西南财经大学：《经济数学基础》课程PPT教学课件（微积分）第八章 多元函数的微分法及其应用（8.5）多元复合函数的微分法

§8.5多元复合函数的微分法 因多元复合函数的求导法则 在多元微积分中占有非常重要的 地位,下面将一元复合函数的求导法则推广到多元的 情形. 定义9设=f(,y,而u=0(xy),v=(xy)z=f((x,y),(xy) 称为xy复合函数,并称u,v为中间变量这类二元函 数有下面的求导法则

1 情形. 设z=ƒ(u,v),而u=φ(x,y),v=Ψ(x,y),z=ƒ(φ(x,y),Ψ(x,y)) §8.5多元复合函数的微分法 因多元复合函数的求导法则 在多元微积分中占有非常重要的 定义9 称为x,y的复合函数，并称u，v为中间变量.这类二元函 数有下面的求导法则. 地位，下面将一元复合函数的求导法则推广到多元的

定理5若l=0(xy),y=(xy)在点(xy)处的偏导数 Oy 01 及 都存在,且在对应于(x)的点(l,v)处,函数z=f(,) Ox OX 可微,则复合函数z=f(0(xy),yxy)对x及yv的偏导数都存 az az au az a 在,且 ax au ax ay ax ay Ou ay a 注1此定理也可称为求导的链式法则记忆可用上图所示 的链子来记定理中的等式数为自变量的个数;每一个等 式中的项数为中间变量的个数.z到x的路径有两条,一条 是“→l→x”,一条是“x”;z到y路径也有两条, 条是“y”,一条是“1→y

2 都存在,且在对应于(x,y)的点(u,v)处,函数z=ƒ(u,v) , u u x y     定理5 若u=φ(x,y),v=Ψ(x,y)在点(x,y)处的偏导数 可微,则复合函数z=ƒ(φ(x,y),Ψ(x,y))对x及y的偏导数都存 在,且 , z z u z v x u x v x      =  +       . z z u z v y u y v y      =  +       y z u v x 注1 此定理也可称为求导的链式法则.记忆可用上图所示 的链子来记.定理中的等式数为自变量的个数；每一个等 式中的项数为中间变量的个数. z到x的路径有两条,一条 是“ z→u→x”, 一条是“ z→v→x ” ; z到y路径也有两条, 一条是“ z→u→y”,一条是“ z→v→y”. , v v x x     及

证设y不变而x有一个改变量△x,且的相应改变量 分别为△u,△,v,△z,则由z=f(l,y)可微知 △+△2y+O()且p=√(△,)2+(△ ou 0z△u,Oz△2,O(p △xu△xav△x△x 当Ax→)0时,对此式两边取极限得 ox ou x ov x 同理可得 az az au az av ay Ou ay Ov ay 亦可记为

3 证 设y不变而x有一个改变量∆x,且u,v,z的相应改变量 , , , x x x 分别为    u v z 则由z=ƒ(u,v)可微,知 2 2 ( ) ( ) ( ) . x x x x x z z z u v o u v u v      =  +  + =  +    且 ( ) x x x z u v z z o x u x v x x        = + +       当∆x→0时,对此式两边取极限,得 , z z u z v x u x v x      =  +       . z z u z v y u y v y      =  +       同理可得 亦可记为

az af ou af av az af au, af av Ox au ax Ov ax Oy Ou ay av ay 此写法常用于抽象函数的微分运算 例20设z=(x2+y2),求 解令u=x2+y2,v=x,则z=,从而是x,y的复合函数 az az au az a ax au ax ay a vu In v 卩y Ov y ax 2 Q=vu-1 2x+u'Inuy=(x+y)1-212+yIn(x2+y)]

4 . z f u f v y u y v y      =  +       , z f u f v x u x v x      =  +       此写法常用于抽象函数的微分运算. 2 2 20 ( ) , , . xy z z z x y x y   = +   例 设 求 , , . v z u z x y = 从而 是 的复合函数 y z u v x 2 2 解 令 则 , , u x y v xy = + = , z z u z v x u x v x      =  +       1 , ln , z z v v vu u v u v   − = =   而 1 2 ln z v v vu x u u y x  =  +   −  2 , ; u v x y x x   = =   2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) [ ln( )] xy x y x y y x y x y = + + + +

az az au az av ay ou ay av a 1 而 2y,=x; y w·2y+llnu.x 2xv =(x2+y) tiN(x +y 〓〓〓 日

5 z z u z v y u y v y      =  +       ， 2 , ; u v y x y y   = =   而 1 2 ln z v v vu y u u x y  =  +   −  2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) [ ln( )] xy xy x y x x y x y = + + + +

au au au 例21设u=f(x+y+x,x2+y2+z2),求 OX OV 02 解令s=x+y+z,t=x2+y2+z2 则=f(s,1),从而是x,y,的复合函数 Ou of as of at of of ax as ax at ax as at dS OS az as az at az as at

