 8. 根据二重积分的几何意义，下列不等式中正确的是( B )；
(A)(x-)da>0D:≤1,w≤:(B)(x+1)>0,D:≤1,p≤ (C)(-x2-y2)d>0,D:x2+y2≤1:①D)jm(x2-y)da>0.D:刚+1 9.』Jyx2+ydy=(C),其中D:1≤x2+y2≤4 (A)∫。doj,rdr:(B)j。dJ;rdr;(C)∫。do,rdr:(Dj。d∫rdr 10.正项级数∑an若满足条件(D)必收敛 (A)lm a,=0:(B)lim -1 二、填空题(每小题3分,共21分) 与平面x-y+2-6=0垂直的单位向量为±561-2 2=2x+ 在xOy平面上的投影曲线方程为 2x+y2=1 2.曲线 =0 3.z=Vy-x2+1的定义域为{(x,y)y≥x2-1} 则dz d x +d 5.设D:≤兀,≤1,则(x-simy)dcdy=-0 m(x-x)y收敛于f(x)的必要条件是加m(x-x)=0: 6.函数f(x)的泰勒级数S∫(x0) 7.写出麦克劳林展开式,并注明收敛域:C=1、3”*中 x∈R 、判断题(正确的打“√”错误的打“X”,每小题2分,共14分) 1.若y和y是二阶齐次线性方程的解,则C1y+C2y2(C,C2为任意常数)是其通解 2.axb=-b×a 3.f(n,x)=(xy)-=1(x)表达式成立 4.若二=f(x,y)在(xny)处偏导数存在,则z=f(x,y)在(xn,y0)处一定可微:(×) 第2页(共4页
第2页（共 4 页） (A) x D D ( 1)d 0, − ： x ≤ 1， y ≤ 1 ； (B) x D D ( 1)d 0, + ： x ≤ 1， y ≤ 1 ； (C) x y D D ( )d 0, 2 2 − − ： 2 2 x + y ≤ 1 ； (D) x y D D ln( )d 0, 2 2 − ： x + y ≤ 1. 9. + = x y x y D d d 2 2 ( C )，其中 D ：1 ≤ 2 2 x + y ≤ 4 ； (A) 2π 4 2 0 1 d d r r ； (B) 2π 4 0 1 d d r r ； (C) 2π 2 2 0 1 d d r r ； (D) 2π 2 0 1 d d r r . 10. 正项级数 n=1 an 若满足条件（ D ）必收敛； (A) lim = 0 → n n a ； (B) lim 1 1 + → n n n a a ； (C) 1 lim 1 n n n a a + → ； (D) lim 1 1 = + → n n n a a ． 二、填空题（每小题 3 分，共 21 分） 1. 与平面 x − y + 2z − 6 = 0 垂直的单位向量为 {1, 1,2} 6 6 − ； 2. 曲线 = = + 1 2 , 2 2 z z x y 在 xOy 平面上的投影曲线方程为 = + = z . x y 0 2 1 2 2 ； 3. 1 2 z = y − x + 的定义域为 {( , ) 1} 2 x y y x − ； 4. 设 ln( ) 2 2 z = x + y ，则 1 1 d x y z = = = d d x y + ； 5. 设 D ： x ≤ π ， y ≤ 1 ，则 ( sin )d d D x y x y − = ０ ； 6.函数 f (x) 的泰勒级数 = − 1 0 0 ( ) ( ) ! ( ) n n n x x n f x 收敛于 f (x) 的必要条件是 ( ) 0 ! ( ) lim 0 0 ( ) − = → n n n x x n f x ； 7. 写出麦克劳林展开式，并注明收敛域： e x = 2 1 2! ! n x x x x n + + + + + R . 三、判断题（ 正确的打“√”，错误的打“X”,每小题 2 分，共 14 分） 1. 若 y1 和 y2 是二阶齐次线性方程的解，则 C y C y 1 1 2 2 + （C1，C2 为任意常数）是其通解 ； （ ） 2. ab = −ba ; ( √ ) 3. ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 , , , x x x y y x x x x f x y f x y f x y = = = = = 表达式成立； （ √ ） 4. 若 z = f (x, y) 在( ) 0 0 x , y 处偏导数存在，则 z = f (x, y) 在( ) 0 0 x , y 处一定可微；（ ）
