西南财经大学：《经济数学基础》课程PPT教学课件（微积分）第五章 不定积分（5.2）基本积分表

§5.2基本积分表 导数公式表 积分公式表 (kx)'= k kdx=kx+C C′=0 Odx=c (x)y=(a+1)x +1 +C(a≠-1 1-x.a 1+a (a)=a In a dx=--a +c na e dx=e+C

1 §5.2 基本积分表 (kx )  k 1 (x ) ( 1)x        导数公式表 积分公式表 kdx  kx  C  C  0 0dx  C  1 1 ( 1 1 x dx x C            1 (ln x ) x   1 dx ln x C x    ( ) ln x x a   a a 1 ln x x a dx a C a    ( ) x x e   e x x e dx  e  C 

导数公式表 积分公式表 (sinx)’=cosx cos xdx= sinx+C (cOS x)=-sin x (tan x)'=sec x 0j∫ sin xdx=-cosx+C sec xdx= tan x+ C (cot x)=-CSc x csc xdx=-cotx +c (sec x)'=sec x tan x secx tan xdx= secx+C (csc x)'=-csc x cotx csc x cot xdx cscx+c dx arcsin x arcsinx +C (arctan x) arctan x +C 1+x 1+x 以上基本积分公式是求不定积分的基础,必须记牢!

2 导数公式表 积分公式表 (sin x)  cos x (cos x)   sin x cos xdx  sin x  C  2 (cot x)   csc x (sec x)  sec x tan x 2 (tan x)  sec x sin xdx   cos x  C  2 sec xdx  tan x  C  2 csc xdx   cot x  C  sec x tan xdx  sec x  C  (csc x)   csc x cot x csc x cot xdx   csc x  C  2 1 (arcsin ) 1 x x    2 arcsin 1 dx x C x     2 1 (arctan ) 1 x x    2 arctan 1 dx x C x     以上基本积分公式是求不定积分的基础, 必须记牢！

例4求下列不定积分 dx 解 x+c (2 解「x2√xbr=|x2ar x2+c dx (3 解∫=Jx 3x3+C (42dk解∫2c=(2) +c In 2e

3 例4 求下列不定积分 3 (3) dx x x  2 (2 ) . x x x e dx  e dx 解   3 (1) dx x  -3 3 dx x dx x  解   2 (2) x xdx  5 2 2 x xdx  x dx 解   1 -2 2   x  C 7 7 2 2 1 2 5 7 1 2  x C  x C  (4) 2 x x e dx  4 3 3 dx x dx x x   解   1 3 3x C     (2 ) ln 2 x e C e  

直接积分法 利用基本积分公式和性质求不定积分的方法称为直接 积分法用直接积分法可求出某些简单函数的不定积分 例5求下列不定积分 x2-4x+4 解 -dx-4--dx+4dx In x+

4 直接积分法 利用基本积分公式和性质求不定积分的方法称为直接 积分法.用直接积分法可求出某些简单函数的不定积分. 例5 求下列不定积分 2 3 ( 2) (1) x dx x  2 2 3 3 (x 2) x 4x 4 dx dx x x     解   2 3 1 1 1 dx 4 dx 4 dx x x x       2 4 2 ln x C x x    

+2 dx 解x+2x2 +2x2+1 x2+1 +1 ∫(x2+1)dx x'+x-arctanx+C 3)cos-dx 解∫∞3k=+03xax=1(x+smx)+C

5 4 2 2 2 (2) 1 x x dx x    4 2 4 2 2 2 2 2 1 1 1 1 x x x x dx dx x x        解   2 2 2 ( 1) 1 1 x dx x      2 2 1 ( 1) 1 x dx dx x       1 3 arctan 3  x  x  x  C 2 (3) cos 2 xdx  2 1 cos cos 2 2 x x dx dx   解   1 ( sin ) 2  x  x  C

coS 2X sinx+ cosx coS 2X 解 cos x-SIn x sin x+ cosx sin x+ cosx (cos x-sin x dx=sin x+coSx+C 例6一种流感病毒每天以(240-32)人/秒的速率增加,其 中t是首次爆发后的天数,如果第一天有50个病人,试问在 第10天有多少个人被感染? 解设在第t天有Q(1)个人被感染,则 Q(O)=(240-32)=240-3」?=102-+C

6  (cos x  sin x)dx   sin x  cos x  C. 例6 一种流感病毒每天以 的速率增加, 其 中t是首次爆发后的天数, 如果第一天有50个病人, 试问在 第10天有多少个人被感染？ 2 (240  3t )人 /秒 解 设在第t天有Q(t)个人被感染, 则 2 Q(t)  (240  3t )dt  2  240 tdt  3 t dt   2 3  120t  t  C. cos 2 (4) . sin cos x dx x  x  2 2 cos 2 cos sin . sin cos sin cos x x x dx dx x x x x     解  

由题意知当t=1时,Q()=50 代入上式可解出C=-69,则 Q()=1202-12-69()l=0=10931 即在第10天有10931个人被感染 2x+1x1时,有∫(x)2+2k=3+2+C 由原函数的定义知原函数在x=1处可导且连续

7 由题意知当 t = 1时, Q(t) = 50. 代入上式可解出 C = –69 , 则 2 3 Q(t)  120t  t  69 10 ( ) 10931 Q t t   即在第10天有10931个人被感染. 例7 已知 2 2 1 1 ( ) , ( ) . 2 1 x x f x f x dx x x         求  解 当 x 1时, 有 3 2 2 ( ) ( 2) 2 . 3 x f x dx  x  dx   x  C   由原函数的定义知原函数在 x = 1处可导且连续

从而有 2x+C,)=lim(x+x+C +x+c f(x)dx=x3

8 3 2 x 1 lim ( 2 ) 3 x x C      2 1 x 1 lim ( x x C )     1 2 1 3 C  C  2 3 1 ( ) 1 2 1 3 3 x x C x f x dx x x C x               从而有