6 2 2 2 21 ( , ), , , . uuu u f x y z x y z x y z  = + + + +    例 设 求 则 从而 是 的复合函数 u f s t u x y z = ( , ), , , . y u s t x z u f s f t x s x t x      =  +       2 f f x s t   = +   u f s f t y s y t y      =  +       2 f f y s t   = +   u f s f t z s z t z      =  +       2 f f z s t   = +   2 2 2 解 令 , , s x y z t x y z = + + = + +

注2在计算多元复合函数的偏导数时,可不写中间变量 而用厂表示“函数f对第个中间变量求导”,用f表示 先对第个,后对第j个中间变量求导”从而例22中的结果 可写为:(见上 u—xu a0a +2x a=f"+2 0-aa-0a S at a×3,9 at f+2y2 220=f+2=/ az as

7 而用 f i  表示“函数ƒ对第i个中间变量求导” ,用 f ij  表示 注2 在计算多元复合函数的偏导数时,可不写中间变量, 先对第i个,后对第j个中间变量求导”.从而例22中的结果 可写为：(见上) u x  =  2 f f x s t   +   1 2 = + f xf   2 1 2 = + f yf   2 1 2 = + f zf   2 u y   2 f f y s t   = +   u z   2 f f z s t   = +   y u s t x z

注3复合函数的微分法是难点下面对几种特殊情况给予 讨论 1.只有一个自变量的情形 (I).若z=f(4)可微,=0(x)y=(x)可导,则z=f((x),y(x) 是x的一元函数此时对x导数是全导数,其求导法则为 dz of du af di dx au dx av dx Ⅱ)若z=f(xy),y=g(x) 则z=f(x,0(x)是x的一元函数, xy 其全导数为 dz af dx af dy of af dy dx cx dx ay dx Ox ay dx

8 注3 复合函数的微分法是难点.下面对几种特殊情况给予 (Ⅰ).若z=ƒ(u,v)可微,u=φ(x),v=Ψ(x)可导,则z=ƒ(φ(x),Ψ(x)) dz f du f dv dx u dx v dx   =  +    z u v x 1.只有一个自变量的情形 讨论. 是x的一元函数.此时z对x导数是全导数,其求导法则为 (Ⅱ).若z=ƒ(x,y), y=φ(x), z x y x 则z=ƒ(x,φ(x))是x的一元函数, 其全导数为 dz f dx f dy dx x dx y dx   =  +    . f f dy x y dx   = +   

例21(1)设=l,u=ex,v=sinx,求 dz dz (2)设=f(x,e),求 L 解2=02.a+0. dx au dx ay dx v·e+ll·coSx e(sin x+cos x) ,→x (2)令y=e,则=f(x,y) J dz af, af dy

9 21 (1) , , sin , ; (2) ( , ), . x x dz z uv u e v x dx dz z f x e dx − = = = = 例 设 求 设 求 z u v x dz z du z dv dx u dx v dx   =  +    解 cos x =  +  v e u x (sin cos ). x = + e x x (2) , ( , ) x y e z f x y − 令 则 = = z x y x dz f f dy dx x y dx    = +    . x x y f e f − = −  

2只有一个中间变量的情形 若∫与可微,且z=f(l)2ul=g(xy)可导,则z=f(0(xy)是x,y 的二元函数此时对x与y的导数为偏导数,为 aac 2→Lx 例22(1)设可微z=f(x2-2y2),求 az az a2- Ox av ax 解令u=x2-2y2,则 z→L J f(x2-2y2)2x=2f(x2-2y2) OX

10 2.只有一个中间变量的情形 z x y u ; u z u f x x   =     . u z u f y y   =     2 2 2 2 22 (1) , ( 2 ), , , ; z z z f z f x y x y x    = −    例 设 可微 求 2 2 2 2 ( 2 ) 2 2 ( 2 ); z f x y x xf x y x  = −  = −    z x y u 若ƒ与φ可微,且z=ƒ(u), u=φ(x,y)可导,则z=ƒ(φ(x,y))是x,y 的二元函数.此时z对x与y的导数为偏导数, 为 2 2 解 令 ，则 2 u x y = −