5.二重积分∫(xy)ddyf(xy)≥0的几何意义是以=f(x,y)为曲顶,D为底的曲顶柱体的 体积; 6.交错级数∑(-1)°an,若man=0则∑(-1)”an收敛; (X) 7.函数的幂级数展开式一定是此函数的泰勒级数 四、微积分计算题(每小题7分,共21分) 1.解微分方程 解:设y=p(x),则y”=p(x),原方程变形为p'=x-2p, 对应的齐次方程为 p'+2p=0 用分离变量法,得 两边积分,得 np=-2x+lnc,即p=ce2x 根据常数变易法,设p=c(x)e-2x,代入p'=x-2p,有 积分得(x)=x2dx=「 e+C 变形后所得一阶微分方程的通解为p 24 所以,原方程的通解为 y- jp(x)dx-∫-+Ce2) CI+C,e X= 2.在曲线{y=r2,上求一点,使其在该点的切线平行与平面x+2y+=4,并写出切线方程 解设所求点为(l0,t2,t3) dt dt 故切线方程为 x-to y-to =-to 第3页(共4页)
第3页（共 4 页） 5. 二重积分 f (x, y)dxdy,f (x, y) D ≥ 0 的几何意义是以 z = f (x, y) 为曲顶， D 为底的曲顶柱体的 体积； ( √ ) 6. 交错级数 ( 1) , 1 = − n n n a 若 lim = 0, → n n a 则 = − 1 ( 1) n n n a 收敛; （ ） 7. 函数的幂级数展开式一定是此函数的泰勒级数. （ √ ） 四、微积分计算题（每小题 7 分，共 21 分） 1. 解微分方程 y = x − 2y ； 解：设 y = p(x) ，则 y = p (x) ，原方程变形为 p = x − 2 p ， 对应的齐次方程为 p + 2 p = 0 ， 用分离变量法，得 d 2d p x p = − ， 两边积分，得 ln 2 ln p x c = − + ， 即 2 e x p c − = ， 根据常数变易法，设 2 ( )e x p c x − = ，代入 p = x − 2 p ，有 2 ( )e x c x x − = ， 2 ( ) e , x c x x = 积分得 2 ( ) e dx c x x x = = 1 2 de 2 x x = 1 1 2 2 e e d 2 2 x x x x − = 2 2 1 1 1 e e 2 4 x x x C − + ， 变形后所得一阶微分方程的通解为 p = 2 1 1 e 2 4 x x C − − + ， 所以，原方程的通解为 y = p x x ( )d = 2 1 1 ( e )d 2 4 x x C x − − + = 2 1 2e x C C − + + 4 4 2 x x − ． 2. 在曲线 = = = 3 2 , , z t y t x t 上求一点，使其在该点的切线平行与平面 x + 2y + z = 4 ，并写出切线方程； 解 设所求点为（ 0 t ， 2 0 t ， 3 0 t ）， 0 d d t t x t = =1， 0 d d t t y t = =2 0 t ， 0 d d t t z t = =3 2 0 t ， 故切线方程为 2 0 3 0 0 2 0 0 1 2 3t z t t x t y t − = − = −
由于切线与平面平行,切线的方向向量s={1,2t0,3t2}与平面的法向量n={1,2,1}垂直,有 1,2lo,36} l}=1+4lo+3t6=0, 解方程,得 1或 当t0=-1时,切点为(-1,1,-1),切线方程为x+1=2-1x+1 3 当0=一÷时,切点为( 切线方程为x 即39 3.计算二重积分(2x-ydy,D:由直线y=1y-x-1=0及x+y-3=0所围成 解画出区域D的图形, 选择先对x积分,这时区域D的表达式为1≤y52 于是‖|(2x- biddy (x'-y)- dy 2 (2y2-8y+8)yy=( 所以 dadu 五、求函数z=x3-4x2+2xy-y2的极值(7分) 解第一步:由极值的必要条件,求出所有的驻点 3x2-8x+2y=0 第4页(共4页
第4页（共 4 页） 由于切线与平面平行，切线的方向向量 s ={1，2 0 t ，3 2 0 t }与平面的法向量 n ={1，2，1}垂直，有 sn ={1，2 0 t ，3 2 0 t }·{1，2，1}=1+4 0 t +3 2 0 t =0， 解方程，得 0 t = − 1 或 3 1 − ， 当 0 t = − 1 时，切点为（ −1，1， −1 ），切线方程为 3 1 2 1 1 + = − − + = y z x ； 当 0 t = 3 1 − 时，切点为（ 3 1 − ， 9 1 ， 1 27 − ）， 切线方程为 3 1 27 1 2 3 9 1 3 1 + = − − + = y z x ， 即 27 1 2 9 1 3 3 1 = + − − = + z x y ． 3. 计算二重积分 (2 )d d D x y x y − ， D ：由直线 y = 1, y − x −1 = 0 及 x + y − 3 = 0 所围成。 解 画出区域Ｄ的图形， 选择先对 x 积分，这时区域 D 的表达式为 1 3 , 1 2, y x y y − − 于是 (2x y)dxdy D − ＝ 2 3 1 1 d (2 )d y y y x y x − − − ＝ 2 2 3 1 1 ( ) dy y x xy y − − − ＝ 2 2 1 (2 8 8)d y y y − + ＝ 2 1 3 2 4 8 ) 3 2 ( y − y + y ＝ 3 2 ， 所以 (2 )d d D x y x y − ＝ 3 2 ． 五、求函数 3 2 2 z = x − 4x + 2xy − y 的极值（7 分）。 解 第一步：由极值的必要条件，求出所有的驻点 2 3 8 2 0, 2 2 0, z x x y x z x y y = − + = = − =
解出 0 2. 二步:由二元函数极值的充分条件判断这两个驻点是否为极值点,为了简明列表如下: a-z A 结论 =6x-8 2 120 2>0 20 不是极大值点 (2,2) 因此,函数的极大值为z(0,0)=0 六、求∑mn+1)x”的收敛域与和函数(7分) 解因为∑mn+1)x2=x∑(m+1)mx"=x(n+2n+1)x", 设s(x)=∑(n+2n+1x”,容易求得,此级数的收敛半径为1,收敛区间为(-1,1) 设 n(x)-sxdx=J∑(m+2n+xdx=∑(n+2x, 积分得 ∫axux=∑(n+2)xdx=∑x 求导得 x2、2x(1-x)+x22x-x l(x)=()= (1-x)2(1-x)2 再求导得 s(x)=[L(x)=[ 所以 n(n+1)x=x(x)=-2x x∈(-1,1) 第5页(共4页)
第5页（共 4 页） 解出 1 1 0, 0, x y = = 2 2 2, 2. x y = = 第二步：由二元函数极值的充分条件判断这两个驻点是否为极值点，为了简明列表如下： 2 2 x z A = = 6x −8 x y z B = 2 = 2 y z C = 2 = −2 B − AC 2 结论 (0,0) −8 0 2 0 − 2 0 −12 0 是极值点，且 为极大值点 (2,2) 4 0 2 0 − 2 0 12 0 不是极大值点 因此，函数的极大值为 z(0,0) = 0． 六、求 = + 1 ( 1) n n n n x 的收敛域与和函数（7 分）. 解 因为 = + 1 ( 1) n n n n x = = − + 1 1 ( 1) n n x n nx = = + + 0 ( 2)( 1) n n x n n x ， 设 s(x) = = + + 0 ( 2)( 1) n n n n x ，容易求得，此级数的收敛半径为 1，收敛区间为（-1，1）． 设 u(x) = 0 ( )d x s x x = 0 0 ( 2)( 1) d x n n n n x x = + + = = + + 0 1 ( 2) n n n x ， 积分得 0 ( )d x u x x = 1 0 0 ( 2) d x n n n x x + = + = = + 0 2 n n x = x x 1− 2 ， 求导得 u(x) = ) 1 ( 2 − x x = 2 2 (1 ) 2 (1 ) x x x x − − + = 2 2 (1 ) 2 x x x − − ， 再求导得 s(x) =[u(x)] = ] (1 ) 2 [ 2 2 − − x x x = 3 (1 ) 2 − x ， 所以 = + 1 ( 1) n n n n x = xs(x) = 3 (1 ) 2 x x − x (−1,1) ．